壓電層合柔性梁振動主動控制

洪 明，陳 鳳

（大連理工大學 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室 運載工程與力學學部 船舶工程學院，遼寧 大連116024）

1 引 言

隨著科學技術(shù)的發(fā)展，具備低質(zhì)量、寬頻帶和強適應(yīng)性等特點的智能材料勢必在艦船等結(jié)構(gòu)振動控制中得到越來越廣泛的應(yīng)用。對含壓電層的柔性智能結(jié)構(gòu)振動控制的研究，也是為提高艦船結(jié)構(gòu)性能做技術(shù)儲備。

國內(nèi)外已經(jīng)有很多學者研究了壓電層合結(jié)構(gòu)的力學行為及其振動控制[1]。Edward[2]介紹了壓電作動器作為智能結(jié)構(gòu)單元的分析和實驗的發(fā)展，基于Bernoulli-Euler梁假設(shè)分析了表面粘貼或內(nèi)部嵌入有壓電層的懸臂梁的力學模型，并與實驗結(jié)果對比。Tzou[3]提出了一種包含電勢自由度的有限元模型，并采用該模型分析了一個具有分布式壓電傳感器和作動器的平板的動力性能。Ray[4]精確求解了四邊簡支壓電層合矩形板的靜力問題，并探討了作動器和傳感器能產(chǎn)生和感應(yīng)變形的能力。Samanta[5]基于剪切變形理論提出了一種8節(jié)點四邊形等參單元，并用速度負反饋控制對有分布式壓電傳感器和作動器的層合板進行主動控制。Sung[6]采用包含電勢自由度的20節(jié)點體單元分析了壓電結(jié)構(gòu)的非線性動力響應(yīng)。Simoes-Moita[7]基于經(jīng)典的Kirchhoff理論，通過Hamilton原理建立了3節(jié)點三角形單元的壓電層合板的有限元方程，并采用常增益速度負反饋控制抑制了受脈沖或簡諧激勵下簡支梁的振動。Narayanan[8]在有限元方程中考慮了溫度對機電特性的影響，比較了結(jié)構(gòu)承受脈沖或簡諧激勵下常增益速度負反饋控制、Lyapunov反饋控制以及LQR最優(yōu)控制。Jiang[9]基于高階位移場、高階電勢場以及線性溫度場，通過廣義虛功原理推導(dǎo)了一種2節(jié)點含分布式壓電傳感器和作動器的壓電熱彈性復(fù)合梁的有限元模型，采用常增益速度負反饋控制抑制了結(jié)構(gòu)受脈沖激勵或溫度激勵下的振動。Pietrzakowski[10]假設(shè)電勢沿厚度方向的分布是余弦函數(shù)和線性函數(shù)的組合，探討了壓電柔性結(jié)構(gòu)的振動主動控制。

本文采用4節(jié)點四邊形等參單元模擬上下表面分別粘貼有分布式壓電作動器和傳感器的層合板/殼單元。每個節(jié)點含有6個廣義位移自由度，對應(yīng)每個壓電層再引入一個電勢自由度?；贛indlin一階剪切變形理論，通過Hamilton原理建立有限元方程，用精細積分法得到系統(tǒng)狀態(tài)空間響應(yīng)，基于線性二次型輸出調(diào)節(jié)器問題設(shè)計控制器，然后編制相應(yīng)的有限元程序，實現(xiàn)壓電層合懸臂梁的振動主動控制。

圖1 壓電層合單元節(jié)點坐標示意圖Fig.1 Coordinate of the piezoelectric laminated element

2 壓電層合單元有限元模型推導(dǎo)

2.1 基本假設(shè)

單元模型為上下表面分別粘貼有壓電層的板殼結(jié)構(gòu)，如圖1所示。各層均滿足彈性力學基本假設(shè)，壓電層沿z向極化，電勢沿厚度方向線性分布。

實際上，壓電材料都是各向異性的，各向同性的材料不可能產(chǎn)生壓電。Kepler[11-12]研究的單向或雙向拉伸的PVDF認為在xy平面內(nèi)彈性模量E相等，滿足這樣特性的材料的方程就跟各向同性材料是一樣的。由于壓電聚合物的楊氏模量一般比所關(guān)心的結(jié)構(gòu)的楊氏模量小10倍以上，因此即使對于機械各項異性的壓電材料得到的近似結(jié)果也是很精確的[13]。假設(shè)壓電層與板之間為理想粘貼，不考慮粘貼層的影響。

