基于函數(shù)性主成分的北京市居民收入水平研究

□文/鄭 冰

（首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 北京）

一、引言

近年來，社會各方面越來越關(guān)注北京市居民收入的貧富差距日益擴(kuò)大，忽視了居民收入的變化情況，普遍默認(rèn)為居民收入水平一直處于增長的狀態(tài)。北京市居民收入水平真的一直在增加嗎？為什么公布的數(shù)據(jù)和居民的感受不一致呢？原因很簡單，目前對于居民收入水平公布或分析的時(shí)候，一般就只是用人均可支配收入這一個(gè)指標(biāo)來衡量。但實(shí)際上，單個(gè)指標(biāo)反映居民收入水平是片面的，我們應(yīng)該考慮到就業(yè)的情況、物價(jià)水平和生活成本以及政策性補(bǔ)貼等方面因素的影響。

如果僅僅分析某一時(shí)期或者時(shí)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，我們可以采用主成分分析方法。通過主成分分析的方法，可以把大量的原始變量綜合成幾個(gè)少數(shù)的變量。但是要分析某一段時(shí)期居民收入水平各個(gè)指標(biāo)的變化，針對這樣的面板數(shù)據(jù)，縱向數(shù)據(jù)模型主要是以線性結(jié)構(gòu)描述變量之間的因果關(guān)系，而且模型太過于依賴諸多的假設(shè)條件，具有一定的局限性。但是函數(shù)性主成分分析方法僅僅假設(shè)觀測數(shù)據(jù)背后存在著相應(yīng)的連續(xù)函數(shù)，具有自身的優(yōu)越性，較少的依賴假設(shè)條件和較弱的結(jié)構(gòu)約束。

1991年，J.O.Ramsay和C.J.Dalzel在《Some Tools for Function Data Analysis》最先提出函數(shù)性主成分方法。近幾年來，函數(shù)性主成分分析已經(jīng)引起了國外學(xué)術(shù)界的關(guān)注，如Brumback和 Rice、James et al.、Girard、Cardot和 He et al.通過不同的方法對函數(shù)性主成分的算法進(jìn)行研究。2005年，Salvatore和Damiana已經(jīng)將函數(shù)性主成分分析方法用于實(shí)際的運(yùn)用中。與國外相比，國內(nèi)關(guān)于函數(shù)性主成分分析還處于起步階段，目前只有極少數(shù)的學(xué)者對此方面進(jìn)行研究。而且在對函數(shù)性主成分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行平滑時(shí)，均采用B樣條基函數(shù)來平滑，如岳敏和朱建平、靳劉蕊等都是采用3次B樣條的光滑技術(shù)。但是，J.O.Ramsay和 B.W.Silverman在《Function Data Analysis》指出：“傅立葉基和B樣條基是至今最為重要的兩個(gè)基函數(shù)，大多數(shù)實(shí)際問題的數(shù)據(jù)可用它們進(jìn)行處理，前者適應(yīng)于周期性函數(shù)數(shù)據(jù)，后者適應(yīng)于非周期性函數(shù)數(shù)據(jù)?！眹?yán)明義在《函數(shù)性數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析：思想、方法和應(yīng)用》中也指出對于周期性函數(shù)，傅立葉基更合適。一般來說，經(jīng)濟(jì)問題都具有周期性，本文涉及到十幾年的居民收入水平也存在一定的周期性，用傅立葉基更為合適。

本文從就業(yè)情況、物價(jià)水平和生活成本以及政策性補(bǔ)貼等方面來反映北京市居民收入水平，用傅立葉基函數(shù)來建立函數(shù)性主成分（FPCA）模型，分析1999～2010年動態(tài)變化情況。在具體運(yùn)用過程中，由于涉及到經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的周期性，對原有的模型進(jìn)行了改進(jìn)，采用傅立葉基函數(shù)來精心光滑。

二、基本原理

（一）函數(shù)性數(shù)據(jù)分析。函數(shù)性數(shù)據(jù)分析（FDA）是從函數(shù)的角度對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，即假設(shè)數(shù)據(jù)具有函數(shù)性。它把數(shù)據(jù)看作一個(gè)整體，用光滑的曲線ui（t）來表示數(shù)據(jù)，其中i=1，…，N表示觀測對象；t既可以表示時(shí)間，也可以表示其他的變量。與傳統(tǒng)的分析方法相比較，函數(shù)性數(shù)據(jù)分析有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：較少的假設(shè)條件和結(jié)構(gòu)約束；不需要對于觀測對象i=1，…，N的觀測點(diǎn)和觀測次數(shù)相同；通過導(dǎo)數(shù)曲線挖掘出更多的信息等。

（二）傅立葉基函數(shù)。傅立葉變換在物理學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、信號處理、密碼學(xué)、海洋學(xué)、通訊等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。例如，在信號處理中，傅立葉變換的典型用途是將信號分解成振幅分量和頻率分量。在函數(shù)性數(shù)據(jù)分析中，傅立葉變換作為一種平滑技術(shù)，一般稱作傅立葉基函數(shù)，具體形式如下：

