基于分形理論的混凝土大壩結(jié)冰變徑模型設(shè)想

楊 帆，謝明宇

(1．遼寧建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，遼寧 遼陽 111000;2．遼陽供電公司，遼寧 遼陽 111000)

很多地區(qū)水電站大壩深受混凝土抗凍性差問題的困擾。例如云峰水電站，在大壩建成并投入運行的幾年里，溢流壩表面混凝土凍融破壞面積高達(dá)1 000 m2，占整個溢流壩面積50%左右，混凝土平均凍融剝蝕深度達(dá)10 cm以上。大型混凝土結(jié)構(gòu)工程的抗凍性分析往往建立在大量實驗數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，若能利用理論達(dá)到預(yù)測目的，并判斷出孔隙水瞬間結(jié)冰孔徑范圍，則可以人為調(diào)節(jié)孔徑大小，提高混凝土大壩等大型混凝土結(jié)構(gòu)工程抗凍能力。

混凝土內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)通常是不規(guī)則、無序分布、千奇百怪的，不像傳統(tǒng)假設(shè)那樣光滑、平直、等大、規(guī)則，材料孔形、面積、體積等在各個尺度上均表現(xiàn)出分形特征。在以往的水泥混凝土材料研究中，滲透性孔隙模型多假設(shè)為平滑圓柱孔，而且是直線型的，但實際上孔隙是彎曲、復(fù)雜的非平滑表面。為描述其彎曲復(fù)雜程度，國外已有學(xué)者采用4次Koch曲線模型評價孔隙特征，并通過試驗確定了相似維數(shù)，使評價更科學(xué)合理［1］。

本文將混凝土大壩看作是具有分形結(jié)構(gòu)的空間載體，研究其內(nèi)部孔隙分形特征，分析孔隙復(fù)雜程度及對混凝土大壩結(jié)構(gòu)孔隙水過冷度的影響。同時引入分形理論，根據(jù)混凝土材料內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)特征，從討論單位橫截面積A0上孔隙直徑r分布入手，引入孔隙分布分形維數(shù)D以及孔隙通道彎曲分形維數(shù)Dτ，得出有關(guān)分形孔隙孔隙水過冷度的公式。

1 混凝土凍融破壞機(jī)理

混凝土在凍融過程中，遭受的破壞應(yīng)力主要由兩部分組成。其一，混凝土中毛細(xì)孔水在某負(fù)溫下發(fā)生物態(tài)變化，由水轉(zhuǎn)變成冰，體積膨脹9%，因受毛細(xì)孔壁約束形成膨脹壓力，在孔周圍微觀結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生拉應(yīng)力;其二，當(dāng)毛細(xì)孔水結(jié)成冰時，由凝膠孔中過冷水在混凝土微觀結(jié)構(gòu)中遷移和重分布引起滲管壓。由于表面張力作用，混凝土毛細(xì)孔隙中水的冰點隨著孔徑減小而降低。當(dāng)膠凝孔水形成的冰核溫度在－78℃以下時，由冰與過冷水飽和蒸汽壓差和過冷水之間鹽分濃度差引起水分遷移而形成滲透壓。另外膠凝不斷增大，形成更大的膨脹壓力，當(dāng)混凝土受凍時，這兩種壓力會損傷混凝土內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)，經(jīng)過反復(fù)凍融循環(huán)以后，損傷逐步積累、不斷擴(kuò)大，發(fā)展成互相連通的裂縫，使混凝土強(qiáng)度逐步降低至完全喪失，混凝土表面開始剝落甚至整體破壞。

2 變徑理論

2.1 變徑理論的提出設(shè)想

混凝土材料受凍融破壞主要是由孔隙中水結(jié)冰所致。水結(jié)冰時體積增大約9%，若混凝土材料孔隙中充滿水，則結(jié)冰膨脹對孔壁產(chǎn)生很大應(yīng)力，當(dāng)此應(yīng)力超過材料抗拉強(qiáng)度時，孔壁局部開裂。隨著凍融次數(shù)增多，材料破壞加重。

混凝土材料抗凍性取決于孔隙率、孔隙特征及充水程度。若孔隙不充滿水，即遠(yuǎn)未達(dá)到飽和，具有足夠自由空間，即使受凍也不致產(chǎn)生很大凍脹應(yīng)力。極細(xì)的孔隙，雖可充滿水，但因孔壁對水吸附力極大，吸附在孔壁上的水冰點很低，在一般負(fù)溫下不會結(jié)冰;粗大孔隙一般水分不會充滿其中，對凍脹破壞可起緩沖作用;閉口孔隙水分不能滲入;毛細(xì)管孔隙既易充滿水分，又能結(jié)凍，故對材料冰凍破壞作用影響最大。

