基于Prony算法的次同步諧振檢測方法

董青迅，李興源，穆子龍，顧 威

（四川大學(xué)電氣信息學(xué)院，成都610065）

現(xiàn)代電力系統(tǒng)的安全問題已經(jīng)受到愈來愈多的 關(guān) 注， 次 同 步 諧 振 SSR（sub－synchronous resonance）是威脅電力系統(tǒng)安全的重要故障之一，它極易造成汽輪發(fā)電機(jī)組的大軸損毀［1］，所以如何對次同步諧振進(jìn)行有效準(zhǔn)確的檢測顯得尤其重要。

現(xiàn)有的次同步諧振監(jiān)測方法按測量信號的不同分為機(jī)械量測量和電氣量測量兩種測量方法。基于機(jī)械量測量的次同步諧振監(jiān)測裝置通常是通過在發(fā)電機(jī)軸系兩端裝設(shè)齒輪片的方法實現(xiàn)。這種方法的原理是利用電磁感應(yīng)原理快速測量軸系的瞬時速度和軸系的機(jī)械位移偏差，從而判斷是否發(fā)生了次同步諧振［2］。

基于電氣量測量的次同步諧振監(jiān)測可以只測量三相瞬時電流值。測量信號經(jīng)過濾波處理，得到其中的次同步頻段信號，將它和整定值比較，就可以做出邏輯判斷，經(jīng)延時電路以決定是否應(yīng)該做出報警或者動作于保護(hù)。這種基于電氣量測量的檢測方法結(jié)構(gòu)簡單，價格便宜，可靠性高，便于維護(hù)［3］。由于次同步諧振電流在三相瞬時電流中所占的比率相對很小，加上測量的瞬時電流中不可避免的含有噪聲，因此如何從含有噪聲的三相電流的瞬時檢測信號中，有效濾出這些次同步分量信號是采用該方法的一個重要問題，對信號的濾波和處理都有非常高的要求［4］。

本文提出一種基于Prony算法的次同步諧振檢測方法。選取瞬時電流作為測量信號，對濾波后的信號利用Prony算法進(jìn)行分析，辨識出次同步分量的幅值，觀察其在連續(xù)時間段上的變化規(guī)律，快速準(zhǔn)確的判定次同步諧振的發(fā)生，以便及時采取抑制措施。

1 次同步諧振的信號特征

電網(wǎng)的互補(bǔ)自然頻率接近汽輪發(fā)電機(jī)軸系的一個扭轉(zhuǎn)頻率時，可能激勵次同步諧振，在這種條件下，由于轉(zhuǎn)子振蕩感應(yīng)的小電壓可以產(chǎn)生大的次同步電流，該電流產(chǎn)生轉(zhuǎn)子扭矩的振蕩分量，加劇轉(zhuǎn)子振蕩，當(dāng)該扭矩大于機(jī)械阻尼時，耦合的機(jī)電系統(tǒng)會經(jīng)受增長的振蕩［5］。

由以上分析可知：首先，次同步電流是由轉(zhuǎn)子振蕩感應(yīng)出來的，因此它具有和次同步諧振相同的頻率；其次，轉(zhuǎn)子振蕩的加劇，將感應(yīng)出更大的次同步電流，后者會產(chǎn)生更大的轉(zhuǎn)子扭矩振蕩分量，進(jìn)一步加劇轉(zhuǎn)子振蕩，因此次同步電流的幅值變化趨勢可以表征次同步諧振的振蕩趨勢?；谏鲜鰞牲c(diǎn)，再考慮到盡管扭矩振蕩加劇是次同步諧振發(fā)生的重要判據(jù)［6］，但直接提取扭矩往往比較困難，相反電流量是最直觀最易獲取的量，因此只要能從采樣電流信號中濾出其中的次同步頻段信號，就可以更加有效、實時地監(jiān)測次同步諧振。

本文就是要從瞬時采樣電流信號入手，經(jīng)過Prony分析，辨識出其中次同步頻段信號的幅值，提出一種新的判據(jù)。

2 基于Prony算法的次同步諧振檢測方法

2.1 Prony算法概述

1975年，Gaspard Riche，Baron de Prony提出Prony方法，該方法使用指數(shù)函數(shù)的一個線性組合來描述等間距采樣數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型，然后經(jīng)過適當(dāng)擴(kuò)充，形成了能夠估算給定信號的頻率、衰減因子、幅值和初相位的算法［7］。

