擴(kuò)散項(xiàng)與時(shí)滯有關(guān)的單種群模型的全局穩(wěn)定性

李曉艷，姚 頻

(蘭州城市學(xué)院 a.數(shù)學(xué)學(xué)院;b.附中，蘭州 730070)

用數(shù)學(xué)模型的方法來(lái)研究種群生態(tài)學(xué)問(wèn)題是常見(jiàn)的方法，具有擴(kuò)散的種群模型的周期解問(wèn)題的結(jié)論較多，而具有時(shí)滯的單種群擴(kuò)散模型中擴(kuò)散項(xiàng)僅依賴(lài)于當(dāng)時(shí)種群的密度是不完全符合現(xiàn)實(shí)的。

在自然界中，許多生物體(尤其是植物)必須經(jīng)歷一段時(shí)間才能發(fā)生擴(kuò)散;舉例來(lái)說(shuō)，柳樹(shù)、松樹(shù)要遷移，必須靠風(fēng)的力量，由風(fēng)傳播它們的種子才能生根發(fā)芽;麻雀在出生后不能立即展翅飛翔，要經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后才能飛，這是發(fā)生擴(kuò)散的基本條件。因此，為了更符合客觀事實(shí)，應(yīng)考慮擴(kuò)散項(xiàng)具有時(shí)滯的模型。

1 模型建立

考慮如下非自治單種群模型

其中:ai(t)是內(nèi)稟增長(zhǎng)率;bi(t)為密度制約因子;Ci(t)為繁殖率;Di(t)(i=1，2)是擴(kuò)散率;τ 是關(guān)于t 的函數(shù)且τi(t)(i=1，2，3)是連續(xù)的ω 周期函數(shù)，且ai(t)，bi(t)，Ci(t)，Di(t)均大于0，τi(t)≥0，τ˙i(t)＜1，t≥0。

2 周期解的存在唯一性與穩(wěn)定性

定理1 設(shè)系統(tǒng)(1)滿(mǎn)足如下假設(shè)

則系統(tǒng)(1)的任一正解均一致有界。

證明:由假設(shè)(A1)必存在r ＞1，H ＞1，使得

定義:V ( x1，x2)=max { x1，x2}，下面分2 種情況

可見(jiàn)“醉鬼”不醉，只是以醉態(tài)示人。至于為何如此，有人說(shuō)是他藏形隱色，掩飾真功以防暗算的一種做法；有人說(shuō)是他為了免除權(quán)貴騷擾，故意所作的玩物喪志飲酒誤事的假象。

(1)若V ( x1，x2)= x1，沿 系 統(tǒng)(1)的 正 解 計(jì) 算 的 右 導(dǎo) 數(shù)，若‖ (x1(t)，x2(t))‖ ≥H，則 對(duì) 任 意θ ∈ [ -τ，0 ]，有V (x1( t+θ )，x2( t+θ ))＜rV (x1(t)，x2(t))。由( 1 )得

(2)若V ( x1，x2)=x2，同理可得·V＜-1。由Lyapunov 穩(wěn)定性定理知，正解是最終一致有界的。

設(shè)M ＞H ＞1，(x1(t)，x2(t))表示具有初始條件 ( σ，φ )的任意正解，φ = ( φ1，φ2)∈C+。當(dāng)θ∈ [ -τ，0 ]時(shí)，有0≤φi( θ )≤M，( i=1，2 ).下證對(duì)t≥σ，都有‖ (x1(t)，x2(t))‖≤M。

假設(shè)存在ˉt ＞σ，使得

若

則

由(4)和(5)得

引理1［4］設(shè)條件 ( A1)成立，則存在正數(shù)ε ( 0 ＜ε ＜M )，使得對(duì)給定的0 ＜δ ＜d，總存在正數(shù)T = T ( δ，d )＞0，使得對(duì)任意t ＞σ+T(σ∈R，φ∈C+[ δ，d ])有xi( σ，φ )≥ε。

證明:令 (x1(t)，x2(t))是系統(tǒng)( 1 )的正解，作變換Xi(t)=ln ( xi(t ))，i=1，2，則系統(tǒng)( 1 )轉(zhuǎn)化為關(guān)于X1，X2的新系統(tǒng)。由定理1與引理1 可知，新系統(tǒng)的解也一致有界，由定理4.2［5］得新系統(tǒng)至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即至少存在一個(gè)正ω 周期解，從而系統(tǒng)( 1 )至少存在一個(gè)正ω 周期解。

令σi(t)=t-τi(t)，則σi(t)有反函數(shù)，記作ui(t)=max {Di(t)t∈R，i=1，2 }。

定理3 對(duì)系統(tǒng)(1) ，若滿(mǎn)足以下假設(shè)

其中i，j=1，2，i≠j，ε 和M 分別為系統(tǒng)(1) 的任意正解的最終下界和上界，則系統(tǒng)(1) 存在唯一全局漸進(jìn)穩(wěn)定的正ω 周期解。

由假設(shè)(A2)得D+V(t)≤0，所以系統(tǒng)(1)的周期解是全局漸近穩(wěn)定的。

同時(shí)文獻(xiàn)［7］的模型是bij(t)=cij(t)=0 時(shí)的特殊情況。

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