平板及立板式防波堤附加質(zhì)量與阻尼系數(shù)研究

王 科，賀大川，張志強(qiáng)

（大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備與結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，工程力學(xué)系，遼寧 大連116024）

1 引 言

透空式防波堤的基本設(shè)計(jì)理念是部分衰減入射波浪能量。在近海和海岸地帶設(shè)置透空式防波堤可以用于海岸侵蝕區(qū)域防護(hù)，海水養(yǎng)殖場(chǎng)區(qū)保護(hù)，同時(shí)由于該種防波堤可以允許海水自由交換，因此不會(huì)影響沿岸水質(zhì)和海洋生態(tài)。這種設(shè)計(jì)理念也可以推廣應(yīng)用到深海鉆井平臺(tái)的外海波浪防護(hù)中，通過在鉆井平臺(tái)外圍安裝透空式防波堤，從而避免巨大的波浪力直接作用在重要的海工結(jié)構(gòu)物上，以達(dá)到節(jié)省工程造價(jià)的目的。

在深海環(huán)境下，一般水深都超過200 m，采用何種方式安裝板式防波堤并采用何種優(yōu)化型式，既能達(dá)到滿意的消波效果，又能保證使用的安全性和可靠性是需要考慮的重要課題之一?？梢悦鞔_的是在深海情況下，防波堤的安置方式肯定不能采用固定方式，應(yīng)采用自身動(dòng)態(tài)平衡或者錨泊的方式。平板和立板型式防波堤是透空式防波堤的最基本型式，從這兩種防波堤入手可以獲得透空式結(jié)構(gòu)的重要水動(dòng)力響應(yīng)特征參數(shù)，從而為進(jìn)一步研究由平板和立板組成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)打下良好基礎(chǔ)。在建立透空式防波堤的水動(dòng)力響應(yīng)運(yùn)動(dòng)方程中，附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)是兩個(gè)很重要的特征參數(shù)，通過研究板式結(jié)構(gòu)相對(duì)板長(zhǎng)、潛深與附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)的相互關(guān)系，對(duì)于明確板式結(jié)構(gòu)的安裝方式具有重要意義。

采用固定安裝方式的透空型式防波堤的水動(dòng)力特性研究，前人已做了大量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)工作（嚴(yán)以新，鄭金海，曾小川[1]；王國(guó)玉，王永學(xué)，李廣偉[2]； 王巨輪，朱承[3]；McIver[4]；Parson 和 Martin[5]；Neelamani和Reddy[6]；Yu和Chwang[7]；Usha和Gayathri[8]和王科[9]）。主要研究?jī)?nèi)容為板式結(jié)構(gòu)的透射和繞射系數(shù)，波浪力等，采用的方法主要有實(shí)驗(yàn)方法，解析方法，有限元法，特征值展開法等，上述方法實(shí)際上不能求解板式結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)問題。

附加質(zhì)量和阻尼力主要是由于物體做輻射運(yùn)動(dòng)引起的（Newman[10]；陳宏彬，李遠(yuǎn)林[11]；朱仁傳，郭海強(qiáng)，繆國(guó)平，余建偉[12]）。本文應(yīng)用無限水深格林函數(shù)方法研究平板和立板的輻射問題，該方法可計(jì)算任意形狀物體的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，有很高的計(jì)算精度和應(yīng)用范圍。文中第二節(jié)闡述了無限水深情況下計(jì)算平板和立板的附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)的基本公式與計(jì)算方法，第三節(jié)給出了計(jì)算結(jié)果及分析，第四節(jié)對(duì)平板和立板在不同工況下的附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)進(jìn)行了總結(jié)，提出了參考意見。

2 數(shù)學(xué)公式

2.1 波浪與平板相互作用的基本理論公式

如圖1所示，長(zhǎng)為B，厚為TT的剛性薄板位于自由水面以下Hs處，波浪由右向左傳播。定義笛卡爾坐標(biāo)系oxy的原點(diǎn)位于無擾動(dòng)的自由水面，規(guī)定水平向左為x軸的正方向，垂直向上為y軸的正方向。