近年來，Prony算法在電力系統(tǒng)分析與控制領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［8～12］。大部分的研究工作集中在兩方面：一是研究應(yīng)用Prony算法分析振蕩數(shù)據(jù)，提取振蕩特征；二是利用Prony算法對系統(tǒng)進(jìn)行辯識，得出系統(tǒng)模型或參數(shù)。

上述研究結(jié)果表明，在電力系統(tǒng)的研究中，Prony分析方法有廣泛的適用性，特別是在小信號穩(wěn)定控制領(lǐng)域的系統(tǒng)辨識中的優(yōu)勢十分明顯［13］。利用Prony分析實測數(shù)據(jù)得到的信息比小擾動分析得到的信息更準(zhǔn)確［14］。

2.2 Prony算法的實現(xiàn)步驟［15］

假設(shè)按等時間間隔Δt進(jìn)行采樣的N 個數(shù)據(jù)點(diǎn)，可由p個指數(shù)函數(shù)的線性組合模擬，即

其中：y（n）為第n個采樣點(diǎn)；Z＝ ［z1，z2，…，zp］為極點(diǎn)；B＝ ［b1，b2，…，bp］為相應(yīng)留數(shù)；Ai為幅值，θi為初相位，σi為衰減因子，fi為頻率。

Prony辨識算法的計算步驟簡介如下。

利用采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)造矩陣Y，并求解方程組：

令

其中，A＝ ［1，a1，a2，…，ap］。當(dāng)N ＞2p時，A為方程組的最小二乘解。

求解由系數(shù)a1，a2，…，ap構(gòu)成的多項式（4），該多項式的根即為Prony辨識出的p個極點(diǎn)：

進(jìn)一步利用最小二乘求解方程組（5），以獲取留數(shù)B：

利用式（3）、（4）和式（5）計算結(jié)果，由式（6）計算出式（1）中模擬輸入信號的線性組合的振幅、相位、衰減因子、頻率各量：

本文中，該算法基于Matlab軟件編程實現(xiàn)。

2.3 基于Prony算法的次同步諧振檢測原理

利用Prony辨識不需要列寫大規(guī)模的系統(tǒng)方程和建立系統(tǒng)的詳細(xì)模型，避免了求解大規(guī)模矩陣的特征根這一難題。同時，利用該方法還可直接獲取給定信號的頻率、衰減因子、幅值和初相位，這就為在復(fù)雜系統(tǒng)中檢測出次同步諧振提供了一條較好的途徑。因此，基于Prony算法的SSR檢測原理如下：正常運(yùn)行狀態(tài)下，次同步頻段沒有信號，利用Prony辨識出來的幅值為零。發(fā)生次同步諧振時，會在電流波形中疊加次同步分量，此時有兩種情況，一種是增幅振蕩，另一種是振蕩衰減。前者隨著次同步諧振影響的加強(qiáng)，表現(xiàn)是次同步頻段下的信號振蕩加劇，幅值增大且不回落；后者次同步頻段信號先振蕩加劇，幅值增大，在次同步諧振衰減時，次同步分量也逐漸衰減，所以表現(xiàn)為隨后幅值減小。綜上，該方法的檢測原理即是利用Prony算法辨識出次同步分量的幅值，將其幅值的不斷增大作為發(fā)生次同步諧振的判定依據(jù)。

3 仿真驗證

3.1 基于Prony算法的次同步諧振檢測

利用Matlab和電磁暫態(tài)仿真軟件PSCAD對該方法進(jìn)行驗證。采用IEEE第一標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)作為仿真模型，如圖1所示。

圖1 IEEE第一標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)Fig.1 IEEE first benchmark system model

設(shè)電流信號基頻為50Hz，幅值為50A，相位為0，次同步分量位于兩個頻段，分別是頻率為40 Hz、幅值為15A、相位為2π／3；頻率為20Hz、幅值為15A、初相位為2π／3。

由于Prony算法對噪聲十分敏感，僅靠Prony算法本身包含的最小二乘估計也很難完全或較大地消除噪聲的影響，噪聲的存在將會極大地影響次同步諧振分析的精度，所以需要對輸入數(shù)據(jù)先進(jìn)行濾噪處理。本文采用卡爾曼濾波器首先對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，再利用Prony算法進(jìn)行分析。

