Taub定理的完整證明

楊錦波

(廣州大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院, 廣東 廣州, 510006)

Taub定理的完整證明

楊錦波

(廣州大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院, 廣東 廣州, 510006)

采用Hawking和Ellis證明Birkhoff定理的方法, 完整地證明了Taub定理, 即Einstein方程的平面對(duì)稱真空解必然為Taub時(shí)空.

平面對(duì)稱真空解; Taub時(shí)空; Taub定理

Taub定理由Taub在1951年提出[1-2], 這是一條與廣義相對(duì)論中著名的Birkhoff定理相類似的定理. Birkhoff定理說: Einstein方程的真空球?qū)ΨQ解必為Schwarzchild時(shí)空. 而Taub定理則指出: Einstein方程的真空平面對(duì)稱解必為Taub時(shí)空.

最初對(duì)Birkhoff定理的證明遺漏了另一種可能性[1-2], 后來Hawking和Ellis在《The Large Scale Structure of Space-Time》一書的附錄中給出了包含全部可能性的Birkhoff定理的完整證明[3]. 有趣的是, Taub定理也存在相似的情況: 最初對(duì)Taub定理的證明也遺漏了另一種可能性, 因此是一種不全面的或不完整證明. 在本文中, 我們參照文獻(xiàn)[3]提出的關(guān)于Birkhoff定理證明過程, 給出了Taub定理的一個(gè)完整證明. 為了簡(jiǎn)捷, 本文采用自然單位制, 即c = G = 1.

1 平面對(duì)稱真空Einstein方程

平面對(duì)稱時(shí)空是這樣的一個(gè)時(shí)空, 其等度規(guī)群含有與 2維歐氏群同構(gòu)的子群, 子群的所有軌道都是2維平面. 平面對(duì)稱條件把度規(guī)形式限制成如下形式:

根據(jù)克氏符計(jì)算出里奇張量, 并代入Einstein真空?qǐng)龇匠? 得:

由于廣義相對(duì)論要求物理規(guī)律具有廣義坐標(biāo)變換下的協(xié)變性, 這4個(gè)方程并不足以確定度規(guī)分量的具體的函數(shù)形式, 因此本文還將使用諧和坐標(biāo)條件[2], 即:

仿照Hawking和Ellis在《the large scale structure of Space-Time》的附錄B中對(duì)Birkhoff定理的證明, 下面將進(jìn)行分類討論[3].

2 Taub定理的證明

2.1 Y為常數(shù)

當(dāng)Y為常數(shù)時(shí), 我們重新定義y、z, 把系數(shù)Y吸收掉, 將線元寫為如下形式:

那么Einstein場(chǎng)方程為:

(10)式與(11)式實(shí)際上是同一個(gè)微分方程:

亦即只有一個(gè)獨(dú)立的方程, 不足以確定度規(guī)分量A、B的具體表達(dá)式, 這時(shí)可以用諧和坐標(biāo)條件給出的方程(7)和方程(8). 此時(shí), 該兩式變?yōu)?

由于:

式中γ1和γ2是2個(gè)帶量綱的常數(shù), 由(14)-(17)式可得:

k是一個(gè)待定的常數(shù). 兩邊取指數(shù), 得:

這意味著可以適當(dāng)調(diào)整k值, 就有A = B, 使度規(guī)變成如下形式:

將A = B代入(13)式得:

式中λ為常數(shù). 再對(duì)(22)式的兩個(gè)等式分別積分得:

再積分一次, 得:

最后, 得:

線元的表達(dá)式為:

得出的線元表達(dá)式看似復(fù)雜, 其實(shí)正是Minkowski時(shí)空, 這只需要通過幾步坐標(biāo)變換就能看出.

做坐標(biāo)變換w=t-x, v=t+x, 則線元的表達(dá)式變?yōu)?

則線元就變?yōu)?

這意味著, 若Y取常數(shù), 則Einstein真空?qǐng)龇匠痰慕獗貫镸inkowski 時(shí)空.

2.2 Y為變量

如果(1)式中的Y是t和x的函數(shù), 那么可以另選坐標(biāo)系, 使Y是其中的一個(gè)坐標(biāo):

由(34)、(35)式可得:

用X, Y, y, z作為新坐標(biāo), 線元的表達(dá)式(1)變?yōu)?