當(dāng)溫度降至冰點以下時，由于混凝土中水分大部分已結(jié)冰，水泥顆粒不能與冰發(fā)生化學(xué)反應(yīng)，混凝土強(qiáng)度停止發(fā)展，孔隙內(nèi)水分結(jié)冰會引起膨脹(水結(jié)凍體積可膨脹約9%)，作用在孔隙毛細(xì)管內(nèi)壁，破壞混凝土內(nèi)部結(jié)構(gòu)，已經(jīng)獲得強(qiáng)度 (在結(jié)冰前混凝土已不同程度硬化)受到損失。當(dāng)氣溫忽高忽低反復(fù)凍融，混凝土內(nèi)部微裂逐漸增長、擴(kuò)大，強(qiáng)度逐漸降低，表面出現(xiàn)剝落，甚至完全崩潰。

混凝土內(nèi)部結(jié)冰從微觀上分析是一個類似隨機(jī)過程，并不是所有孔隙中水在零下時候都結(jié)冰。如圖1所示。

圖1 孔徑水結(jié)冰

飽和硬化水泥漿中蒸發(fā)水由于溶解氫氧化物的原因，不會在0℃時凍結(jié)，而凍結(jié)一旦開始，純冰從溶液中析出，溶液濃度提高，冰點進(jìn)一步下降，在不摻鹽類的水泥漿體中自由水冰點約為－1.5～－1℃。由于孔隙表面張力的作用，不同孔徑孔內(nèi)水飽和蒸氣壓與冰點不同，孔徑越小，孔內(nèi)水飽和蒸氣壓越小，冰點越低。當(dāng)環(huán)境溫度降低到－1.9～－1℃時，混凝土孔隙中水由大孔開始結(jié)冰，并逐漸擴(kuò)展到小孔。一般溫度在－12℃時，毛細(xì)孔都能結(jié)冰，而凝膠孔中水分子物理吸附于水化水泥漿固體表面，在－78℃以上不會結(jié)冰。因此在某一固定負(fù)溫下水泥石中水分只有一部分是可凍水。有些孔隙中過冷水到－78℃才會凍結(jié)，且為一個瞬間過程，是瞬時反應(yīng)。過冷水通過孔隙時結(jié)冰與否由孔徑?jīng)Q定，孔徑大小是能否瞬間結(jié)凍的關(guān)鍵。若是可以運用理論分析判斷出孔隙水瞬間結(jié)冰孔徑范圍，則可以人工調(diào)節(jié)孔徑大小，提高混凝土材料抗凍能力。

孔隙水是否會結(jié)冰是個十分復(fù)雜的問題。負(fù)溫條件下，過冷水通過飽和硬化水泥漿內(nèi)部孔隙時，可能會因為孔徑變化而突然結(jié)冰，也可能并未對過冷水過冷度產(chǎn)生影響。

根據(jù)研究，引用分形理論研究混凝土內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)圖可描述出孔隙特征，見圖2。

圖2 分形孔隙孔徑水結(jié)冰模型

2.2 具有分形結(jié)構(gòu)的混凝土孔隙結(jié)冰

2.2.1 分形

分形學(xué) (Fractal)是由Mandelbrot于1976年首次提出來的。分形的原意是“不規(guī)則的、分散的、支離破碎的”物體。

分形理論所研究對象主要是復(fù)雜、不規(guī)則、具有自相似性的幾何形體。分形結(jié)構(gòu)幾何體具有以下性質(zhì)［2］:

a． 具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，即在任意小尺度下都具有復(fù)雜結(jié)構(gòu);

b． 具有不規(guī)則性，整體與局部不能用傳統(tǒng)幾何語言來描述;

c． 具有自相似形式，可是近似的或統(tǒng)計意義的;

d． 通常分形圖形在某種意義下維數(shù)大于其拓?fù)渚S數(shù);

e． 在大多數(shù)情況下，分形圖形可用非常簡單的方法產(chǎn)生。

分形圖形的最基本特征是自相似性和標(biāo)度不變性。所謂自相似性是指某種結(jié)構(gòu)或過程特征從不同空間或時間尺度來看都是相似的，或者某系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)局部性質(zhì)或局部結(jié)構(gòu)與整體類似。標(biāo)度不變性是指，從分形圖形上任選一個局部區(qū)域，無論放大或縮小，它的形態(tài)、復(fù)雜程度、不規(guī)則性等各種特性均不會發(fā)生變化，所以標(biāo)度不變性又可稱為伸縮對稱性。表征這2種分形性質(zhì)的定量參數(shù)為分形維數(shù)(Fractal Dimension)，用來描述一個復(fù)雜系統(tǒng)的復(fù)雜、不規(guī)則程度，為整數(shù)或非整數(shù)都可，并有多種定義和測定方法。