設(shè)故障發(fā)生在5.0s，持續(xù)0.075s。以6s作為采樣起點(diǎn)，采樣頻率為1000Hz，采樣時間0.32s，采樣出的電流信號如圖2所示。首先通過卡爾曼濾波器得到濾波后的信號，見圖3，之后利用Prony算法進(jìn)行分析，圖4給出了以通過卡爾曼濾波器濾波后的采樣信號為輸入信號的Prony分析的逼近結(jié)果。由圖4可見，經(jīng)過卡爾曼濾波后的Prony分析可以十分精確地逼近實際振蕩曲線。

圖2 采樣區(qū)間的電流信號Fig.2 Current signal of the sampling interval

圖3 經(jīng)過濾波處理后的電流信號Fig.3 Current signal after filtering

圖4 實際信號和濾波后Prony擬合信號Fig.4 Actual signal and the Prony fitting signal

表1是以經(jīng)過卡爾曼濾波后的信號為輸入的Prony分析結(jié)果。

表1 采樣電流信號prony辨識結(jié)果Tab.1 Prony identification results of the sampling current signal

由表1可見，次同步頻段信號的振蕩幅值不僅沒有衰減，反而有略微增大的趨勢，可以判斷此運(yùn)行方式下該系統(tǒng)發(fā)生了次同步諧振。

3.2 發(fā)電機(jī)暫態(tài)力矩仿真分析

為驗證上述分析方法的正確性，采用傳統(tǒng)的發(fā)電機(jī)暫態(tài)力矩仿真分析方法與之進(jìn)行對照。圖5給出發(fā)電機(jī)質(zhì)塊與勵磁機(jī)質(zhì)塊連接軸的扭振轉(zhuǎn)矩。

圖5 發(fā)電機(jī)質(zhì)塊與勵磁機(jī)質(zhì)塊連接軸的扭振轉(zhuǎn)矩Fig.5 Torque of the connecting shaft between generator module and exciter module

很明顯，質(zhì)塊之間的扭矩出現(xiàn)了明顯的放大現(xiàn)象，整個系統(tǒng)出現(xiàn)嚴(yán)重的次同步諧振現(xiàn)象。將提出的基于Prony算法的次同步諧振檢測方法與發(fā)電機(jī)暫態(tài)力矩仿真分析方法進(jìn)行對照，兩種方法得出的結(jié)論（此運(yùn)行方式下系統(tǒng)將發(fā)生次同步諧振）是一致的，這也驗證了前者的正確性。

3.3 性能優(yōu)勢

（1）基于prony算法的次同步諧振檢測方法更加全面地反映次同步諧振?；赑rony算法的次同步諧振檢測方法可以得出系統(tǒng)諧振頻率、諧振幅值等有關(guān)次同步諧振機(jī)理更為有效的信息，這一點(diǎn)相比基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的SSR檢測方法具有明顯優(yōu)勢。

（2）該方法極強(qiáng)的實時性。檢測只需要很短的采樣數(shù)據(jù)和Matlab極快的運(yùn)算分析速度是該方法具有極強(qiáng)實時性的根本原因。與普遍采用的基于小波分析的次同步諧振檢測方法做一個對比，依然針對本例。用小波分析得到的次同步頻段信號如圖6所示。

圖6 基于小波變換的次同步諧振分量的提取Fig.6 Extraction of the torsional oscillation component with wavelet transform

觀察次同步諧振分量的振蕩趨勢同樣可以判斷此運(yùn)行方式下系統(tǒng)將發(fā)生次同步諧振，但基于Prony算法的次同步諧振檢測方法避免了小波變換在應(yīng)用時存在的合理選擇匹配小波基的困難，因此在線監(jiān)測過程可以節(jié)省更多時間，保證可靠性的同時，更出色的滿足了實時性的需求。

4 結(jié)語

基于Prony算法的次同步諧振檢測方法首先采用卡爾曼濾波器對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，再利用Prony算法進(jìn)行分析。依據(jù)辨識結(jié)果，觀察連續(xù)時間段上次同步頻段信號的幅值變化，進(jìn)而判定是否發(fā)生次同步諧振。算例結(jié)果表明，經(jīng)過濾波后的Prony分析可以十分精確地逼近實際振蕩曲線，通過觀察辨識出的次同步分量的幅值變化規(guī)律，能準(zhǔn)確地檢測出次同步諧振，從而證明了該方法的有效性和實用性。

［1］ IEEE Subsynchronous Resonance Working Group.Countermeasures to subsynchronous resonance problems［J］.IEEE Trans on Power Apparatus and Systems，1980，99（5）：1810－1818.

