基于格型遞歸最小二乘算法的船舶運動極短期預(yù)報

彭秀艷，劉長德

（1哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082）

1 引言

目前，國內(nèi)外對船舶運動極短期預(yù)報都非常重視并展開了許多研究。其中利用時間序列分析法[1]對船舶運動進(jìn)行極短期預(yù)報越來越受到重視，這種方法的最大優(yōu)點是無需知道海浪的任何先驗信息和船舶航行姿態(tài)的狀態(tài)方程，僅僅利用歷史數(shù)據(jù)尋求規(guī)律進(jìn)行預(yù)報。這種方法假設(shè)船舶在海浪中的運動姿態(tài)為一平穩(wěn)的窄帶隨機過程，從而利用線性模型[2-5]擬合這一過程。

實際應(yīng)用中，尤其是在極短期預(yù)報當(dāng)中，實時預(yù)報[6-7]是我們比較關(guān)心的問題。自適應(yīng)模型在某種程度上能夠?qū)崟r地根據(jù)量測數(shù)據(jù)和期望輸出自行調(diào)整模型參數(shù)，并隨著數(shù)據(jù)的陸續(xù)到來，通過遞推算法自動地對模型參數(shù)加以修正，使其接近某種最佳值，即便在尚不完全掌握序列特性的情況下也能得到滿意的模型。由于應(yīng)用遞推算法，自適應(yīng)模型的參數(shù)在每次迭代中要加以修正，因此參數(shù)和輸入數(shù)據(jù)是有關(guān)的，這意味自適應(yīng)模型是非線性的，但習(xí)慣上也說是線性自適應(yīng)模型，這指的是被估計的參數(shù)向量是由一組觀察數(shù)據(jù)的線性組合進(jìn)行自適應(yīng)計算得出的[2-4]。

本文在最小二乘方法的基礎(chǔ)上，提出了基于格型實現(xiàn)的RLS算法（LRLS），該算法結(jié)構(gòu)是模塊式的多極格型結(jié)構(gòu)，RLS算法的結(jié)構(gòu)形式是橫向濾波器，因此LRLS算法可以根據(jù)需要簡單地增加一級或多級格形結(jié)構(gòu)而不影響原來的計算。LRLS算法的計算量和階數(shù)n成線性關(guān)系，而RLS算法計算量是隨n2增加的。LRLS降低了一般RLS算法的計算復(fù)雜度，收斂速度快，該算法的魯棒性和收斂性都比較好，是一種理想的自適應(yīng)遞推方法。

2 預(yù)報算法

2.1 RLS算法

設(shè)t時刻模型的輸入為X（t）=[x（t）,x（ t-1）,…,x（ t-n+1）]T，ε （t）是希望值y（t）與估計值y＾（t）之差，φ（t）= [φ1（t）,φ2（t）,…,φn（t）]T為最小二乘意義下的最優(yōu)解，則有：

估計誤差為

最小二乘的性能指標(biāo)是使J（t）最小，

式中λ為指數(shù)加權(quán)因子，由?J/?φ=0可以得出確定最小二乘意義下最優(yōu)解（t）的正規(guī)方程

其中n×n相關(guān)陣N（t）和n×1互相關(guān)陣M（t）分別為：

利用矩陣求逆引理[8]可求得（t），且在t=1,2,…過程中是遞推式進(jìn)行。

初始設(shè)定P（0）=δ-1I，（0）=0，I為單位陣（t=1,2,…）。

2.2 前向預(yù)報與后向預(yù)報

如果預(yù)報是根據(jù)t-1，…，t-n時刻的數(shù)據(jù)預(yù)報t時刻的值，可稱為前向預(yù)報，如果由t，t-1，…，t-n+1時刻的數(shù)據(jù)預(yù)報t-n時刻的值，則稱為后向預(yù)報。表1給出了RLS線性估計與前向、后向預(yù)報各種變量之間的對應(yīng)關(guān)系。

表1 RLS線性估計與前向、后向預(yù)報各種變量對照表Tab.1 The variables about RLS linear estimation,forward prediction and backward prediction

由表1中的對應(yīng)關(guān)系以及RLS算法公式可得前項預(yù)報的參數(shù)遞推公式。

與前向預(yù)報器類似，推導(dǎo)給出反向預(yù)報的參數(shù)遞推公式如下：

反向（后驗）預(yù)報誤差加權(quán)平方和最小值的遞推公式為

2.3 LRLS算法

2.3.1 階數(shù)更新

令標(biāo)量

可推得兩個按階數(shù)遞推關(guān)系式：

其中：Γf,n（t）和Γb,n（t）分別稱為正向和反向反射系數(shù)，進(jìn)一步可得正向和反向后驗誤差按階數(shù)遞推的公式如下：

以上二式可用信號流圖1表示。

圖1 LRLS預(yù)報誤差遞推結(jié)構(gòu)Fig.1 Recursive structure of predicted errors about LRLS algorithm

階數(shù)n是可變的，它取為0,1,…,N（N是預(yù)報階數(shù)的終值）。當(dāng)n=0時沒有對輸入數(shù)據(jù)作任何預(yù)報，這相當(dāng)于初始值

