梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)研究

王曉俠 劉見華

（1.海軍駐上海江南造船（集團(tuán)）有限責(zé)任公司軍事代表室 上海201913；

2.中國(guó)船舶及海洋工程設(shè)計(jì)研究院 上海 200011）

0 引 言

梁結(jié)構(gòu)是船體結(jié)構(gòu)的基本單元。船舶上存在大量的“梁系”，船體中的骨架如橫梁、肋骨、肋板、縱骨和縱桁等大多是細(xì)長(zhǎng)的型鋼或組合型材，這些相互連接的骨架系統(tǒng)被稱作“梁系”。如上甲板縱骨，在上甲板的骨架中，縱骨的尺寸最小，它穿過(guò)強(qiáng)橫梁并通過(guò)橫艙壁在縱向保持連續(xù)。在計(jì)算縱骨時(shí)認(rèn)為強(qiáng)橫梁有足夠的剛性支持縱骨，從而可考慮作為縱骨的剛性支座。縱骨在橫艙壁處則假定為剛性固定端，從而縱骨和強(qiáng)橫梁組成的梁系就可簡(jiǎn)化為一有限的具有剛性支座支撐的連續(xù)多跨梁。研究梁結(jié)構(gòu)的響應(yīng)有助于弄清船體內(nèi)結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量的傳遞，從而有助于弄清船體內(nèi)結(jié)構(gòu)噪聲的傳遞途徑。

一般在求解梁結(jié)構(gòu)的響應(yīng)時(shí)［1-2］，當(dāng)梁的具體邊界條件發(fā)生變化時(shí)，均需要重新建立方程進(jìn)行計(jì)算。本文引入邊界阻抗（boundary impedances）［3］的思想，采用邊界阻抗來(lái)統(tǒng)一描述梁端的邊界條件，并應(yīng)用彎曲波理論來(lái)分析求解歐拉梁結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)諧響應(yīng)。

1 邊界阻抗

下頁(yè)圖1所示具有左、右邊界阻抗分別為［ZL］和［ZR］的梁彎曲振動(dòng)方程為：

圖1 點(diǎn)激勵(lì)的有限梁模型

式中：E為楊氏彈性模數(shù)；I為梁剖面的二次慣性矩；ρ為密度；S為梁的橫剖面面積；F0為施加于梁上x0處的點(diǎn)力的幅值；ω為角頻率；W為位移。

位移W假定具有eiωt的簡(jiǎn)諧形式，因此W（x）根據(jù)波動(dòng)分析法可表示為：

為了采用邊界阻抗來(lái)描述邊界條件對(duì)梁振動(dòng)特性的影響，首先必須定義邊界阻抗。邊界阻抗是指將梁邊界的彎矩及剪力和梁邊界的運(yùn)動(dòng)函數(shù)（如位移和轉(zhuǎn)角）聯(lián)系起來(lái)的量。邊界處的彎矩M和剪力F采用位移的空間偏導(dǎo)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)表示為：

式（3）、（4）中：m1、m2、m3、m4和 f1、f2、f3、f4是泰勒級(jí)數(shù)系數(shù)。根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)知識(shí)，彎矩和剪力可表示為：

聯(lián)立式（3）～（6），可得到式（7）：

根據(jù)式（8）可求得彎矩和剪力為：

式（7）經(jīng)變換后得到：

式（9）可表示為：

式（11）即為邊界阻抗矩陣，可用來(lái)描述簡(jiǎn)單彎曲振動(dòng)梁邊界彎矩和剪力與邊界位移和轉(zhuǎn)角的關(guān)系。

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的邊界條件，如簡(jiǎn)支、自由、固支、彈性支座等，Zmw˙和 Zfθ˙均為 0，文獻(xiàn)［3］給出了標(biāo)準(zhǔn)邊界條件的邊界阻抗。

2 有限梁結(jié)構(gòu)的響應(yīng)

考慮一長(zhǎng)為L(zhǎng)，左、右邊界阻抗分別為［ZL］和［ZR］的均勻歐拉梁， 在梁上x0處施加簡(jiǎn)諧點(diǎn)力F0eiωtδ（x0）激勵(lì)，梁上任意一點(diǎn)x（0≤x≤L）處的彎曲位移為：

對(duì)于一均勻的多跨歐拉梁，如圖2所示。

圖2 受激勵(lì)的有限多跨梁模型

簡(jiǎn)諧點(diǎn)力 F0eiωtδ（x0）施加于 x=x0處，梁中間的簡(jiǎn)單支座提供橫向反力Rj。在梁上任意一點(diǎn)x（0≤x≤L）處的彎曲位移為：