圖1 平板或立板計(jì)算示意圖Fig.1 Calculation sketch of horizontal or vertical plate

假設(shè)流體為無粘性、不可壓縮并且運(yùn)動(dòng)無旋的理想流體，物體在波浪作用下作周期性簡(jiǎn)諧振蕩運(yùn)動(dòng)，則波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用問題存在速度勢(shì)Φ滿足拉普拉斯方程：

應(yīng)用攝動(dòng)展開法，取一階近似，當(dāng)入射波為規(guī)則波時(shí)，速度勢(shì)Φ可以寫成分離出時(shí)間變量的形式，即：

φ （x,y）仍然滿足拉普拉斯方程，且同時(shí)滿足如下邊界條件：

自由表面邊界條件：

物面不可滲透條件：

水底不可滲透條件：

其中：g為重力加速度，n為物面法線方向，Vn為物體沿n方向的運(yùn)動(dòng)速度。

基于線性假定，空間復(fù)速度勢(shì)可以分解為三個(gè)部分：

式中：φI為入射勢(shì)，φD為繞射勢(shì)，φR為輻射勢(shì)。繞射勢(shì)和輻射勢(shì)滿足的邊界條件為：

在研究波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用的輻射問題時(shí)，若只計(jì)入流體動(dòng)壓力，則場(chǎng)內(nèi)的流體動(dòng)壓力可記為如下形式：

將一階流體動(dòng)壓力沿物體平均濕表面積分，即可得到物體所受的水動(dòng)力，即：

式中：j=1，2，3，表示相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)模態(tài)，F(xiàn)j為j模態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)物體所受到的流體作用力或力矩。

基于線性假定，輻射速度勢(shì)φR可以分解為如下形式：

由公式（8）、（11），公式（10）可進(jìn)一步寫為：

引入公式

則ajk為附加質(zhì)量，bjk為阻尼系數(shù)。

2.2 邊界積分方程的建立及求解

對(duì)控制方程（拉普拉斯方程）應(yīng)用格林公式和邊界單元方法可得到關(guān)于速度勢(shì)φ的邊界積分方程如下：

其中：φ（P）=φi，P（ x,y）為域點(diǎn)，Q（ ξ,η）為源點(diǎn)，G（ P,Q）為格林函數(shù)，C為空間角。

格林函數(shù)G（ P,Q）可取如下形式：

其中：Q′為Q點(diǎn)關(guān)于 x軸的對(duì)稱點(diǎn)，r為點(diǎn)P、Q（或Q′）之間的距離,μ*為波動(dòng)項(xiàng)。

為了對(duì)邊界積分方程（14）進(jìn)行求解，將模型邊界離散為一系列線性單元，即假定各物理量在單元間為線性分布，則方程（14）可寫成以下形式：

其中：[H]和[K]為系數(shù)矩陣，并且僅與計(jì)算域的邊界形狀有關(guān)。

對(duì)于公式（19）和（20）中的logr項(xiàng)，可以用如下方法計(jì)算（參見文獻(xiàn)[13]）：

其中：i表示域點(diǎn)P；M代表總節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)；j1，j2代表邊界第j個(gè)單元上的局部第一個(gè)節(jié)點(diǎn)和第二個(gè)節(jié)點(diǎn)。公式（21）中的其他參數(shù)由下式確定：

如圖2所示，pi代表邊界上第i個(gè)節(jié)點(diǎn)；qj1和qj2代表邊界上第j個(gè)單元的局部第一節(jié)點(diǎn)和第二節(jié)點(diǎn)，ηi為局部坐標(biāo)系下 pi點(diǎn)坐標(biāo)；ξj1和 ξj2分別為 qj1和qj2點(diǎn)坐標(biāo)。

