圓環(huán)滾動時摩擦力的分析

王嘉航

(蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011)

0 引言

在第七屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽試題中有一道“雜耍圓環(huán)”的題目:演員用細(xì)鐵棍推動勻質(zhì)圓環(huán)在水平地面上勻速純滾動，假設(shè)圓環(huán)保持在鉛垂平面內(nèi)滾動，又知鐵棍與圓環(huán)之間的靜摩擦因數(shù)為f s，圓環(huán)與地面間的滾動摩阻系數(shù)為δ。試求為使鐵棍的推力(鐵棍對圓環(huán)的作用力)最小，圓環(huán)上與鐵棍的接觸點的位置。

研究圓環(huán)在地面上滾動的動力學(xué)問題時，需要判定摩擦力的性質(zhì)和方向，很多學(xué)生通常不知如何判定，原因在于摩擦力不僅與受力性質(zhì)和位置有關(guān)，還與圓環(huán)的幾何特性等其他因素有關(guān)，通常的教材中對此沒有給出詳細(xì)的介紹。本文從剛體和變形體兩種力學(xué)模型分析摩擦力。

1 圓環(huán)為剛體時的滾動分析

剛體指物體在力的作用下，其內(nèi)部任意兩點之間的距離始終保持不變，是一種理想化的力學(xué)模型，實際生活并不存在。但實際中在一定條件下可簡化為此模型分析。

1.1 圓環(huán)非純滾動

非純滾動也就是圓環(huán)在地面上既滾動又滑動，此時摩擦屬于滑動摩擦，摩擦力的方向與相對運動方向相反，其大小根據(jù)動摩擦力的計算公式Fd=fdFN，滑動摩擦對圓環(huán)的平移是約束力，對其轉(zhuǎn)動在不同的情況下，可以是主動力矩也可以是約束力矩。

1.2 圓環(huán)純滾動

純滾動是指圓環(huán)在地面上只滾動不滑動，摩擦屬于靜摩擦，理論上靜摩擦力的方向與相對運動趨勢相反，但實際上有些情況下相對運動趨勢很難判斷，故摩擦力的方向?qū)W生容易出錯。純滾動是剛體平面運動中的一種特殊情況，摩擦力可用動力學(xué)的運動微分方程分析。

圖1所示一均質(zhì)圓環(huán)質(zhì)量為m，半徑為R，相對質(zhì)心C的慣性半徑為ρ，受到水平力F和力偶M同時作用在水平面上純滾動，與地面接觸點P點為其速度瞬心。圓環(huán)的受力分析如圖2所示，假設(shè)靜摩擦力FS的方向與力F方向相同，設(shè)力F作用線到質(zhì)心C的距離為x。純滾動是平面運動中最常見的一種，其運動微分方程為:

圖1 剛性圓環(huán)的純滾動

圖2 圓環(huán)的受力分析

從式(4)知，顯然當(dāng)(M+Fx)R ＞Fρ2時，F(xiàn)S的實際方向與假定方向相同;反之，當(dāng)(M+Fx)R＜Fρ2時，F(xiàn)S的實際方向與假定方向相反;當(dāng)(M+Fx)R=Fρ2時，F(xiàn)S=0，無靜摩擦力。由以上分析可知，圓環(huán)純滾動時與地面間的靜摩擦力取決于多個因素。下面討論兩種特殊的情況:

2 圓環(huán)為變形體時的滾動分析

實際的滾動都是非剛性的，滾動的物體和接觸面之間都會有一定的變形存在，當(dāng)圓環(huán)靜止不動時，物體的重力和地面約束力形成平衡力系，如圖3所示。當(dāng)圓環(huán)在外荷載作用下滾動時，圓環(huán)與地面接觸部分發(fā)生變形，其接觸面為偏右側(cè)的某一區(qū)域，在接觸面上圓環(huán)受到一個平面任意力系的作用(圖4)，力系向A點簡化可得到其合力FR，如圖5所示。一般情況下把合力FR向水平和豎直方向分解為分力Fx和Fy，如圖6所示。其中Fy和重力大小相等，方向相反，形成力偶，該力偶矩轉(zhuǎn)向與圓環(huán)轉(zhuǎn)動方向相反，阻礙圓環(huán)的運動，力偶矩的大小為My=δG，δ為Fy與C點的垂直距離。Fx對質(zhì)心C的力矩為Mx=γG，γ為Fx與C點的垂直距離，這一力矩與圓環(huán)轉(zhuǎn)動方向一致，推動圓環(huán)的轉(zhuǎn)動。因此滾動時的阻力矩為M=My－Mx=δG－γG，一般情況下Fx極小，故力矩Mx也很小，可忽略不計，因此把My=δG稱之為滾動摩阻力偶。實際中當(dāng)汽車輪胎氣不足或路面較軟時，接觸地面的區(qū)域越大，滾動摩阻力偶就越大，車輪行駛就比較費力。

圖3 圓環(huán)靜止于水平面時的形態(tài)

圖4 圓環(huán)在水平面滾動時的形態(tài)

圖5 圓環(huán)的受力分析

圖6 力的分解

3 結(jié)論

由以上討論可知，當(dāng)一個物體在另一個物體表面滾動時，摩擦的性質(zhì)是比較復(fù)雜的，需要根據(jù)不同的情況來討論。對于純滾動而言，無論受力情況如何，其靜摩擦力對物體的平移和轉(zhuǎn)動的作用總是相對的，對平移起促進作用，則阻礙其轉(zhuǎn)動，反之，阻礙物體平移一定提供轉(zhuǎn)動的力矩。上述方法同樣適用于在斜面滾動的圓環(huán)摩擦力的判定。

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［5］哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2009.