穩(wěn)健估計(jì)在水準(zhǔn)網(wǎng)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

陳永星

（鄭州市規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，鄭州450000）

穩(wěn)健估計(jì)是在粗差干擾不可避免的情況下，選擇適當(dāng)估計(jì)方法，盡可能地減免參數(shù)估值的影響，得出正常模式下的最優(yōu)或接近最優(yōu)的參數(shù)估值。測(cè)量數(shù)據(jù)受誤差干擾是不可避免的，視其誤差大小可分為有效數(shù)據(jù)、有用數(shù)據(jù)和有害數(shù)據(jù)3類。能正確揭示其分布模式的為有效數(shù)據(jù)，雖不是有效數(shù)據(jù)，但卻能反映分布基本特征，對(duì)提高參數(shù)估值有用，稱為有用數(shù)據(jù)，有害數(shù)據(jù)指含有粗差的數(shù)據(jù)。穩(wěn)健估計(jì)原則是充分利用有效數(shù)據(jù)，限制利用有用數(shù)據(jù)和排除有害數(shù)據(jù)。在本文中采用了從一般到特殊的驗(yàn)證方法，選取了獨(dú)立的水準(zhǔn)網(wǎng)，用Matlab編寫了選權(quán)迭代程序，分別采用Huber法、IGG1法在不含粗差、含有粗差的情況下，進(jìn)行選權(quán)迭代，并和不含粗差、含有粗差的最小二乘估值結(jié)果進(jìn)行比較，比較各種方法的優(yōu)劣。

1 穩(wěn)健估計(jì)選權(quán)迭代法

其計(jì)算的迭代過(guò)程如下：

（1）選擇初始權(quán)P（V0），可令各權(quán)因子初值均為1，即w1＝w2＝…＝wn＝1，W ＝I，則P，P為觀測(cè)權(quán)陣；

周江文教授1989年提出了不等權(quán)獨(dú)立觀測(cè)情況下的M估計(jì)的法方程寫成矩陣形式為

（2）解算法方程（1），得出參數(shù)＾X和殘差V的第一次估值：

2 采用的選權(quán)迭代法

2.1 Huber法

Huber提出的ρ函數(shù)為：

式中c為常系數(shù)，通常取c＝2σ，相應(yīng)的權(quán)函數(shù)為

2.2 IGG法（周江文法）

ρ函數(shù)為：

權(quán)函數(shù)為：

3 水準(zhǔn)網(wǎng)觀測(cè)值的穩(wěn)健估計(jì)

某水準(zhǔn)網(wǎng)，共有7個(gè)首級(jí)控制點(diǎn)，其中A點(diǎn)為已知點(diǎn)。網(wǎng)形如圖1所示。

圖1 水準(zhǔn)網(wǎng)網(wǎng)形圖

已知A點(diǎn)高程為HA＝31.00m，觀測(cè)高程為：

取5km觀測(cè)高差的權(quán)為單位權(quán)，改正數(shù)以mm為單位。從S1～S9其對(duì)應(yīng)的權(quán)陣為：

P ＝ diag（1／3，1／4，1／2，1／6，1／6，1／4，1／4，1／3，1）

4 未加粗差時(shí)的各種方法平差

控制網(wǎng)采取間接平差法進(jìn)行平差計(jì)算，平差以待定點(diǎn)高程為未知數(shù)。利用最小二乘法和穩(wěn)健估計(jì)的選權(quán)迭代法對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行平差。

表1 各種方法平差后各個(gè)水準(zhǔn)點(diǎn)高程值／m

從表1可以看出：在沒(méi)有加入粗差的情況下，各種平差結(jié)果基本一致，都在可接受的范圍內(nèi)，都為正確的值。

5 加入一個(gè)粗差后使用各種方法平差

為了說(shuō)明各種選權(quán)迭代法在粗差剔除中的應(yīng)用，再加上觀測(cè)路線比較長(zhǎng)，在觀測(cè)數(shù)據(jù)h6中加入120mm（遠(yuǎn)大于二倍中誤差）的粗差，即觀測(cè)值為6.601m。然后使用各種方法平差，其平差結(jié)果見(jiàn)表2，各路線平差后的權(quán)見(jiàn)表3。

表3 加入一個(gè)粗差后的各路線平差后的權(quán)

從表2可以看出：當(dāng)觀測(cè)值加入粗差后，最小二乘平差結(jié)果偏離正確值，說(shuō)明最小二乘抗差較弱；各種選權(quán)迭代結(jié)果基本一致，都在正確值的范圍內(nèi)，說(shuō)明穩(wěn)健估計(jì)具有抗差性。

從表3可以看出：Huber法和IGG1法L6的單位權(quán)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其余路線的權(quán)，可以認(rèn)為為0。由此可推斷，在觀測(cè)值中含有粗差，這與實(shí)際一致。充分說(shuō)明了Huber法和IGG1法具有發(fā)現(xiàn)粗差的能力。

6 加入2個(gè)粗差后各種平差結(jié)果

在數(shù)據(jù)中加入2個(gè)粗差，然后再用各種方法進(jìn)行平差，其平差結(jié)果見(jiàn)表4，各水準(zhǔn)路線平差后的權(quán)見(jiàn)表5。

從表4與不含粗差的正確結(jié)果比較可以看出：

（1）當(dāng)加入2個(gè)粗差時(shí)，最小二乘平差結(jié)果大大偏離正確值。

（2）Huber法、IGG1法和正確值相比，都有所偏離，其中IGG1法在整體上與正確結(jié)果最為接近。

從表5可以看出：Huber法中只探測(cè)出一個(gè)粗差，IGG1法的L3、L6的權(quán)幾乎為0，可以判斷出其中含有誤差，這與結(jié)論相符。

綜上所述，在探測(cè)粗差時(shí)，IGG1法比殘差絕對(duì)和最小法和Huber法都更優(yōu)化，具有準(zhǔn)確的探測(cè)粗差的能力。

表4 加入2個(gè)粗差后的各點(diǎn)高程

表5 加入2個(gè)粗差后的各水準(zhǔn)路線平差后的權(quán)

7 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)本文的一些粗淺的研究，我們可以得出以下結(jié)論：

（1）在觀測(cè)值不含粗差的情況下，最小二乘估計(jì)具有最優(yōu)性，能得到最優(yōu)的線性解；穩(wěn)健估計(jì)也能很好地估計(jì)參數(shù)，但得到的解不是最優(yōu)解。

（2）在觀測(cè)值含有少量粗差的情況下，最小二乘估計(jì)失效，估計(jì)結(jié)果大大偏離正確值范圍，而穩(wěn)健估計(jì)具有良好的抗差性，能很好地進(jìn)行估計(jì)，具有很好抵抗殘差影響的能力。

（3）當(dāng)批量采集測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，在數(shù)據(jù)中是否含有粗差未知的情況下，不能通過(guò)人工剔除粗差，穩(wěn)健估計(jì)具有很好的抗差效果。

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