信號與系統(tǒng)中抽樣定理的教學(xué)探討

楊巧寧，李學(xué)斌，王學(xué)偉

(北京化工大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 100029)

抽樣定理是“信號與系統(tǒng)”課程中重要的知識點，在連續(xù)時間信號的頻域分析中講解，國內(nèi)外教材中均對其詳細(xì)論述[1-4]。但是對初學(xué)學(xué)生來說，這個知識點的理解不夠透徹，難以獲得正確應(yīng)用。為了要讓學(xué)生深刻理解抽樣定理，本文以時域抽樣定理為例討論教學(xué)過程的設(shè)計。

1 抽樣和抽樣定理

“抽樣”就是利用周期抽樣脈沖p(t)從連續(xù)信號f(t)中抽取離散樣值的過程，得到的離散信號為抽樣信號，也稱為采樣信號，以fs(t)表示。抽樣過程的數(shù)學(xué)模型就是連續(xù)信號與抽樣脈沖序列相乘。圖1是連續(xù)信號時域抽樣和從抽樣信號恢復(fù)原連續(xù)信號的框圖。

圖1 連續(xù)信號時域抽樣和連續(xù)信號恢復(fù)框圖

連續(xù)信號時域抽樣后，其頻譜Fs(ω)是連續(xù)信號頻譜F(ω)以抽樣頻率ωs為間隔周期重復(fù)的結(jié)果，幅度受到抽樣脈沖p(t)的傅里葉級數(shù)系數(shù)Pn的加權(quán)[5]。

抽樣定理的內(nèi)容是:對于帶限信號，其頻譜占據(jù)－ωm～+ωm的范圍，若信號可用抽樣值來唯一地表示，則必須滿足ωs≥2ωm或者Ts≤1/2fm

如果抽樣頻率滿足抽樣定理，則抽樣信號通過截止頻率為ωc(ωm＜ωc＜ωs－ωm)的低通濾波器，可由抽樣信號fs(t)無失真復(fù)原信號f(t)。本文以理想低通濾波器恢復(fù)為例。

2 課堂教學(xué)方法

2.1 問題法

課堂教學(xué)中把內(nèi)容問題化，以問題串起本節(jié)內(nèi)容，可以幫助學(xué)生循序漸進(jìn)理解知識點。整節(jié)內(nèi)容提煉為五個問題，它們相互承接，概況了全部內(nèi)容。

(1)為什么抽樣?

這個問題讓學(xué)生認(rèn)識抽樣的重要性和必要性，認(rèn)識抽樣的目的和意義。

數(shù)字信號處理技術(shù)的優(yōu)勢和快速發(fā)展使得數(shù)字設(shè)備和數(shù)字媒體廣泛應(yīng)用，如手機(jī)、MP3、CD和DVD等。抽樣是連續(xù)信號變成數(shù)字信號非常關(guān)鍵的一步。在講解抽樣的過程和抽樣的數(shù)學(xué)模型后，以第二個問題引出下一個重要知識點。

(2)抽樣信號時域發(fā)生什么變化(抽樣信號與連續(xù)信號的關(guān)系)?頻域發(fā)生什么變化(抽樣信號頻譜和連續(xù)信號頻譜的關(guān)系)?

這個問題可幫助學(xué)生理解抽樣帶來信號的實質(zhì)變化。結(jié)合圖形演示法講解。詳細(xì)過程見文獻(xiàn)[5]。

抽樣過程:

其物理意義是沖激抽樣信號的傅立葉變換是連續(xù)信號頻譜嚴(yán)格的周期重復(fù)。重復(fù)周期為抽樣頻率ωs，幅度受到常數(shù)1/Ts的加權(quán)，頻譜形狀不變。

(3)抽樣信號是否保留連續(xù)信號的全部信息?

抽樣信號在時頻域變化講解后，以問題啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考抽樣的實質(zhì)，第二問題和第三問題聯(lián)系緊密，都為了說明抽樣定理實質(zhì)。

根據(jù)學(xué)生實時課堂的回答繼續(xù)以問題啟發(fā)，比如，抽樣得到連續(xù)信號某些位置上的值，抽樣信號是否應(yīng)該反映連續(xù)信號的全部特征?為什么?要保留連續(xù)信號的全部信息和哪個指標(biāo)有關(guān)?緊接著引出第四個問題，即引出重要知識點—抽樣定理。

(4)抽樣頻率應(yīng)該為多大?

這個問題幫助學(xué)生理解抽樣定理研究的對象和實質(zhì)，以及抽樣定理的出發(fā)點。抽樣必須保留連續(xù)信號的全部信息，抽樣頻率如何影響信息的保留度?實際抽樣中，如何確定抽樣頻率?結(jié)合案例法和圖形演示法講解。在這里給出抽樣定理的內(nèi)容。

抽樣定理理論給出后，可以再回到案例上進(jìn)行重新分析，進(jìn)一步加強(qiáng)對抽樣定理的理解，可以結(jié)合實踐法加深理解。

(5)如何從抽樣信號不失真的恢復(fù)連續(xù)信號?