2.2 位移場和應(yīng)變場

根據(jù)Mindlin一階剪切變形理論，壓電層合單元中任意一點（x,y,z）的位移表示如下：

其中， （u0,v0,w0）為該點在中性面投影點 （x,y,0）分別在x、y和z方向的位移，θx和 θy分別為關(guān)于x軸和y軸的轉(zhuǎn)角。

2.3 幾何方程

根據(jù)彈性力學基本方程，令σz=0，可得到如下幾何方程表達式：

記作：

單元中任意一點的應(yīng)變ε可以表示為：

2.4 壓電本構(gòu)方程

對于各向同性的壓電薄層，Tiersten[14]給出其本構(gòu)方程的形式為：

其中，σ和ε分別為壓電層的應(yīng)力和應(yīng)變矢量，Q為壓電層彈性矩陣，e為壓電應(yīng)力常數(shù)矩陣，E為電場矢量，D為電位移矢量和P為介電常數(shù)矩陣。

電場與電勢的關(guān)系可表示為E=-▽φ，壓電層沿厚度方向極化，則有E= { 0 0 -Ez}T，其中 Ez=-φ/t，φ為壓電層上下表面的電勢差，假設(shè)它沿厚度方向線性變化。

對于含有多層壓電層時，電場與電勢的關(guān)系可表示為：

2.5 壓電層合單元有限元方程

通過Hamilton原理得到壓電層合板的動力方程：

式中三項分別表示系統(tǒng)的應(yīng)變能、動能和外力做功的變分。外力做功為：

其中，fv為體力，fs為面力，fci為第i個節(jié)點的集中力，q為壓電層表面電荷。

本文采用的是雙線性4節(jié)點四邊形等參單元，每個節(jié)點5個廣義位移自由度，另外每個單元每層壓電層有1個電勢自由度。位移插值函數(shù)如下式：

坐標變換后組裝系統(tǒng)總剛度陣和總質(zhì)量陣，得到系統(tǒng)方程為：

t表示作動器的作用電勢的等效力。

3 壓電層合柔性結(jié)構(gòu)狀態(tài)空間方程

上式展開為：

由（17）式可以得到傳感層的輸出電勢為：

將（18）式代入（15）式，并用[M ]代替 [Muu]，可得到系統(tǒng)無阻尼自由振動方程為：

對應(yīng)的有阻尼強迫振動方程為：

將（20）式轉(zhuǎn)化到狀態(tài)空間為：

用精細積分法求解方程（21）即可得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間響應(yīng)。

4 線性二次型輸出調(diào)節(jié)器

根據(jù)最優(yōu)控制線性二次型輸出調(diào)節(jié)器問題，控制目標函數(shù)選為傳感器輸出以及作動器控制電勢的二次加權(quán)和。

其中，權(quán)系數(shù)矩陣Q為半正定對稱陣，R為正定對稱陣。在LQR控制器的設(shè)計中，Q和R的選擇對于最優(yōu)控制的結(jié)果具有很大的影響。在實際工程中，為簡化最優(yōu)控制問題的計算，通常選R為單位矩陣，Q為對角陣，只需調(diào)整Q即可。

反饋控制電勢滿足：

其中GA為反饋增益，滿足：

式中P為代數(shù)Riccati方程（26）的解。

同樣用精細積分法求解代數(shù)Riccati方程。將（23）式和（24）式代入方程（21），得到考慮LQR控制后的狀態(tài)空間方程組為：

5 壓電層合懸臂梁振動控制數(shù)值模擬

基于上面相應(yīng)的理論，本文采用FORTRAN語言編制的計算機程序，首先計算懸臂梁承受電載荷時的變形，與參考文獻比較，驗證本文所推導(dǎo)的壓電層合單元的正確性。然后采用計算精度較高的精細積分算法的HPD_S格式求解方程（21），計算結(jié)構(gòu)受簡諧激勵或脈沖激勵下的狀態(tài)空間響應(yīng)。同樣用精細積分法求解最優(yōu)控制中的Riccati方程，得到控制增益，求解考慮控制后的狀態(tài)空間方程（26），得到不同的權(quán)系數(shù)矩陣下控制后的系統(tǒng)響應(yīng)，與控制前的響應(yīng)形成對比，比較控制效果。

