基于壓縮傳感的圖像過完備字典設(shè)計(jì)

趙 睿，于華楠

(1.東北電力大學(xué)信息工程學(xué)院，吉林吉林132012;2.東北電力大學(xué)信息工程學(xué)院，吉林吉林132012)

傳統(tǒng)的信號(hào)采集過程主要包括采樣、壓縮、傳輸和解壓縮四個(gè)部分。在運(yùn)用百萬像素的數(shù)碼相機(jī)對場景進(jìn)行成像時(shí)，對圖像信號(hào)的壓縮是在不影響成像效果的前提下，舍棄了采樣獲得的大部分?jǐn)?shù)據(jù)，只對部分信息進(jìn)行存儲(chǔ)和傳輸，最后在接收端通過相應(yīng)的解壓縮算法對原始圖像進(jìn)行重構(gòu)［1］。Donoho于2006年正式提出了壓縮傳感的概念，其優(yōu)點(diǎn)在于信號(hào)的投影測量數(shù)據(jù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)采樣方法所獲得的數(shù)據(jù)量，突破了奈奎斯特采樣定理的瓶頸［2］。并且，壓縮傳感技術(shù)能夠通過觀測直接獲得壓縮的信號(hào)，避免對海量像素信息的采集，并同時(shí)實(shí)現(xiàn)去噪過程［3］。

壓縮傳感技術(shù)在圖像采集、圖像壓縮和醫(yī)學(xué)成像等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景，文獻(xiàn)［4］中給出了壓縮傳感技術(shù)及其在圖像處理方面應(yīng)用的詳細(xì)綜述，文獻(xiàn)［5］將空間自適應(yīng)濾波技術(shù)應(yīng)用到壓縮傳感理論中，提出了一種新的圖像重建算法。本文對壓縮傳感中的過完備字典設(shè)計(jì)方法進(jìn)行研究，將K-SVD算法［6］與MP，BP和FOCUSS等稀疏編碼算法結(jié)合使用，利用K-SVD算法更新字典。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的過完備字典能夠更好的補(bǔ)償圖像丟失的像素，具有明顯優(yōu)于DCT過完備字典的圖像去噪能力。

1 壓縮傳感理論

壓縮傳感的核心思想是將壓縮與采樣合并進(jìn)行，首先采集信號(hào)的線性非自適應(yīng)投影值，即測量值，然后根據(jù)相應(yīng)重構(gòu)算法由測量值重構(gòu)原始信號(hào)。假設(shè)x是一個(gè)N維向量，滿足其中:D是過完備字典，且u∈RN中只有K個(gè)非零元素，即u是N維維稀疏向量。

將信號(hào)x分解成一個(gè)矩陣D和一個(gè)稀疏向量u的乘積在信號(hào)處理過程中具有重要的意義，x可以用u中的K個(gè)非零元素來描述，而不再是原來x中的N個(gè)元素。同樣，為了在噪聲環(huán)境中估計(jì)x，我們只需要估計(jì)出K個(gè)而不是N個(gè)實(shí)際參量。

壓縮傳感可以從相對少的樣本中恢復(fù)稀疏信號(hào)，而不需要復(fù)雜的計(jì)算過程。對x的采樣過程可以描述為一個(gè)線性變換，即通過觀測矩陣Φ得到觀測信號(hào)

其中Φ是M×N維觀測矩陣，觀測到的信號(hào)y有M個(gè)元素，y的每個(gè)元素是x的一個(gè)檢測量。將式(1)代入式(2)得

若已知D和Φ，利用重建算法就能從y中恢復(fù)出x，而不必知道未知信號(hào)u中非零元素的一系列位置。

2 過完備字典的設(shè)計(jì)方法

過完備字典的設(shè)計(jì)通?；谛盘?hào)分解理論。傳統(tǒng)的信號(hào)分解變換是將信號(hào)分解在一組完備的正交基上，而且這種變換是可逆的，如傅立葉變換、小波變換等。

本文對過完備字典D的設(shè)計(jì)基于下述假設(shè):不考慮圖像的采集過程，于是不需要對圖像信號(hào)進(jìn)行再次觀測，即觀測矩陣為單位矩陣。過完備字典的設(shè)計(jì)可以看成是求解下式所描述的問題

過完備字典的自適應(yīng)設(shè)計(jì)方法一般由兩個(gè)階段組成，第一階段根據(jù)當(dāng)前的字典計(jì)算稀疏表示系數(shù)，這一階段稱為稀疏編碼;第二階段在稀疏表示系數(shù)固定的條件下更新字典。這兩個(gè)階段不斷交替進(jìn)行，直到訓(xùn)練出符合要求的過完備字典。

2.1 字典設(shè)計(jì)第一階段

在給定的訓(xùn)練信號(hào)y和當(dāng)前字典D的條件下，計(jì)算出稀疏表示系數(shù)u，這一稀疏編碼過程和壓縮傳感理論中的稀疏重建過程是一致的。所以計(jì)算稀疏表示系數(shù)需要解決下式描述的問題