含波動(dòng)項(xiàng)μ*的計(jì)算參考王科、許旺[14]中的方法。

圖2 j號(hào)單元局部坐標(biāo)系Fig.2 Local coordinate system of the jth boundary element

3 附加質(zhì)量、阻尼系數(shù)結(jié)果分析

3.1 水面平板計(jì)算結(jié)果

在本文的圖表中：M代表106；G代表 109；k代表 103；m 代表 10-3；u 代表 10-6；n 代表 10-9。

圖3 水面平板附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)Fig.3 Added mass and damping of surface horizontal plate

3.2 水下平板計(jì)算結(jié)果

由圖4可知，對(duì)于板式防波堤而言，為保證其計(jì)算精度足夠精確，板的厚度應(yīng)盡可能薄，為此在討論圖4潛深變化對(duì)板式防波堤附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)的影響時(shí)，板厚均取TT=0.005m。 由上圖可見，水下平板垂蕩附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)在K=0時(shí)沒有奇異性，而a11在K=0時(shí)趨于常值，b11=0。隨著平板逐漸接近水面附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)逐漸增大，當(dāng)Hs=0.05時(shí)，附加質(zhì)量在KB/2=0.2，阻尼系數(shù)在KB/2=0.3附近有極值a11=0.35，b11=0.30。在Hs=0.25時(shí)，附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)的極值逐漸減小。KB/2＞1.0時(shí)，a11→0.1，而K→∞時(shí)，b11→0。一個(gè)值得注意的現(xiàn)象是在平板接近自由表面時(shí)，即在Hs=0.03，Hs=0.01時(shí)，隨著KB/2的逐漸增大，垂蕩附加質(zhì)量出現(xiàn)負(fù)值，這一現(xiàn)象在橫搖運(yùn)動(dòng)Hs=0.05，KB/2＞1.1時(shí)也能發(fā)現(xiàn)，這是近自由表面物體附加質(zhì)量變化的重要特征。

圖4 水下平板附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)隨潛深變化Fig.4 Added mass and damping of submerged horizontal plate with submergence

3.3 板厚對(duì)平板附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)的影響

圖5為水下平板附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)隨板厚變化計(jì)算結(jié)果。由于板潛在水下，與水面平板相比水下平板上部的logr奇異性和板下部的奇異性相互抵消，在K=0時(shí)，垂蕩附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)均不含有奇異性，且附加質(zhì)量在K=0時(shí)趨于0.20，阻尼系數(shù)為0。板厚在TT≤0.025 m時(shí)對(duì)垂蕩影響不大，橫蕩附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)的變化趨勢(shì)與水面平板相似，但水下平板的值較大，且阻尼系數(shù)有極值存在。橫搖附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)與水面平板相比也有極值存在，且在KB/2≥1.0時(shí)均為0，由圖5還可發(fā)現(xiàn)一個(gè)重要現(xiàn)象，橫蕩、橫搖附加質(zhì)量出現(xiàn)負(fù)值。

圖5 水下平板附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)隨板厚變化Fig.5 Added mass and damping of submerged horizontal plate with plate thickness

3.4 水面立板計(jì)算結(jié)果

由于形狀上的差異，水面立板的附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)以橫蕩方向影響為主，橫蕩時(shí)附加質(zhì)量在K=0時(shí)趨于有限值a11=0.06，在KB/2=0.4附近有極值出現(xiàn)。阻尼系數(shù)在K=0時(shí)為0，在KB/2=0.8附近有極值b11=0.072。圖6為隨著相對(duì)板厚增大，附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)逐漸減小，同時(shí)板厚對(duì)橫蕩運(yùn)動(dòng)影響有限。由于立板和水面接觸面積較小，在K=0時(shí)，垂蕩附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)均較小，TT≤0.025 m時(shí)，板厚對(duì)垂蕩運(yùn)動(dòng)基本沒有影響。橫搖附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)均為0。在單板的幾何形狀完全相同的情況下，由于擺放方式的不同，附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)呈現(xiàn)出不同的變化。

