分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)函數(shù)投影同步

劉金桂

(淮陰工學院 數(shù)理學院，江蘇 淮安 223003)

0 引言

自Pecora和Carroll提出混沌同步原理以來，混沌同步問題引起了人們的廣泛關(guān)注。在同步問題的研究中，提出了許多同步的方式，如完全同步、相同步、滯后同步、廣義同步、投影同步和函數(shù)投影同步等。由于函數(shù)投影同步的思想是驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)以一定的比例函數(shù)進行同步，并且比例函數(shù)的選擇具有一定的靈活性，因此將函數(shù)投影同步運用到保密通信中可更好地加強保密通信中信息的安全性，從而引起越來越多的學者的關(guān)注。

另一方面，自20世紀60年代分數(shù)階微積分應(yīng)用于控制領(lǐng)域以來，分數(shù)階系統(tǒng)控制的研究經(jīng)歷了一個很長的緩慢發(fā)展過程。目前，大部分以微分方程的形式描述的控制系統(tǒng)，其微分方程均考慮為整數(shù)階。實際上，許多物理系統(tǒng)展現(xiàn)出分數(shù)階動力學行為。由于采用分數(shù)階描述那些本身帶有分數(shù)階特性的對象時，能更好地揭示對象的本質(zhì)特性及其行為，因此引起了越來越多的研究者的興趣。文獻［10、11］基于追蹤控制的思想，利用分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論分別討論了分數(shù)階系統(tǒng)的函數(shù)投影同步和分數(shù)階混沌系統(tǒng)與整數(shù)階混沌系統(tǒng)之間的混沌同步問題。文獻［12］基于滑?？刂评碚摵妥赃m應(yīng)控制理論，研究了分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步問題。文獻［13］基于分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，設(shè)計了控制器和未知參數(shù)的辨識規(guī)則，實現(xiàn)了分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的同步。然而，到目前為止，討論關(guān)于具有未知參數(shù)的分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的函數(shù)投影同步方面的文獻還很少。因此本文在文獻［10］的基礎(chǔ)上討論了具有未知參數(shù)的超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)函數(shù)投影同步問題。

1 問題描述

考慮下述形式的驅(qū)動－響應(yīng)混沌系統(tǒng):

其中，x(t)、y(t)∈Rn表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量。f(x)為非線性向量函數(shù):Rn→Rn連續(xù)可微，并且滿足Lipschitz條件:‖f(x1)－f(x2)‖ ≤L‖x1－x2‖，L ＞0。

定義1 對任意初始值x0、y0，若存在控制器u(t)，使得e=y－∧(t)x→0(t→∞)，則稱系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)達到函數(shù)投影同步。

本文通過設(shè)計控制器u(t)和參數(shù)更新規(guī)則，使系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)達到函數(shù)投影同步。

2 自適應(yīng)控制器設(shè)計和穩(wěn)定性分析

定義誤差為e=y－∧(t)x，其中，∧(t)是連續(xù)有界的可微函數(shù)矩陣。

基于追蹤控制與自適應(yīng)控制策略，選擇控制輸入和參數(shù)更新規(guī)則分別為:

其中，K1(x，y)和K2(x，y)為函數(shù)矩陣，K為正定矩陣，θ^用來估計未知參數(shù)θ。

系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)的誤差系統(tǒng)為:

定理 對誤差系統(tǒng)(5)，若存在函數(shù)矩陣K1(x，y)，K2(x，y)和正定矩陣P、Q、K，使得:

則系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)達到函數(shù)投影同步。

假設(shè)λ為矩陣:

的任一特征根，且相應(yīng)的特征向量記為ζ，

3 數(shù)值仿真

為了驗證所設(shè)計的控制器的正確性和有效性，選擇如下的超混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)。

其中，a、b、c、d、μ、v是系統(tǒng)參數(shù)，當q=0.97、(a，b，c，d，μ，v)=(35，4，25，5，35，100) 時，系統(tǒng)是超混沌的。

驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初始值分別取為［－2，0，1，－1］T和［1，0，－2，2］T，函數(shù)矩陣 ∧ (t)=diag(sint+2，cos2t－2，2sint+1，－cost+1)，仿真步長為0.01。仿真后的系統(tǒng)誤差和參數(shù)辨識結(jié)果分別如圖1和圖2所示。

圖1 系統(tǒng)誤差隨時間變化的曲線

圖2 參數(shù)變化軌跡

仿真結(jié)果表明，驅(qū)動－相應(yīng)系統(tǒng)實現(xiàn)了函數(shù)投影同步，同時也實現(xiàn)了未知參數(shù)的辨識。

4 結(jié)論

本文討論了參數(shù)不確定分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的函數(shù)投影同步問題，基于自適應(yīng)控制策略，設(shè)計了控制器和參數(shù)更新規(guī)則;同時利用分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并給出了數(shù)值仿真結(jié)果，驗證了所設(shè)計的控制器和參數(shù)更新規(guī)則的有效性和正確性。

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