稀疏編碼階段認(rèn)為D是固定的，如果選擇單位l2范數(shù)來約束D，則式(4)中的約束條件可以寫成

這樣，式(4)描述的問題可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè)獨(dú)立的子問題，這些子問題可以利用上述跟蹤算法來解決。

2.2 字典設(shè)計(jì)第二階段

在自適應(yīng)方法的第二個(gè)階段，本文采用K-SVD算法［6］更新字典。K-SVD算法采用奇異值分解(SVD)方法更新過完備字典，每次更新一個(gè)列向量dk，而其它的列向量都保持不變，以便找出新的dk和與之對應(yīng)的系數(shù)，從而最大限度的減少均方誤差。在字典更新階段，D和X都是固定的。假設(shè)只處理D中的列向量dk和與之對應(yīng)的系數(shù)xiT(X的第i行，不是X的第i列向量xi)，則更新字典時(shí)式(6)中給出的約束條件可以表示為

式中，把矩陣的乘積DX分解成K個(gè)秩為1的矩陣之和，其中第k個(gè)是要處理的，其余K-1個(gè)保持固定不變，矩陣Ek代表除去第k個(gè)原子的所有N個(gè)訓(xùn)練信號(hào)的誤差。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證過完備字典在圖像去噪中的應(yīng)用及本文訓(xùn)練的字典和DCT過完備字典的實(shí)際效果，本文進(jìn)行下面幾組仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中使用測試圖像lena，原始圖像和噪聲污染后的圖像如圖1所示。人為加入的噪聲污染基于以下方法:將圖像分割成500個(gè)不重疊的塊，取常數(shù)r∈(0.2，0.9)，然后隨機(jī)刪除每個(gè)塊中r倍像素總數(shù)的位置(置0)。圖2給出了圖像去噪過程中采用的字典，字典的各個(gè)子塊是按照方差遞減的順序排列的。前三個(gè)子圖是采用本文的自適應(yīng)方法訓(xùn)練得到的字典，其中第一個(gè)是利用原始圖像訓(xùn)練得到的字典，第二個(gè)和第三個(gè)字典是在噪聲污染圖像的基礎(chǔ)上訓(xùn)練得到的字典，字典1和字典2被噪聲污染的程度不同。第四個(gè)子圖是DCT過完備字典。在字典的訓(xùn)練過程中，稀疏編碼計(jì)算選擇匹配跟蹤算法，誤差容限選擇0.000 4。

圖1 測試用圖像

圖2 圖像去噪使用的字典

針對受噪聲污染的圖像，分別采用兩種字典去噪后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，信噪比為31 dB的情況下，基于本文提出的方法訓(xùn)練得到的字典，具有更強(qiáng)的去噪能力，能夠?qū)崿F(xiàn)更優(yōu)的圖像重建效果。而進(jìn)一步對比采用自適應(yīng)方法訓(xùn)練的兩種字典，由于圖像噪聲的存在，細(xì)節(jié)信息被干擾，利用原始圖像訓(xùn)練得到的字典重建的圖像更清晰，但是原始圖像通常是未知的，所以只能利用受噪聲污染的圖像進(jìn)行訓(xùn)練。

圖3 兩種字典的圖像去噪效果

為了對比兩種訓(xùn)練字典的方法，分別采用上述兩種方法獲得的過完備字典進(jìn)行圖像重建，得到的平均重建誤差曲線如圖4所示。從圖中可以看出，隨著被腐蝕像素在總像素中所占的比例上升，自適應(yīng)訓(xùn)練字典和DCT字典的平均重建誤差都不斷增加，但自適應(yīng)方法的平均重建誤差始終低于DCT字典的平均重建誤差，當(dāng)被腐蝕像素在總像素中所占比例達(dá)到0.9(90%)以上時(shí)，兩種字典的去噪效果都受到被腐蝕像素的嚴(yán)重影響，平均重建誤差趨于一致。

圖4 兩種字典的平均重建誤差曲線

4 結(jié) 論

本文對圖像壓縮傳感中過完備字典的自適應(yīng)訓(xùn)練方法進(jìn)行研究。采用K-SVD算法更新字典，在更新字典中列向量的同時(shí)更新系數(shù)，加快了收斂速度。仿真實(shí)驗(yàn)證明了本文采用的自適應(yīng)算法訓(xùn)練的字典在圖像去噪方面明顯優(yōu)于DCT字典，具有較低的平均重建誤差。此外，使用信噪比越高的，即越接近原始圖像的圖像來訓(xùn)練字典，圖像去噪的效果越明顯。在進(jìn)一步的研究中，將嘗試實(shí)驗(yàn)更多的稀疏編碼算法，并且對算法進(jìn)行改進(jìn)以適用于處理較大的圖像。

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