一類兩自由度碰振系統(tǒng)的胞映射計(jì)算

王 艷，劉冬芳，楊黎昆，殷一首

(1.軍械工程學(xué)院基礎(chǔ)部，河北 石家莊050003;2.軍械工程學(xué)院二系，河北石家莊050003)

近年來國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要利用理論推導(dǎo)和計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬相結(jié)合的方法研究了碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為[1－4]。Hsu C.S[5]提出了胞映射數(shù)值計(jì)算方法，這種方法把狀態(tài)空間中的每個(gè)狀態(tài)變量按等間隔劃分成胞，以胞的中心點(diǎn)的特性代表整個(gè)胞的特性，通過對(duì)中心點(diǎn)進(jìn)行連續(xù)的poincare映射，完成對(duì)所研究區(qū)域的全局分析。胞映射法使非線性動(dòng)力學(xué)內(nèi)在的復(fù)雜性通過相空間轉(zhuǎn)換而清晰地展現(xiàn)出來，只要計(jì)算機(jī)的速度和內(nèi)存容量允許，對(duì)高維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)都能夠以任意尺度來劃分胞并進(jìn)行胞映射全局性態(tài)分析。目前這種方法已被應(yīng)用于進(jìn)行單自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的全局分析[6]，但尚未見將此方法應(yīng)用于研究多自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的全局性態(tài)。

本文對(duì)一類兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的全局性態(tài)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)了在一定參數(shù)條件下存在的共存吸引子現(xiàn)象，進(jìn)而結(jié)合胞映射方法和poincare映射，計(jì)算得出了系統(tǒng)單周期運(yùn)動(dòng)的吸引域，并給出了吸引域范圍隨外加激振頻率變化的趨勢(shì)。

1 兩自由度碰振系統(tǒng)的力學(xué)模型

圖1是一個(gè)兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)與固定約束發(fā)生碰撞的力學(xué)模型。質(zhì)塊M1和M2分別由剛度為K1，K2的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C1，C2的線性阻尼器連接。質(zhì)量為M1和M2的質(zhì)塊的位移分別用X1和X2表示。作用在質(zhì)塊M1和M2上的激勵(lì)振幅為P1和P2，頻率為Ω的簡(jiǎn)諧激勵(lì)Pi sin(ΩT+τ)(i=1，2)。當(dāng)質(zhì)塊M1位移X1等于間隙B時(shí)，質(zhì)塊M1將與剛性約束A碰撞，改變速度方向后，又以新的初值運(yùn)動(dòng)，然后再次與約束A碰撞，如此往復(fù)。假設(shè)力學(xué)模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，碰撞過程由碰撞恢復(fù)系數(shù)R確定，碰撞持續(xù)時(shí)間略去不計(jì)。在任意連續(xù)兩次碰撞之間，振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

質(zhì)塊M1的沖擊方程為

方程(1)和(2)的無(wú)量綱形式為

在方程(3)和(4)中，“﹒”表示對(duì)無(wú)量綱時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)，其中無(wú)量綱量為

建立碰振系統(tǒng)的Poincare映射。

2 系統(tǒng)的全局分析

選取一組無(wú)量綱系統(tǒng)參數(shù)為μm=2.0，μc=4.0，B=1.2，f20=0.0，C=0.0，R=0.7，取激振頻率ω為分岔參數(shù)，圖2給出了外加激振頻率ω∈[0.6～0.7]范圍內(nèi)變化時(shí)系統(tǒng)的全局分岔圖。由于初始值不同或受到擾動(dòng)，系統(tǒng)存在如圖2(1)、(2)所示的兩個(gè)不同周期運(yùn)動(dòng)的全局分岔圖。

圖2(1)顯示系統(tǒng)約在ω∈[0.6，0.635 5]范圍內(nèi)具有雙周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)激振頻率遞增穿越ω≈0.636時(shí)，系統(tǒng)由雙周期運(yùn)動(dòng)突變?yōu)閱沃芷谶\(yùn)動(dòng)，激振頻率繼續(xù)增大，周期運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)，約在ω∈[0.651，0.658 5]區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng)。隨著激振頻率的進(jìn)一步增加，系統(tǒng)退出混沌狀態(tài)，呈現(xiàn)出穩(wěn)定的周期3運(yùn)動(dòng)。而ω增大至約0.678時(shí)，系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單周期運(yùn)動(dòng)。隨著激振頻率的增大，在ω≈0.693 5單周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生hopf分岔，形成概周期運(yùn)動(dòng)，概周期運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)后轉(zhuǎn)遷為混沌運(yùn)動(dòng)。圖3(1)～(8)是系統(tǒng)隨外加激振頻率的增加運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的演化過程。

圖2(1)與(2)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，當(dāng)初始值不同或受到擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)在某個(gè)激勵(lì)頻率范圍內(nèi)會(huì)存在多吸引子共存的現(xiàn)象。在ω≈0.616 5至ω≈0.635 5區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)存在單周期運(yùn)動(dòng)和雙周期運(yùn)動(dòng)共存的現(xiàn)象，在ω≈0.662至 ω≈0.678區(qū)間內(nèi)，則存在單周期運(yùn)動(dòng)和三周期運(yùn)動(dòng)共存的現(xiàn)象。