式（13）、（14）中：k1=k，k2=ik，k3=-k，k4=-ik，k 為梁的彎曲波波數(shù)；an和bn為點(diǎn)響應(yīng)函數(shù)。

對(duì)于歐拉梁，a1=-1/4EIK3，a2=ia1，b1=-1/4EIK2和b2=-b1，如果 x＜x0，jm=-1；如果 x＞x0，jm=1。

式（13）中有 N+3 個(gè)未知數(shù)。 A1，A2，A3，A4，R1…RN-1，這些未知數(shù)通過(guò)梁兩端的邊界條件和中間支座的位移條件來(lái)求解。對(duì)于具有任意邊界條件的多跨梁，有：

在梁的左邊界，即x=0處：

利用式（5）和（6）來(lái)代替 M（0）和 F（0），可將式（16）寫為：

同理，在梁的右邊界，即經(jīng)x=L處，滿足：

聯(lián)立式（15）～（18），可得到 N+3 個(gè)方程，以矩陣形式表示如下：

上式中，矩陣［x］是未知數(shù)列陣：矩陣［α］和［F］見文獻(xiàn)［4］。

求解矩陣（19），可得到 N+3 個(gè)未知數(shù) A1，A2，A3，A4，R1…RN-1的值，從而根據(jù)式（13）可得到有限梁結(jié)構(gòu)在外力激勵(lì)下響應(yīng)的統(tǒng)一方程。

3 數(shù)值算例

為了說(shuō)明具體求解梁的響應(yīng)時(shí)對(duì)這些元素的處理方法，下面求解一長(zhǎng)為L(zhǎng)的單跨簡(jiǎn)支梁在x=L/4處受點(diǎn)力激勵(lì)的響應(yīng)。

對(duì)于兩端簡(jiǎn)支梁其彎曲位移形如式（12），兩端邊界阻抗為：

式（21）中，［ZL］和［ZR］為兩端簡(jiǎn)支梁的左端邊界阻抗矩陣和右端邊界阻抗矩陣。

根據(jù)式（19）和式（21），可得到如下四個(gè)方程：

在方程（23）和（25）中，因?yàn)?ZLfw˙和 ZRfw˙為 ∞，所以這個(gè)方程中左邊第二項(xiàng)和右邊第二項(xiàng)均可忽略，并且在式（23）中兩邊同時(shí)消去 ZLfw˙，式（25）中兩邊同時(shí)消去 ZRfw˙。 因此聯(lián)立式（22）和（25）可求解得到A1，A2，A3，A4，從而可根據(jù)式（12）求得兩端簡(jiǎn)支梁的響應(yīng)。

圖 3 為單跨簡(jiǎn)支梁在 x=L/4 處受點(diǎn)力 F0eiωtδ（x0）激勵(lì)的響應(yīng)。圖3中橫坐標(biāo)為無(wú)因次頻率kL，縱坐標(biāo)為無(wú)因次慣性（w¨/F0）ρhL，其中：h 為梁的高度，L 為梁的長(zhǎng)度。

圖3 單跨簡(jiǎn)支梁的無(wú)因次頻率－響應(yīng)曲線

4 結(jié) 論

本文采用波動(dòng)分析法研究了有限均勻歐拉梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)，引入邊界阻抗的思想來(lái)統(tǒng)一定義梁端的邊界條件。將梁端點(diǎn)的邊界阻抗定義為一個(gè)2×2的阻抗矩陣，以描述力和力矩以及位移和轉(zhuǎn)角的關(guān)系，建立了求解標(biāo)準(zhǔn)邊界條件下有限梁結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧外力激勵(lì)時(shí)響應(yīng)的統(tǒng)一方程，為分析計(jì)算具有標(biāo)準(zhǔn)邊界條件的梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)奠定基礎(chǔ)，從而可進(jìn)一步分析梁結(jié)構(gòu)的輸入功率流和傳遞功率流。

［1］WU C J，WHITE R G.Vibrational power transmission in a finite multi-supported beam［J］.Journal of Sound and Vibration，1995，181（1）：99-114.

［2］MEAD D J，YAMAN Y.The harmonic response of uniform beams on multiple linear supports：A flexural wave analysis［J］.Journal of Sound and Vibration，1990，141：465-484.

［3］PAN X，HANSEN C H.Effect of end conditions on the active control of beam vibration［J］.Journal of Sound and Vibration，1993，168（3）：429-448.

［4］劉見華.艦船結(jié)構(gòu)聲傳遞的阻抑機(jī)理及應(yīng)用研究［D］.上海：上海交通大學(xué)，2003.