傅立葉基的周期為2π/w。

傅立葉基函數(shù)對于穩(wěn)定的函數(shù)有非常好的效果，而且數(shù)據(jù)的周期性也可以用傅立葉基函數(shù)顯示出來。所以，對于周期性數(shù)據(jù)，非常適合用傅立葉基函數(shù)。

（三）函數(shù)性主成分分析。對于函數(shù)性數(shù)據(jù)表示為xi（s）（s∈T），與傳統(tǒng)的主成分分析數(shù)據(jù)xij相比，S是連續(xù)的而j是離散的，其中i=1，…，N。將區(qū)間T上的x（s）綜合為一個(gè)綜合變量：

其中，β（s）為權(quán)重函數(shù)。

函數(shù)性主成分的求解和多元主成分求解的基本思想非常相似，第一主成分的求解就是滿足下面條件：

第k個(gè)主成分的求解就是滿足下面條件：

在具體的函數(shù)性主成分求解過程中，通過前面提到的傅立葉基函數(shù)展開來實(shí)現(xiàn)。當(dāng)然，在此之前，還需要先對觀測到的曲線進(jìn)行曲線套準(zhǔn)、標(biāo)準(zhǔn)化等初步處理。

三、北京市收入水平實(shí)證分析

（一）指標(biāo)的選取。本文采用1999～2010年的11個(gè)指標(biāo)反映北京市居民收入水平的數(shù)據(jù)。

關(guān)于11個(gè)指標(biāo)的選取，主要從分配制度、就業(yè)狀況、物價(jià)及成本因素和政策性補(bǔ)貼這4個(gè)角度來考慮。在分配制度方面，用分配方式和收入差異來衡量；在就業(yè)狀況，用就業(yè)增長性、就業(yè)貢獻(xiàn)率、就業(yè)水平和就業(yè)結(jié)構(gòu)來衡量；物價(jià)及成本因素方面，用消費(fèi)價(jià)格、消費(fèi)支出和生活成本來衡量；在政策性補(bǔ)貼方面，用保障標(biāo)準(zhǔn)和保證規(guī)模來衡量。各個(gè)指標(biāo)具體指標(biāo)含義，可以參見表1。（表1）

收入差異和生活成本對于居民收入水平來說是逆指標(biāo)，本文采用其負(fù)數(shù)來衡量；城鎮(zhèn)單位在崗職工平均工資增速、居民人均消費(fèi)支出增速、個(gè)人所得稅稅收增速、地方財(cái)政中社會保障和就業(yè)支出增速這4個(gè)指標(biāo)的數(shù)據(jù)都經(jīng)過了價(jià)格縮減，為實(shí)際增速。

（二）總體收入水平。為了能更好地應(yīng)用函數(shù)性數(shù)據(jù)的分析方法，使得計(jì)算過程更為簡便，所以我們先進(jìn)行中心化。針對中心化后的數(shù)據(jù)，運(yùn)用R語言編程，對北京市各居民收入水平指標(biāo)的均值進(jìn)行平滑。在用傅立葉基函數(shù)平滑的過程中，還與粗糙懲罰法結(jié)合起來，經(jīng)過粗糙懲罰后得到的函數(shù)更加光滑細(xì)致，使得下一步分析有更好的結(jié)果。

從圖1中可以看出，12年來北京市居民收入水平雖然一直小幅度波動，但是總體上保持平穩(wěn)的發(fā)展。2004年居民收入水平最高，2008年以后大致處于上升的趨勢。（圖1）雖然近年來北京市居民人均可支配收入一直處于增長的過程，但是綜合考慮就業(yè)的情況、物價(jià)水平和生活成本以及政策性補(bǔ)貼等方面因素的影響后，我們發(fā)現(xiàn)北京市居民收入水平實(shí)際上保持平穩(wěn)發(fā)展。

表1 居民收入水平指標(biāo)體系

圖1 北京市居民收入水平指標(biāo)均值平滑曲線

圖2 11個(gè)中心化后指標(biāo)的函數(shù)圖像

（三）函數(shù)性主成分分析。為了能更好地應(yīng)用函數(shù)性主成分分析方法，所以我們先對11個(gè)指標(biāo)也采用傅立葉基函數(shù)進(jìn)行光滑。在光滑的過程中，還是與粗糙懲罰法結(jié)合起來，具體內(nèi)容，如圖2所示。（圖2）可以看出，由于涉及指標(biāo)較多，不能清晰地看出從1999年到2010年北京市居民收入水平變化的情況，需要把這11個(gè)指標(biāo)綜合為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)。