5.1 壓電層合單元模型驗證

首先根據(jù)Tzou[15]的實驗，驗證前面所推導(dǎo)的壓電層合單元的正確性。實驗是由如圖2所示兩層極化方向相反的PVDF粘貼成的懸臂梁，壓電層材料參數(shù)如表1所示。

圖2 壓電層合懸臂梁有限元模型Fig.2 Finite element model of the piezoelectric laminated cantilever

表1 壓電層合懸臂梁壓電層材料參數(shù)Tab.1 Material properties of the piezoelectric layers

將圖2所示懸臂梁等分為5個單元，每個單元20個廣義位移自由度，對應(yīng)每個單元的每層壓電層有1個電勢自由度。在梁的上下表面施加1V的電勢時，懸臂梁垂直方向的變形如表2所示。本文模型的計算結(jié)果與參考文獻結(jié)果吻合較好，說明本文的壓電層合單元模型是可行的。

表2 單位電勢時懸臂梁位移Tab.2 Deflections of the cantilever produced by a unit voltage

5.2 基于精細積分的簡諧激勵作用下懸臂梁動力響應(yīng)數(shù)值模擬

如圖3所示的壓電層合懸臂梁，上、下層為壓電層，中間層基體結(jié)構(gòu)為鋼。單元劃分以及節(jié)點編號、單元編號如圖4所示。各層材料參數(shù)如表3所示。

模態(tài)計算得到圖3中懸臂梁的前4階固有頻率為8.80 Hz、55.15 Hz、155.86 Hz和311.91 Hz。

圖3所示懸臂梁，自由端作用力F=0.2sin188.4 tN，Rayleigh阻尼比α=3和β=1×10-4。圖4為節(jié)點編號及單元編號。圖5為比較精細積分法與Wilson-θ法計算懸臂梁自由端的位移響應(yīng)曲線。

圖3 壓電層合懸臂梁Fig.3 Piezoelectric laminated cantilever

圖4 節(jié)點編號及單元編號Fig.4 Node number and element number

表3 壓電層合懸臂梁各層材料參數(shù)Tab.3 Material properties of each layer of the piezoelectric laminated cantilever

圖5 兩種算法計算得到的時域位移響應(yīng)Fig.5 Tip deflection in time domain by the two methods

圖6 兩種算法計算得到的頻域位移響應(yīng)Fig.6 Tip deflection in frequency domain by the two methods

從圖5可以看出，兩種算法計算結(jié)果在初始階段幾乎是一樣的。對其進行FFT，轉(zhuǎn)化到頻域，得到圖6，從中可以看出，頻域響應(yīng)主要集中在懸臂梁的一階固有頻率和激勵頻率處。

5.3 基于精細積分的脈沖激勵作用下懸臂梁動力響應(yīng)數(shù)值模擬

同上如圖3所示懸臂梁，在懸臂梁自由端作用0.2 N的瞬時激勵，作用時間為1 ms。不考慮阻尼，懸臂梁自由端位移響應(yīng)曲線如圖7所示。

圖7 無阻尼自由振動時域位移響應(yīng)Fig.7 Displacement response of free vibration without damping in time domain

圖8 無阻尼自由振動頻域位移響應(yīng)Fig.8 Displacement response of free vibration without damping in frequency domain

圖7所示為懸臂梁的自由端受脈沖激勵時自由端的時域位移響應(yīng)曲線，對其進行FFT，得到圖8所示的頻域位移響應(yīng)曲線。從圖8可以看出，由脈沖激勵得到的懸臂梁的前四階固有頻率與前面模態(tài)計算得到的固有頻率吻合。

5.4 瞬時激勵作用下懸臂梁振動LQR控制的數(shù)值模擬

同上如圖3所示懸臂梁，在懸臂梁的自由端作用0.2 N的瞬時激勵，作用時間為1 ms，Rayleigh阻尼比為α=3，β=1×10-4。① 系統(tǒng)自由振動；② 0.5 s開始控制，權(quán)系數(shù)Q=5×109，兩種狀態(tài)下懸臂梁自由端位移響應(yīng)曲線如圖9所示。