［2］ 程時杰，曹一家，江全元.電力系統(tǒng)次同步諧振的理論與方法［M］.北京：科學(xué)出版社，2009.

［3］ IEEE Subsynchronous Resonance Working Group.Reader＇s guide to subsynchronous resonance［J］.IEEE Trans on Power Systems，1992，7（1）：150－157.

［4］ Bowler Colin E J，Baker Daniel H，Mincer N A，et al.Operation and test of the Navajo SSR protective equipment［J］.IEEE Trans on Power Apparatus and Systems，1978，97（4）：1030－1035.

［5］ Prabha Kundur.電力系統(tǒng)穩(wěn)定與控制［M］.北京：中國電力出版社，2002.

［6］ 李興源.高壓直流輸電系統(tǒng)的運(yùn)行和控制［M］.北京：科學(xué)出版社，1998.

［7］ Grund C E，Paserba J J，Hauer J F，et al.Comparison of Prony and eigen analysis for power system control design［J］.IEEE Trans on Power Systems，1993，8（3）：964－971.

［8］ 劉紅超，李興源（Liu Hongchao，Li Xingyuan）.基于PRONY辨識的交直流并聯(lián)輸電系統(tǒng)直流阻尼控制的 研 究 （Study of DC damping control in AC／DC transmission systems based on Prony method）［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報（Proceeding of the CSEE），2002，22（7）：54－57.

［9］ 劉紅超，李興源，邱小燕，等（Liu Hongchao，Li Xingyuan，Qiu Xiaoyan，et al）.基于Prony算法的HVDC輸電系統(tǒng)模型辨識（A model identification method of HVDC transmission systems based on Prony analysis）［J］.四川大學(xué)學(xué)報：工程科學(xué)版（Journal of Sichuan University：Engineering Science Edition），2004，36（2）：86－89.

［10］ 蘇小林 ，周雙喜（Su Xiaolin，Zhou Shuangxi）.Prony法在同步發(fā)電機(jī)參數(shù)辨識中應(yīng)用（Application of Prony method to parameter identification of synchronous generators）［J］.電 力 自 動 化 設(shè) 備 （Electric Power Automation Equipment），2006，26（9）：1－4.

［11］ 魏偉 ，趙書強(qiáng) ，馬燕峰（Wei Wei，Zhao Shuqiang，Ma Yanfeng）.基于Prony算法的模糊電力系統(tǒng)穩(wěn)定器設(shè) 計 （Design of fuzzy power system stabilizer based on Prony algorithm）［J］.電力自動化設(shè)備（Electric Power Automation Equipment），2005，25（3）：54－59.

［12］ 管秀鵬 ，程林 ，孫元章 ，等（Guan Xiupeng，Cheng Lin，Sun Yuanzhang，et al）.基于Prony方法的大型互聯(lián)電網(wǎng)PSS參數(shù)優(yōu)化設(shè)計（PSS parameter optimization on large－scale interconnection power grid based on Prony method）［J］.電力系統(tǒng)自動化（Automation of Electric Power Systems），2006，30（12）：7－11.

［13］張賢達(dá).現(xiàn)代信號處理［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2002.

［14］Johnson M A，Zarafonitis I P，Calligaris M.Prony analysis and power system stability some recent theoretical and applications research［C］∥IEEE Power Engineering Society Transmission and Distribution Conference，Seattle，USA：2000.

［15］ 趙成勇，劉娟（Zhao Chengyong，Liu Juan）.Prony算法在電力系統(tǒng)暫態(tài)信號分析中的應(yīng)用（Analysis of power system transient signal based on Prony algorithm）［J］.電力系統(tǒng)及其自動化學(xué)報（Proceedings of the CSU－EPSA），2008，20（2）：60－64.