若滿足抽樣定理，抽樣信號唯一的表示連續(xù)信號，則可由抽樣信號不失真的恢復(fù)連續(xù)信號，如何恢復(fù)?結(jié)合圖形演示法進(jìn)行講解。

如果能得到連續(xù)信號的完整頻譜，則就得到了連續(xù)信號。滿足抽樣定理的條件下頻譜不交疊，則可利用理想低通濾波器得到連續(xù)信號的完整頻譜。理想低通濾波器的幅度和截止頻率如何確定?理想低通濾波器(ωc－ωm≥ωc≥ωm):

2.2 案例法

理論分析講解比較抽象，學(xué)生的理解不夠透徹。如果對實際案例的應(yīng)用采用直觀形象的方法說明，初學(xué)學(xué)生對案例引入的知識點理解有幫助很大。

我們可以在提出第3、4和5個問題提出的時候，利用學(xué)生常見的實際信號:歌曲(語音信號)和照片(圖像信號)，給出這兩種實際信號不同抽樣率下的結(jié)果。

圖2所示是不同抽樣率下圖像的效果，包含圖像失真嚴(yán)重、不失真及處于兩者之間的圖像效果。這些圖像讓學(xué)生直觀看到抽樣率的大小對信號的影響，對信號的保留或失真程度。明白抽樣頻率不夠大時，重現(xiàn)信號會失真，如圖2(a)和圖2(b)所示。頻率越大信號更接近原始信號，當(dāng)大到一定值時，重現(xiàn)信號的信息已保留很好，再大時信號差異不明顯，就會帶來冗余，如圖2(c)和圖2(d)。學(xué)生便會提出:抽樣頻率應(yīng)滿足什么條件，應(yīng)依據(jù)什么來選擇?

圖2 不同抽樣率的圖像

我們給出一段學(xué)生熟悉的音樂，采用不斷降低抽樣頻率來收聽音樂效果。讓學(xué)生從聽覺效果上分析抽樣率對信號的影響，如圖3所示。這里選擇抽樣頻率時應(yīng)包含:圖3(a)為滿足采樣定理的語音;圖3(b)為不滿足采樣定理的頻譜交疊的語音;如圖3(c)為不滿足采樣定理的抽樣頻率，且過小原始語音丟掉很多的語音，基本上聽不出是什么旋律。

圖3 不同抽樣率對語音的影響

2.3 實踐法

我們利用Matlab實現(xiàn)抽樣定理的程序，對圖像和語音這非典型一維信號進(jìn)行抽樣。課堂上現(xiàn)場演示，讓學(xué)生任意給定抽樣頻率。給出滿足、不滿足和臨界滿足采樣定理的情況，如圖4所示。

圖4 信號抽樣例子

上圖中給出了其中一個處理結(jié)果。左邊一列是不同抽樣率下的原始時域信號，右邊一列是對應(yīng)的頻譜。這種方法給學(xué)生展示了實時可變的動態(tài)圖形。讓其了解抽樣信號的變化、頻譜的變化、抽樣率對信號的影響、不同抽樣率的信號恢復(fù)效果及與原信號之間的關(guān)系。

2.4 圖形演示法

在問題法(2)的理論講解完后，以圖形的形式演示抽樣過程，如圖5所示。學(xué)生可以直觀看到怎樣抽樣、抽樣信號和原信號的關(guān)系、抽樣后頻域的變化及抽樣信號頻譜與原信號頻譜的關(guān)系。

圖5 抽樣過程及頻譜變化

在問題法(4)的抽樣定理內(nèi)容講解之前，通過圖形演示分析。要得到原信號完整頻譜，抽樣頻率應(yīng)滿足的條件，從而引出抽樣定理內(nèi)容。在問題法(5)之前可借助滿足采樣定理的圖形演示，分析恢復(fù)原始信號的方法原理如圖6所示。

圖6 恢復(fù)信號的方法原理

3 結(jié)語

本文通過問題法、案例法和實踐法圖形演示法講解抽樣定理，幫助學(xué)生掌握和深刻理解抽樣定理的內(nèi)容。問題法有利于啟發(fā)思維，激勵創(chuàng)新，圖形演示法有利于得到直觀認(rèn)識，案例法有利于理解實際應(yīng)用，實踐法有利于倡導(dǎo)活學(xué)活用。我們將這些方法有機(jī)結(jié)合來講述抽樣定理，對教科書內(nèi)容給予很好的補(bǔ)充，取得了很好的教學(xué)效果。

[1]奧本海姆著，劉樹棠譯.信號與系統(tǒng)(第二版)[M].西安:西安交通大學(xué)出版社，1998

[2]管致中，夏恭恪，孟橋.信號與線性系統(tǒng)(第四版)[M].北京:高等教育出版社，2004

[3]吳大正，信號與線性系統(tǒng)分析(第四版)[M].北京:高等教育出版社，2006

[4]陳后金，胡健等.信號與系統(tǒng)[M].北京:高等教育出版社，2003

[5]鄭君里，應(yīng)啟珩，楊為理.信號與系統(tǒng)[M].北京:高等教育出版社，2000