圖9 控制與否懸臂梁自由端位移響應(yīng)比較Fig.9 Comparison of tip displacements of the cantilever with or without controlling

圖10 控制后1號單元傳感層和作動層電勢Fig.10 Voltages of sensor and actuator in the first element with controlling

由上例可知，懸臂梁受瞬時激勵自由振動時，一階模態(tài)占主要成分。而懸臂梁以一階模態(tài)振動時，圖4中1號單元的傳感層電勢最大，故這里只輸出1號單元的傳感層和作動層的電勢，如圖10所示。從圖9可以看出，0.5 s開始控制后，懸臂梁自由端的振動幅值快速衰減，在2.5 s內(nèi)達到平衡位置。圖10可以看出，隨著振動的衰減，傳感層測得的電勢變小，作動層的控制電勢也隨之減小。

5.5 受簡諧激勵的懸臂梁振動LQR控制

同上如圖3所示懸臂梁，懸臂梁自由端受簡諧力F=0.2sin3 140 tN，Rayleigh阻尼比α=3和β=1×10-4。① 不考慮控制；②0.5 s開始控制，權(quán)系數(shù)Q=1010，兩種狀態(tài)下懸臂梁自由端位移響應(yīng)曲線如圖11所示。1號單元傳感層和作動層電勢如圖12所示。

圖11 控制與否懸臂梁自由端位移響應(yīng)比較圖Fig.11 Comparison of tip displacements of the cantilever damping in time domain

圖12 控制后1號單元傳感層和作動層電勢Fig.12 Voltages of sensor and actuator in the first element with controlling

從圖11可以看出，0.5 s時刻開始控制后，懸臂梁自由端振動的位移幅值明顯衰減。從圖12可以看出，隨著振動幅值的衰減，傳感器測得的電勢以及控制所需要的電勢都呈衰減趨勢。

5.6 LQR控制的權(quán)系數(shù)矩陣對控制效果的影響

同上例，改變最優(yōu)控制目標函數(shù)中的權(quán)系數(shù)矩陣。分別計算Q=5×109和Q=1×1011，得到0.5 s開始控制時懸臂梁自由端時域位移響應(yīng)曲線，以及1號單元作動層的電勢。

由圖13和圖14的曲線可以看出，增大權(quán)系數(shù)矩陣Q，系統(tǒng)能更快達到穩(wěn)定狀態(tài)，且穩(wěn)態(tài)振動時的幅值更小，但是，所需要的控制電勢相應(yīng)地會增大。

圖13 位移響應(yīng)以及作動層電勢Q=5×109Fig.13 Tip displacement and voltage of the first actuator while Q=5×109

圖14 位移響應(yīng)以及作動層電勢Q=1×1011 Fig.14 Tip displacement and voltage of the first actuator while Q=1×1011

6 結(jié) 論

本文基于Mindlin一階剪切變形理論推導(dǎo)的4節(jié)點的四邊形壓電層合單元是準確可行的，能很好地模擬壓電層合柔性結(jié)構(gòu)的力學行為。狀態(tài)空間模型能很好地實現(xiàn)系統(tǒng)的反饋控制，便于比較考慮控制與否以及不同的控制參數(shù)對系統(tǒng)最終狀態(tài)響應(yīng)的影響。用LQR方法設(shè)計的位移反饋控制器，在數(shù)值模擬上能很好地抑制壓電層合懸臂梁受瞬時激勵或簡諧激勵下的振動位移響應(yīng)，明顯縮短了系統(tǒng)達到平衡位置或穩(wěn)態(tài)振動的時間，降低了穩(wěn)態(tài)振動時的位移響應(yīng)幅值。最優(yōu)控制目標函數(shù)中權(quán)系數(shù)矩陣的選取對控制效果以及控制所需能量的影響很大，Q值越大，控制效果越好，控制所需的能量越大。本文對含分布式壓電傳感器和作動器的懸臂梁振動控制的研究說明了壓電智能結(jié)構(gòu)在艦船結(jié)構(gòu)振動主動控制中運用的可行性。

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