基于MATLAB 的壓桿穩(wěn)定性分析

劉明超，李 慧，劉俊杰

(1.山東大學(xué)土建與水利學(xué)院，山東濟(jì)南 250002;2.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081)

壓桿穩(wěn)定性分析是工程實(shí)踐中的常見問題。為了保證機(jī)構(gòu)安全可靠地工作，必須使壓桿處于直線平衡狀態(tài)，如果將壓桿的工作載荷控制在臨界載荷允許的范圍內(nèi)，則壓桿就不會(huì)失穩(wěn)。由此可見，臨界載荷的確定對(duì)于壓桿穩(wěn)定性的分析是非常重要的。

在實(shí)際分析壓桿穩(wěn)定性的問題中，臨界載荷的確定通常采用手工計(jì)算的方法，往往比較繁瑣。本文在經(jīng)典穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)上將計(jì)算過程系統(tǒng)化、公式化，繪出了流程圖，并編寫了壓桿穩(wěn)定性分析的MATLAB 程序，與手工計(jì)算相比，更加方便實(shí)用。

1 經(jīng)典穩(wěn)定性理論

1.1 大柔度壓桿臨界應(yīng)力(歐拉)公式

對(duì)于滿足λ≥λp的壓桿，就稱之為大柔度壓桿，也即細(xì)長壓桿。其在失穩(wěn)時(shí)處于線彈性范圍(即彈性壓桿)，臨界應(yīng)力計(jì)算可采用歐拉公式:

式中:λ為壓桿的柔度。

1.2 中柔度壓桿臨界應(yīng)力經(jīng)驗(yàn)公式

對(duì)于滿足λs≤λ≤λp的壓桿，稱為中柔度壓桿。其失穩(wěn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力超過了材料的比例極限σp，但未超過屈服極限，材料仍滿足非線彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，壓桿將發(fā)生非線彈性失穩(wěn)。

對(duì)中柔度壓桿，臨界應(yīng)力的計(jì)算公式是以實(shí)驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)歸納出的經(jīng)驗(yàn)公式，常用如下直線公式:

式中:λ為壓桿的柔度;a、b 均為材料常數(shù)，可查表得出。

1.3 小柔度壓桿臨界應(yīng)力公式

對(duì)于滿足λ＜λs的壓桿，稱為小柔度壓桿。其失穩(wěn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力理論上超出了σs，故其不會(huì)發(fā)生失穩(wěn)，它的破壞是由于軸向壓縮的強(qiáng)度不夠造成的。故應(yīng)由軸向壓縮的強(qiáng)度條件控制其軸向應(yīng)力，即:

注:對(duì)于脆性材料，可將式中σs換為σp。

2 穩(wěn)定性分析的程序設(shè)計(jì)

2.1 程序流程圖

繪制程序流程圖如圖1 所示。

圖1 壓桿穩(wěn)定性分析程序流程

2.2 MATLAB 程序

程序采用可視化界面操作，操作界面如圖2 所示。

圖2 程序操作界面

3 算例驗(yàn)證

圖示結(jié)構(gòu)中，AC為剛性梁，BD為直徑d=24 mm 的圓截面桿，彈性模量E=200 GPa，λp=100，λs=60，中柔度壓桿臨界應(yīng)力經(jīng)驗(yàn)公式為σcr=(304－1.12λ)MPa，已知s=1 m，l=0.5 m，F(xiàn)=5 kN，試校核該結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是否合格。

圖3 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖

受力分析，得BD 桿為壓桿，壓力為:

該題目中BD 桿為壓桿，校核其穩(wěn)定性，根據(jù)受力分析結(jié)果輸入?yún)?shù)，運(yùn)行MATLAB 程序，分析結(jié)果如圖4 所示。

圖4 穩(wěn)定性分析結(jié)果

由程序分析所得結(jié)果可知，該壓桿穩(wěn)定性合格。

4 結(jié)束語

通過以上理論分析和算例驗(yàn)證我們發(fā)現(xiàn)，利用計(jì)算機(jī)和MATLAB 軟件進(jìn)行結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析方便實(shí)用，很大程度上提高了工作效率。同時(shí)，本文只給出了分析圓截面桿的程序，按照同樣的思路稍作修改即可推廣到其他規(guī)則截面。

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