矩陣方程AX=B的自反最小秩解及其最佳逼近

肖慶豐,胡錫炎,張磊

(1.東莞職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部,廣東 東莞 523808;2.湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計量經(jīng)濟(jì)學(xué)院,湖南 長沙 410082)

矩陣方程AX=B的自反最小秩解及其最佳逼近

肖慶豐1,胡錫炎2,張磊2

(1.東莞職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部,廣東 東莞 523808;2.湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計量經(jīng)濟(jì)學(xué)院,湖南 長沙 410082)

利用矩陣對的廣義奇異值分解,得到了矩陣方程AX=B有自反解的充分必要件,以及有解時,定秩解、最小秩解的一般表達(dá)式.另外,給出了自反最小秩解集合中與給定矩陣的最佳逼近解.

矩陣方程;自反矩陣;廣義奇異值分解;最小秩解;最佳逼近

1 引言

本文用Cn×m表示所有n×m復(fù)矩陣集合,OCn×n表示所有n階酉矩陣組成的集合,In表示n階單位矩陣,AH表示復(fù)矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣,A+表示矩陣A的M oore-Penrose廣義逆,r(A)表示矩陣A的秩,在Cn×m上定義內(nèi)積為〈A,B〉=tr(BHA),?A∈Cn×m, B∈Cn×m,‖·‖表示由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù),即Frobenius范數(shù).

設(shè)P∈Cn×n,且PH=P,P2=I,則稱P為廣義反射矩陣.本文中的P為給定的廣義反射矩陣.

設(shè)X∈Cn×n,給定廣義反射矩陣P,若X滿足X=PX P,則稱X為關(guān)于P的自反矩陣.所有關(guān)于P的自反矩陣的全體記為:

矩陣反問題是當(dāng)今計算數(shù)學(xué)中一個非?；钴S的研究課題,它涉及的領(lǐng)域有結(jié)構(gòu)動力學(xué)、固定力學(xué)、物理、電學(xué)、分子光譜學(xué)、量子力學(xué)、結(jié)構(gòu)設(shè)計、參數(shù)識別、自動控制等等.近年來,特殊矩陣的反問題的研究也非常活躍[1-3].關(guān)于廣義自反矩陣P的自反矩陣在工程及計算科學(xué)中有很廣泛的用途[4-5],文獻(xiàn)[6]討論了矩陣方程AX=B的自反與反自反解,但在許多應(yīng)用領(lǐng)域,如統(tǒng)計學(xué)和控制論中,人們不僅需要求出矩陣方程的解,而且也需要求出具有指定秩的矩陣方程的解.文獻(xiàn)[7]首先考慮了矩陣方程AX=B和AX B=C的定秩求解問題,文獻(xiàn)[8]給出了矩陣方程AX=B的可能秩的解,文獻(xiàn)[9]給出了矩陣方程AX=B最小秩的最佳逼近解.對于其他類型的矩陣方程,文獻(xiàn)[10]使用廣義逆給出了矩陣方程AX A?=B的最大秩和最小秩的Herm itian非負(fù)定解,文獻(xiàn)[11]使用廣義逆得到了矩陣方程AX B=C的最大秩和最小秩解,文獻(xiàn)[12]使用兩次SVD得到了秩約束下矩陣方程AX A?=B的Herm itian非負(fù)定解.本文研究矩陣方程AX=B的自反最小秩解及其最佳逼近,推廣了文獻(xiàn)[6]中的一些結(jié)果.

本文研究了如下問題:

本文在第二節(jié)借助于矩陣對的廣義奇異值分解,對矩陣方程CZ=D的一般解的秩進(jìn)行了分析討論,在此基礎(chǔ)上來研究矩陣方程AX=B的定秩自反解.在第三節(jié)給出了最小秩的最佳逼近解.

2 問題 I解的表達(dá)式

其中1＞α1≥···≥αt＞0,0＜β1≤···≤βt＜1,而α2i+β2i=1,i=1,···,t.

引理 2.3 假設(shè)C∈Cm×n,D∈Cm×p,矩陣對(C,D)的廣義奇異值分解如引理2.2,則矩陣方程CZ=D有解Z∈Cn×p的充要條件是r(C,D)=r(C),且若矩陣方程CZ=D有解,則有

(1)矩陣方程C Z=D的通解表達(dá)式為:

其中Y31,Y32是具有相應(yīng)維數(shù)的任意矩陣,U1,V1,SC,SD見引理2.2.

(2)矩陣方程C Z=D的解矩陣中最小秩和最大秩為:

(3)矩陣方程CZ=D的解矩陣中的最小秩解為:

其中Y32是具有相應(yīng)維數(shù)的任意矩陣,U1,V1,SC,SD見引理2.2.

(4)矩陣方程CZ=D的解矩陣中的最大秩解為:

其中Y32是具有相應(yīng)維數(shù)的任意矩陣,選取Y31要么行滿秩,要么列滿秩.U1,V1,SC,SD見引理2.2.

(5)對于m1≤s1≤M1,矩陣方程CZ=D的解矩陣中具有秩s1的解為:

其中Y32是具有相應(yīng)維數(shù)的任意矩陣,選取Y31使得r(Y31)=s1?r(D).U1,V1,SC,SD見引理2.2.

把(17)式代入(16)式,則得到相容矩陣方程AX=B有秩為s的自反解的一般表達(dá)式為(14)式.且矩陣方程AX=B的自反矩陣解集合中的最小秩和最大秩為(13)式,以及最小秩解的表達(dá)式為(15)式.

3 問題 II解的表達(dá)式

參考文獻(xiàn)

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The reflex ive m inim al rank solu tion of the m atrix equation AX=B and the op tim al app rox im ation

Xiao Qingfeng1,Hu Xiyan2,Zhang Lei2

(1.Departm ent of Basic,Dongguan Polytechnic,Dongguan 523808,China;
2.College of M athem atics and Econom etrics,Hunan University,Changsha 410082,China)

By app lying thegeneralized singu lar value decom position ofmatrix pairs,thenecessary and suffi cient conditions are obtained for the existence of the refl exive solutions of the m atrix equation AX=B,and the expression of the fixed and m inim al rank solutions is also shown.In addition,for them inim al rank solution set, the expression of the op timal approximation solution to a given matrix is derived.

m atrix equation,reflexivem atrix,generalized singu lar value decom position,m inim al rank, op tim al approxim ation

O241.6

A

1008-5513(2012)06-0719-09

2011-08-26.

國家自然科學(xué)基金(10571047);高校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20060532014).

肖慶豐(1977-),博士,副教授,研究方向：數(shù)值代數(shù).

2010 M SC:65F15,65D 99