3 周期運(yùn)動(dòng)吸引域的胞映射計(jì)算

胞映射法認(rèn)為，點(diǎn)映射系統(tǒng)只是從理論上將狀態(tài)空間看成是連續(xù)的，而實(shí)際總會(huì)有一個(gè)步長(zhǎng)。當(dāng)所找的點(diǎn)與理想點(diǎn)的距離小于這個(gè)步長(zhǎng)時(shí)，就認(rèn)為它們是同一點(diǎn)。這樣也就是說，狀態(tài)點(diǎn)可以用有限大小的單元－胞來表征。在胞映射思想的基礎(chǔ)上，結(jié)合變步長(zhǎng)積分法，對(duì)圖1所示兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的吸引域進(jìn)行計(jì)算。先結(jié)合文獻(xiàn)[7]利用點(diǎn)映射和胞映射相結(jié)合的方法，求出系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)在Poincare截面上的不動(dòng)點(diǎn)及其周期數(shù)(不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù))。然后將研究區(qū)間細(xì)分為一定數(shù)量的胞，取每個(gè)胞的中心點(diǎn)作為初始迭代點(diǎn)進(jìn)行點(diǎn)映射計(jì)算，求得其在Poincare截面上的映射點(diǎn)，如果映射點(diǎn)仍然落在研究區(qū)間內(nèi)，記下映射點(diǎn)所在的胞，從而建立起胞與胞之間的映射關(guān)系，如果經(jīng)過有限次迭代，系統(tǒng)收斂于不動(dòng)點(diǎn)所在的胞，則這個(gè)胞就是系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)吸引域中的一個(gè)胞。計(jì)算完研究區(qū)間里的所有胞，經(jīng)過對(duì)映射的分析就可以得到系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)吸引域的范圍。

選取一組無(wú)量綱系統(tǒng)參數(shù)為μm=2.0，μc=4.0，B=1.2，f20=0.0，C=0.0，R=0.7，ω =0.662，在一定的初始條件下，系統(tǒng)具有單周期運(yùn)動(dòng)，在Poincare截面上表示為不動(dòng)點(diǎn)(1.2，2.650 3，0.196 6，0.096 4，1.377 9)。給初始條件一些擾動(dòng)，系統(tǒng)可能發(fā)生周期三運(yùn)動(dòng)，在Poincare截面上表示為三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求得其中一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為(1.2，1.392 1，0.541 9，－2.345 9，1.188 2)。

將研究區(qū)間劃分為300×120個(gè)胞，經(jīng)過計(jì)算求得收斂于單周期運(yùn)動(dòng)的胞有24 027個(gè)，占總胞數(shù)的66.7%，系統(tǒng)單周期運(yùn)動(dòng)的吸引域如圖4(1)中的黑色區(qū)域，在此區(qū)域內(nèi)任選一點(diǎn)作為初始迭代點(diǎn)，系統(tǒng)最終都可以穩(wěn)定在期望的單周期運(yùn)動(dòng)軌道上。系統(tǒng)其他參數(shù)保持不變，增大外加激振頻率ω，單周期運(yùn)動(dòng)的吸引域面積逐漸增大如圖4(1)～(3)。當(dāng)ω=0.665時(shí)，收斂于單周期運(yùn)動(dòng)的胞有26 850個(gè)，占總胞數(shù)的74.6%。當(dāng) ω=0.667時(shí)，收斂于單周期運(yùn)動(dòng)的胞有32 079個(gè)，占總胞數(shù)的89.1%。經(jīng)計(jì)算，當(dāng)將外加激振頻率增大至ω≈0.678時(shí)，收斂于單周期運(yùn)動(dòng)的胞有36000個(gè)，占總胞數(shù)的100%，正符合系統(tǒng)的全局分岔圖顯示的信息ω≈0.678時(shí)，系統(tǒng)完全表現(xiàn)為單周期運(yùn)動(dòng)見圖2(1)。

4 結(jié)論

在設(shè)計(jì)碰撞機(jī)器時(shí)，最重要的是使機(jī)器工作在穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)中。為了便于設(shè)計(jì)，一種切實(shí)可行的方法是:通過分析單周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性和局部分岔來獲得分岔圖。分岔圖能夠使我們?cè)诜€(wěn)定性前提下選取合適的參數(shù)，使單周期響應(yīng)發(fā)生在所期望的位置。本文基于胞映射思想，采用變步長(zhǎng)積分法，通過計(jì)算得出了一類兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)單周期運(yùn)動(dòng)的吸引域圖，在吸引域范圍內(nèi)任選一點(diǎn)作為初始迭代點(diǎn)，系統(tǒng)最終都可以穩(wěn)定在期望的單周期運(yùn)動(dòng)軌道上，這就為碰撞振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)、可靠性及降低噪聲提供了理論依據(jù)，對(duì)涉及碰撞振動(dòng)和機(jī)械間隙的廣泛領(lǐng)域都有積極的實(shí)際意義和運(yùn)用價(jià)值。

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