三角級(jí)數(shù)在Burgers-KdV混合型方程中的應(yīng)用

馬敏艷,吉飛宇,魚翔

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127)

三角級(jí)數(shù)在Burgers-KdV混合型方程中的應(yīng)用

馬敏艷,吉飛宇,魚翔

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127)

利用三角級(jí)數(shù)法將Burgers-KdV混合型方程轉(zhuǎn)化為一組非線性代數(shù)方程,進(jìn)而用待定系數(shù)法求解方程組,最后求出了Burgers-KdV混合型方程的精確解.

Burgers-KdV混合型方程；三角級(jí)數(shù)；精確解

1 引言

尋找非線性發(fā)展方程精確解的求解方法一直是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家研究的熱點(diǎn)問題,近年來(lái),在構(gòu)造非線性發(fā)展方程的精確解領(lǐng)域中涌現(xiàn)出許多有效的方法,如截?cái)嗾归_法、齊次平衡法[12]、試探函數(shù)法[34]、F-展開法[5]、分離變量法、Jacobi橢圓函數(shù)法[6]、三角級(jí)數(shù)法、(G′/G)展開法[7]、Backlund變換法[8]、tanh函數(shù)展開法[9]等,并利用這些方法求解了許多非線性方程.Burgers-KdV方程的一般形式是:

其中,α,β分別代表耗散系數(shù)和色散系數(shù).該方程是人們?cè)谘芯績(jī)?nèi)部含有氣泡的液體流動(dòng)以及彈性管道中的液體流動(dòng)等問題時(shí)提出的,文獻(xiàn)[10]對(duì)Burgers-KdV的行波解做了定性分析,但由于未能求得Burgers-KdV方程行波解的表達(dá)式,因而不能導(dǎo)得湍流的一些結(jié)構(gòu)特征.文獻(xiàn)[1]通過分析Burgers方程和KdV方程的解的形式,采用類比的方法求得了Burgers-KdV方程的單調(diào)激波解的形式,并說(shuō)明解是由沖擊波和孤立波組合而成的.大大促進(jìn)了問題的解決.近年來(lái)Burgers-KdV方程作為湍流的規(guī)范方程以及解釋湍流機(jī)理并取得了很大的進(jìn)展[1213].而且在實(shí)際工程中的某些問題也能用Burgers-KdV方程來(lái)描述.三角級(jí)數(shù)法[1415]對(duì)于求解非線性發(fā)展方程精確解方面顯得十分重要,本文利用正是利用三角級(jí)數(shù)法,成功得到了Burgers-KdV方程的精確解.

2 Burgers-KdV混合型方程

Burgers-KdV混合型方程:

其中A是積分常數(shù).

3 用三角級(jí)數(shù)將Burgers-KdV混合型方程化為非線性代數(shù)方程組

設(shè)(4)式的解為如下形式的三角級(jí)數(shù)：

4 精確解的分析

第一組解和第四組解是平凡解,所以都舍去.接下來(lái)分析第二組解和第三組解,首先從(6)式求得w和ξ的關(guān)系式,(6)式等號(hào)兩邊同乘以-ksinkw,則有

對(duì)上式兩邊積分可得:

所得u2是虛解,沒有明顯的物理意義,所以u(píng)1是所求方程的精確解.

5 結(jié)論

本文通過利用三角級(jí)數(shù)法求得了Burgers-KdV混合方程的精確解,該方法將一個(gè)非線性偏微分方程化為一組易于求解的非線性代數(shù)方程,再利用待定系數(shù)法求解該代數(shù)方程組,所求得的精確解不能用其他方法獲得.本文方法對(duì)于求解其他非線性偏微分方程將發(fā)揮其重要作用,目前正在做進(jìn)一步研究.

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Apply of trigonometric series in Burgers-KdV equation

Ma Minyan,Ji Feiyu,Yu Xiang

(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an710127,China)

The Burgers-KdV equation is changed into nonlinear algebraic equations based on the trigonometric series,and it can be solved by the method of undetermined coefficients and the Maple software.As a result,the exact solution to the Burgers-KdV equation is successfully derived.

Burgers-KdV equation,trigonometric series,exact solution

O175

A

1008-5513(2012)04-0559-05

2011-12-22.

國(guó)家自然科學(xué)基金(10671156).

馬敏艷(1986-),碩士生,研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:35Q58