則線元可以進(jìn)一步寫為:

也就是可以選取Y作為空間坐標(biāo).

則線元可寫成:

也就是可以選取Y作為時(shí)間坐標(biāo).

4) 如果(1)式中的Y僅為t (或x)的函數(shù), 可以由t=t( Y)(或x=x( Y))給出, 線元可寫為:

綜上所述, 當(dāng)Y為變量時(shí), 總可以取為時(shí)間或是空間坐標(biāo).

2.3 取Y = x

取Y = x, 線元變?yōu)?

Einstein場(chǎng)方程剩下兩個(gè)獨(dú)立的方程：

對(duì)(52)式積分得:

這里不使用諧和坐標(biāo)條件. 因?yàn)樵诒咀鴺?biāo)之下, 諧和坐標(biāo)條件給出的方程

將給出矛盾的結(jié)果, 因此不應(yīng)該再使用諧和坐標(biāo)條件.

(58)式與(60)式有相同的形式, 所以只需要討論(58)式.

重新定義各個(gè)坐標(biāo)量, 把多余的常數(shù)吸收掉之后有:

2.4 取Y = t

取Y = t, 線元變?yōu)?

場(chǎng)方程變?yōu)?

對(duì)(64)式直接積分得:

其中a是正實(shí)數(shù)(與2.3節(jié)無關(guān), 下同). 用分離變量法解(65)式, 令, 有:

將A的表達(dá)式代入(63)式得:

而諧和坐標(biāo)條件給出:

(71)式與(64)、(65)式矛盾, 與2.3節(jié)一樣, 應(yīng)該放棄諧和坐標(biāo)條件.

當(dāng)t＜0時(shí),

類似于2.3節(jié), 只需要研究(73)式.

重新定義坐標(biāo)把不必要的常數(shù)吸收掉, 可得:

3 結(jié)論

綜上所述, 在平面對(duì)稱的條件下, 真空Einstein場(chǎng)方程的解是:

Taub得到的結(jié)果與上述表達(dá)式是不一樣的, 其結(jié)果為:

遺漏的情況是[2]:

文獻(xiàn)[2]指出, (81)、(82)式中的k會(huì)讓人誤以為是任意常數(shù), 但是在 k≠0的時(shí)候, (81)式經(jīng)過合適的坐標(biāo)變換會(huì)變成如下形式:

而(82)式會(huì)變成[2]:

顯然 k=0時(shí), (81)、(83)式都是常用的Minkowski時(shí)空線元. 把t, x, y, z的次序交換后就可以把(83)、(84)式變成(79)、(80)式, 可見(78)-(80)式確實(shí)是Taub時(shí)空所用的線元.

致謝:在本文的撰寫過程中, 科普作家張軒中提供了一些相關(guān)資料, 并做了一些有益的討論, 廣州大學(xué)天體物理中心張靖儀教授提出了一些具體的修改意見, 在此向他們一并致以誠(chéng)摯的謝意!

[1] Taub A H. Empty Space-time admitting a three parameter group of motion [J]. Ann Math., 1951, 53(3): 472-490.

[2] 梁燦彬. 微分幾何及廣義相對(duì)論(上冊(cè))[M]. 2版. 北京: 科學(xué)出版社, 2006: 267-270.

[3] Hawking S W, Ellis G F R. The Large Scale Structure of Space-Time[M]. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1973: 369-372.

(責(zé)任編校： 江 河)

A complete proof of the Taub's theorem

YANG Jin-bo
(School of Physics and Electronic Engineering, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

By the same method as Hawking and Ellis proving the Birkhoof's theorem, a complete proof of the Taub's theorem is given. According to the Taub’s theorem, a plane-symmetric vacuum solution of the Einstein equations must be a Taub space-time.

plane-symmetry vacuum solution; Taub space-time; Taub's theorem

O 412.1

1672-6146(2012)02-0021-07

10.3969/j.issn.1672-6146.2012.02.006

2012-3-27

楊錦波(1991-), 男, 本科. 主要研究方向?yàn)楹诙次锢? E-mail: base.city@163.com