得到平滑函數(shù)以后，對11個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化后指標(biāo)的函數(shù)進(jìn)行主成分分析。圖3、圖4和圖5顯示了前3個(gè)主成分偏離均值的情形。其中，第一主成分的方差貢獻(xiàn)率為37.8%；第二主成分的方差貢獻(xiàn)率為29.6%；第三主成分的方差貢獻(xiàn)率為13.9%。為了清晰顯示各主成分所代表的變化模式，分別在均值曲線上加上或者減去各主成分權(quán)重函數(shù)合適的倍數(shù)后得到的兩條曲線繪制在一個(gè)坐標(biāo)圖中，其中實(shí)線（—）表示均值曲線、正號（+++）表示加上權(quán)重函數(shù)、負(fù)號（---）表示減去權(quán)重函數(shù)。（圖 3、圖 4、圖 5）

從圖3中可以看出，表示均值的實(shí)線處以一直比較平穩(wěn)的發(fā)展，尤其是從2005以后，實(shí)線的波動變小。說明北京市居民收入水平一直處于較為平穩(wěn)發(fā)展的狀態(tài)，而且近幾年的穩(wěn)定性有所提高。

從圖中還可以看出，第一主成分從2000年到2005年一直為正效應(yīng)，而在2005年有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，從此變?yōu)樨?fù)效應(yīng)，一直到2010年。實(shí)際上，從1991年至2004年是北京市外來人口大量增加階段。經(jīng)濟(jì)快速增長導(dǎo)致中心城市強(qiáng)大的引力效應(yīng)，人口資金迅速集中，并有逐年遞增之勢。例如，2004年全市增加的人口中，外來人口占到63%。由于人口的快速增長，導(dǎo)致就業(yè)增長率等反映居民收入水平情況的指標(biāo)較快提高，所以表現(xiàn)為正效應(yīng)。但從2005年北京就開始控制人口，如2005年《北京城市總體規(guī)劃（2004年-2020年）》，就明確提出到2020年北京市總?cè)丝谝?guī)模規(guī)劃控制在1，800萬人左右。近幾年來，北京市人口規(guī)模一直處于控制狀態(tài)，卻也在進(jìn)行人才引進(jìn)，所以負(fù)效應(yīng)在不斷減少。可以認(rèn)為，第一主成分基本上反映了北京市人口控制的影響效應(yīng)。

圖3 第一主成分偏離均值函數(shù)的效應(yīng)圖（方差貢獻(xiàn)率37.8%）

圖4 第二主成分偏離均值函數(shù)的效應(yīng)圖（方差貢獻(xiàn)率29.6%）

圖5 第三主成分偏離均值函數(shù)的效應(yīng)圖（方差貢獻(xiàn)率13.9%）

從圖4中可以看出，表示均值的實(shí)線也是比較平穩(wěn)的發(fā)展。從圖中可以看出，第二主成分的正負(fù)效應(yīng)一直處以交替作用中，但是2008年的負(fù)效應(yīng)特別大。我們可以理解為奧運(yùn)會的影響效應(yīng)?；I辦奧運(yùn)會期間，北京市財(cái)政收入加大了對奧運(yùn)場館和環(huán)境建設(shè)，減少了對社會保障和就業(yè)的支持。例如，地方財(cái)政中社會保障和就業(yè)支出增速從2006年的47.76下降到2007年的17.33，至2008年的最低點(diǎn)11.09，2008年以后增速就不斷變大。

從圖5中可以看出，第三主成分與第二主成分類似，表示均值的實(shí)線也是比較平穩(wěn)的發(fā)展。第三主成分的正負(fù)效應(yīng)一直處以交替作用中，但是存在兩個(gè)極值點(diǎn)。

第一個(gè)極值點(diǎn)是2001年的負(fù)效應(yīng)特別大，主要是受到新個(gè)人所得稅法的影響。雖然個(gè)人所得稅起征點(diǎn)增加，但是2011年北京市個(gè)人所得稅較2000年增加了17%。第二個(gè)極值點(diǎn)是2004年的正效應(yīng)。由于2004年前北京快速發(fā)展，人口不斷增加，不僅就業(yè)狀況提高，政府也加大了財(cái)政性補(bǔ)貼，導(dǎo)致較大的正效應(yīng)。

四、結(jié)論

從模型的角度來說，通過傅立葉基函數(shù)來建立函數(shù)性主成分（FPCA） 模型，分析1999～2010年北京市居民收入水平?？梢钥闯鲈摲椒軌蜉^為準(zhǔn)確的捕捉到北京市居民收入水平的時(shí)間波動特征。

從應(yīng)用的角度來說，綜合考慮就業(yè)的情況、物價(jià)水平和生活成本以及政策性補(bǔ)貼等方面因素的影響后，北京市居民收入水平實(shí)際上保持平穩(wěn)發(fā)展，而不是持續(xù)增長狀態(tài)。北京市居民收入水平主要受人口規(guī)?？刂频挠绊?，其次受到奧運(yùn)會和新個(gè)人所得稅的影響。總之，我們不僅僅關(guān)注北京市居民收入的貧富差距，同時(shí)也要提高居民的收入水平。

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