2.2.2 混凝土孔隙分布分形維數(shù)

研究影響混凝土滲透性的介觀孔隙通道 (即沒有分支的通道，它與孔網(wǎng)格中2個近鄰位相連接，孔隙通道兩端可都開口，也可一端開口，一端封閉)，其軸線為彎曲、復(fù)雜曲線，具有分形特征。

混凝土孔隙分布同樣具有分形特征，假定孔隙分形分布在空間基本均勻。圖3是正方形單位截面A0上孔隙直徑為r的孔隙面積分布。

根據(jù)分形基礎(chǔ)理論，分形孔隙直徑大于r時累積數(shù)目N(r)與孔徑有如下關(guān)系:

式中，r為孔隙直徑，cm;D為孔隙分布的分形維數(shù)，參考長度L∈ ［rmin，rmax］，rmin、rmax分別為單位截面上最小、最大孔隙直徑，cm。

對式 (1)進(jìn)行r微分可得:

式中，表示直徑在 r和 r+dr之間的孔隙數(shù)目－dN＞0。

2.2.3 混凝土孔隙通道屈曲分形維數(shù)

混凝土孔隙通道形狀是彎曲的，孔隙軸線是具有分形性質(zhì)的復(fù)雜曲線。如圖4所示，孔隙通道軸線分別為直線、科赫曲線和無規(guī)分形曲線。引入孔隙路徑的屈曲分形維數(shù)Dτ衡量孔隙通道彎曲復(fù)雜度。圖4中，直線Dτ=1，科赫曲線Dτ=1.261 8，無規(guī)分形曲線Dτ＞1。

Yu［3］提出了毛細(xì)管長度和直徑之間指數(shù)關(guān)系，可以用于分析混凝土連通孔:

式中:Lτ(r)為孔隙直徑為r的孔隙通道長度，cm;Dτ為孔隙通道屈曲分形維數(shù);L0為孔隙通道外觀長度，cm。

1≤Dτ＜2，當(dāng) Dτ=1時，孔隙通道為直線，此時 Lτ(r) =L0。

孔隙直徑在r和r+dr之間的孔隙體積微元dVp為

式中，Lτ(r)為孔隙直徑為r的孔隙通道長度，cm。

結(jié)合式 (3)和式 (4)得到:

微分得到混凝土孔隙體積為

稻葉英男［4－6］通過大量實驗，對靜止情況下影響過冷水過冷度的因素進(jìn)行了研究。齋藤認(rèn)為，在外界條件一定時，發(fā)生結(jié)冰不是一個確定事件，可用概率描述發(fā)生結(jié)冰與過冷度之間關(guān)系。

在對大量實驗進(jìn)行分析后，得到了過冷度與體積關(guān)系為

式中，ΔTm為過冷度，K;V為體積，cm3。

利用分形模型模擬混凝土材料孔隙特征，得到評價孔徑與孔隙水過冷度間關(guān)系，對研究如何提高混凝土材料抗凍性有很好指導(dǎo)意義。

通過研究模擬結(jié)果和積累實驗數(shù)據(jù)，得到過冷度與孔徑范圍的關(guān)系，可人為控制混凝土孔徑大小，從而提高混凝土抗凍性和耐久性，具有很好的經(jīng)濟(jì)意義。

3 結(jié)論

a． 混凝土結(jié)冰從微觀上分析是一個類似隨機(jī)的過程，并不是所有孔隙中水在零下時候都結(jié)冰，有些孔隙中過冷水到－78℃才會凍結(jié)?？紫吨兴Y(jié)冰是個瞬間過程，是瞬時反應(yīng)，在多大孔徑內(nèi)瞬間結(jié)冰是關(guān)鍵。

b． 混凝土材料內(nèi)部孔隙結(jié)冰過程:凝膠孔→變徑水 (過冷水)→瞬間結(jié)冰。零下狀態(tài)下，由于混凝土材料內(nèi)部孔隙孔徑、結(jié)冰與否、過冷水過冷度不同。有些過冷水過冷度較大，造成凍害大，損害混凝土構(gòu)件;而有些過冷水過冷度較小，不會凍結(jié)和進(jìn)一步凍害混凝土材料。

c． 引用分形理論模擬混凝土材料內(nèi)部孔隙特征，提出變徑理論，建立假想模型，為進(jìn)一步提高混凝土抗凍性作出理論鋪墊。

［1］ 唐 明，王甲春，李連君．壓汞測孔評價混凝土材料孔隙分形特征的研究［J］．沈陽建筑工程學(xué)院學(xué)報，2001，17(4):272－275．

［2］ 孫洪軍，趙麗紅．分形理論的產(chǎn)生及其應(yīng)用 ［J］．遼寧工學(xué)院學(xué)報，2005，25(2):113－117．

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