圖6 水面立板附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)隨板厚變化Fig.6 Added mass and damping of surface vertical plate with plate thickness

3.5 水下立板計(jì)算結(jié)果

由于水下立板的橫截面積與水下平板完全不同，因此水下立板的附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)在橫蕩方向變化顯著，且在不同潛深時(shí)（參見圖7），a11在KB/2=0.2附近有極值，而在KB/2=0.8前后出現(xiàn)相反分布，在KB/2＜0.8時(shí)，立板越接近自由表面，附加質(zhì)量越大，而在KB/2>0.8時(shí)，立板越接近自由表面，附加質(zhì)量越小。但與水下平板不同的是立板垂蕩附加質(zhì)量未出現(xiàn)負(fù)值，而且在KB/2→∞時(shí)逐漸趨于定值。橫蕩阻尼系數(shù)在K=0時(shí)，b11=0，立板越接近自由表面，阻尼系數(shù)越大，對(duì)Hs=0.05而言，在KB/2=0.6時(shí)有極值0.042，而當(dāng)KB/2→∞時(shí)，阻尼系數(shù)趨于0。

圖7 水下立板附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)隨潛深變化Fig.7 Added mass and damping of surface vertical plate with submergence

3.6 板厚對(duì)立板附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)的影響

與水下平板的變化類似，水下立板的垂蕩附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)在K=0時(shí)趨于定值，而橫蕩為水下立板控制運(yùn)動(dòng)，附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)的變化趨勢(shì)與水面立板相似，但量值較大顯示水下立板垂蕩運(yùn)動(dòng)對(duì)流體擾動(dòng)較大。橫搖附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)的變化曲線較平滑，量值在o（10-6）范圍內(nèi)。

由圖8的結(jié)果分析還可以發(fā)現(xiàn)，TT≤0.025 m時(shí)，附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)隨板厚變化不大，可視為定值。因此對(duì)板式防波堤這一特殊結(jié)構(gòu)而言，對(duì)其水動(dòng)力特性進(jìn)行分析的一個(gè)重要前提是其厚度必須足夠薄，為方便以后的討論，在潛深變化對(duì)板式防波堤的計(jì)算中，板的厚度均取為TT=0.005 m。

圖8 水下立板附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)隨板厚變化Fig.8 Added mass and damping of submerged vertical plate with plate thickness

4 結(jié)論與建議

本文應(yīng)用格林函數(shù)的方法對(duì)平板和立板兩種基本型式的透空式防波堤的附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)進(jìn)行了系統(tǒng)分析。研究發(fā)現(xiàn)，附加質(zhì)量在平板和立板無限接近自由表面時(shí)有負(fù)值出現(xiàn)，同時(shí)水面平板和立板在K=0處有奇性。板的厚度對(duì)計(jì)算結(jié)果的一致性影響較大，對(duì)于板式結(jié)構(gòu)其計(jì)算厚度應(yīng)盡可能薄，TT=0.005 m是本文計(jì)算采用的數(shù)值，結(jié)果收斂性很好，也驗(yàn)證了程序有很高的計(jì)算精度，完全適用于板這種幾何形狀非常特殊的結(jié)構(gòu)。

由立板和平板的計(jì)算結(jié)果還可發(fā)現(xiàn)，在確保板式防波堤結(jié)構(gòu)消波效能特性的基礎(chǔ)上，其未來可能出現(xiàn)的新概念形式的防波堤結(jié)構(gòu)應(yīng)為立板和平板的組合結(jié)構(gòu)，其固定方式或者錨泊系統(tǒng)應(yīng)充分發(fā)揮立板和平板的動(dòng)力響應(yīng)特征，即對(duì)于在KB/2=0.2附近的波浪，應(yīng)采用水下布置方式。

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