當(dāng)階數(shù)由零變到N可得多級最小二乘格型濾波器如圖1，所含格型結(jié)構(gòu)的級數(shù)即為濾波器的階數(shù)。

2.3.2 時間遞推

為了使得上述遞推依時間進(jìn)行自適應(yīng)遞推，須導(dǎo)出前面計算中所需的Δn-1（t）參數(shù)按時間遞推的公式，可推得Δn-1（t）按時間遞推的關(guān)系如下

由正向先驗誤差與正向后驗誤差的關(guān)系也可將上式寫為

其中，γ（n-1）

t為變換因子，對于正向線性自適應(yīng)預(yù)報有

對于反向線性自適應(yīng)預(yù)報有

3 船舶運動自適應(yīng)預(yù)報模型

3.1 AR預(yù)報模型

自回歸（AR）模型。

其中：p 為自回歸階數(shù)，φ1，φ2，…，φp為自回歸系數(shù)，εt為零均值的正態(tài)分布噪聲。

將AR模型變換成（27）式，則AR模型參數(shù)可由反射系數(shù)求得[9]。

其中l(wèi)=1,2…為預(yù)報步數(shù)。應(yīng)用AIC準(zhǔn)則確定階數(shù)p[9]，當(dāng)階數(shù)p確定，已知時，便可利用（28）、（29）式和（30）式對船舶運動進(jìn)行多步預(yù)報。

3.2 模型參數(shù)遞推估計

由于AR（n）模型類似于n階線性預(yù)報器，因此LRLS參數(shù)估計公式可應(yīng)用于AR模型。從t=1開始，按階數(shù)n=1,2…,N順序計算（N是最小二乘格形濾波器的最高階數(shù)）。

歸納得LRLS算法的初始化如下：

（1）在t=0時算法的初始化?。?/p>

（2）對每個t≥1的零階變量?。?/p>

4 仿真實例

仿真所用數(shù)據(jù)為某船在90°橫浪、135°斜浪和180°頂浪航行狀態(tài)下的橫搖運動時間序列，采樣頻率為2Hz，對未來15s（即l=30步）進(jìn)行預(yù)報，其預(yù)報曲線如圖2～4，擬合誤差收斂曲線如圖5所示。預(yù)報性能指標(biāo)用η表示：

圖2 頂浪（180°）橫搖運動預(yù)報曲線Fig.2 The curve of predicted results(head sea)

圖3 斜浪（135°）橫搖運動預(yù)報曲線Fig.3 The curve of predicted results(oblique sea)

圖4 橫浪（90°）橫搖運動預(yù)報曲線Fig.4 The curve of predicted results(beam sea)

圖5 擬合誤差收斂曲線Fig.5 Convergence curves of fitting errors

由表2可以得出，基于LRLS算法的自適應(yīng)AR預(yù)報模型預(yù)報效果要明顯好于RLS算法，在對斜浪（135°）的橫搖預(yù)報效果相對要好于頂浪（180°）與橫浪。隨著時間的增加，預(yù)報精度逐漸下降，尤其在橫浪工況下，橫搖預(yù)報結(jié)果的相位、幅值與實測值差別較大。由圖5可以看出，LRLS算法收斂速度較快，因而可在小樣本情況下實現(xiàn)自適應(yīng)遞推預(yù)報。

為進(jìn)一步驗證本文自適應(yīng)預(yù)報模型的預(yù)報效果，利用預(yù)報精度EPA[10]來進(jìn)一步對斜浪（135°）橫搖運動數(shù)據(jù)進(jìn)行分析來說明基于LRLS算法的預(yù)報效果與實時預(yù)報的可行性。

表2 基于RLS、LRLS算法的AR模型預(yù)報結(jié)果Tab.2 Prediction results about AR model based on RLS,LRLS

由表3可以得出，在相同工況下，對于不同的樣本數(shù)據(jù)，預(yù)報精度相差不大，隨著預(yù)報時間的增加，EPA隨預(yù)報步數(shù)逐漸減小，表明預(yù)報值逐漸偏離實測值，從而預(yù)報性能隨預(yù)報時間長度而下降，預(yù)報時間在10s時，精度仍可達(dá)0.85以上。在預(yù)報過程中，我們采用滑動窗法，即始終用200個數(shù)據(jù)遞推建立自回歸模型，預(yù)報未來15s的數(shù)據(jù)，在普通計算機上運行的時間是0.207s。遠(yuǎn)小于采樣時間0.5s。因此在下一個新數(shù)據(jù)到來之前，未來15s的數(shù)據(jù)已經(jīng)預(yù)報得到，隨著新數(shù)據(jù)的不斷到來，利用自適應(yīng)算法不斷修正得到新的自回歸模型進(jìn)行超前預(yù)報，從而保證所建立的自適應(yīng)預(yù)報模型始終是最優(yōu)的。

表3 預(yù)報精度EPATab.3 Prediction precision E

6 結(jié) 論

本文在RLS算法的基礎(chǔ)上，利用LRLS算法良好的魯棒性與收斂性，建立了基于LRLS算法的AR自適應(yīng)預(yù)報模型，并將其應(yīng)用到船舶運動極短期預(yù)報中。通過不同樣本數(shù)據(jù)的驗證分析，表明本文建立的自適應(yīng)預(yù)報模型可有效地提高船舶運動的預(yù)報精度，并驗證了實時預(yù)報的可行性，為工程實用化提供了理論依據(jù)。

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