基于采樣的非線性濾波算法比較＊

趙 侃 漆德寧

（解放軍陸軍軍官學院 合肥 230031）

1 引言

由于非線性問題的復雜性，非線性估計難度較大。進行非線性估計的的最優(yōu)方案需要得到其條件后驗概率的完整描述，然而這種精確的描述需要太大的計算量而無法實際應用［1］，為此人們提出了大量次優(yōu)的近似方法［2］，主要包括：對非線性函數(shù)進行近似，采用高階項忽略或逼近措施；用隨機采樣方法近似非線性分布的概率密度；用確定性采樣方法近似非線性分布；在非線性估計領域中使用遞推的擴展卡爾曼濾波（EKF）方法通過對非線性函數(shù)的Taylor展開式進行線性化截斷，從而將非線性問題轉化為線性問題。但EKF只適用于濾波誤差和預測誤差很小的情況。否則，濾波初期估計協(xié)方差下降太快會導致濾波不穩(wěn)定，甚至發(fā)散。

本文對近年來受到廣泛關注的粒子濾波（PF）算法［3］和通過確定性采樣點來近似非線性分布不敏卡爾曼濾波進行討論。并通過仿真證明對于非線性程度高、模型復雜系統(tǒng)的估計問題本文研究的濾波算法能獲得更精確的估計結果。

2 UKF算法

Julier提出了unscented卡爾曼濾波（UKF）算法［4～6］。其核心思想是UT變換，狀態(tài)的概率密度分布可通過能完全表述密度函數(shù)的均值和方差的有限個樣本點來描述，通過直接使用狀態(tài)或測量的非線性方程映射這些樣本點，加權求和得到更新的均值和方差，若將非線性方程采用泰勒級數(shù)展開式表示，可看出UKF方法將精確到與三階泰勒級數(shù)展開式相當?shù)木岛头讲睢?/p>

UKF算法流程如下：

Step1：初始化數(shù)據(jù)

Step2：通過非線性函數(shù)采樣得到k＋1時刻的sigma采樣點χk＋1，再由sigma點求取均值和方差。

Step3：計算量測采樣點Zk＋1點及其預測值、協(xié)方差矩陣P。

Step4：計算狀態(tài)向量和量測向量的協(xié)方差矩陣S。

Step5：計算濾波的增益值K。

Step6：計算狀態(tài)向量的估計值＾xk＋1和方差Pk＋1。

在卡爾曼框架內(nèi)應用UT技術就得到了UKF算法。

3 粒子濾波算法

于是，就有了一種表示真實后驗密度p（x0：k｜z1：k）的離散帶權近似表示，而那些關于數(shù)學期望的復雜計算（通常帶有復雜的積分運算）就可以簡化為和運算，如

基本PF算法的一個主要問題是粒子退化，即經(jīng)過幾次迭代之后，差不多所有的粒子都具有負的權值。重抽樣是解決退化問題的一個有效辦法，依靠重采樣，要求提議分布的設計盡可能逼近后驗概率密度函數(shù)，選擇和設計合適的次優(yōu)提議分布一直是粒子濾波的研究重點之一。下面介紹一種基于不敏卡爾曼濾波提議分布的粒子濾波算法。

4 無味粒子濾波

在粒子濾波中，重要性密度函數(shù)的選擇是關鍵技術之一，選擇好的重要性密度函數(shù)可以大大降低粒子數(shù)目，上一節(jié)所研究的基本粒子濾波算法的基礎上采用UKF濾波生成重要性密度函數(shù)，得到基于UKF的粒子濾波算法（UPF）［8～10］，其運算步驟如下

step2：For t＝1，2，…

遞歸地計算每個粒子的重要性權值［7］，將各個粒子的權值歸一化

對于高維變量的估計，粒子濾波需要大量的粒子，所需的計算量巨大。本節(jié)中將UKF算法和PF算法相融合，形成了UPF算法。該算法思想采用UKF算法生成粒子濾波的提議分布，目的是能夠融入當前觀測的信息，以改善濾波效果。

5 實驗比較與分析

本文對EKF、UKF、PF、UPF三種方法進行仿真實驗，仿真環(huán)境如下：采用如下的非線性非高斯系統(tǒng)模型：

這里v（k）服從Gamma（3，2）分布，觀測噪聲R（k）服從高斯分布 N（0，10－5），目標的初始狀態(tài)x（0）＝20，經(jīng)過100次蒙特卡羅仿真，每次仿真時間是60s，采樣間隔為1s。

在上述條件下，對各種濾波算法分別進行50次Monte Carlo仿真。為了清晰顯示各種濾波器的估計結果，圖1、圖2顯示了在不同初始誤差情況下，各種濾波算法對目標目標位置估計的誤差。

圖1 各算法的位置估計誤差（v（k）分別服從Gamma（3，2）

圖2 各算法的位置估計誤差（v（k）分別服從Gamma（9，6）

表1 濾波器運算效率比較

由圖1、圖2看出，各種濾波器都是漸進無偏的。UKF和PF，收斂速度最快、估計精度最高；EKF性能遜于UKF和PF，大約60s收斂到無偏位置，UPF由于粒子數(shù)不足，估計誤差曲線抖動較大；而UKF沒有出現(xiàn)濾波發(fā)散、丟失目標的現(xiàn)象。當增大初始誤差時，PF的收斂速度最快，UKF在起始階段濾波精度較低，但隨著時間增加其濾波精度與PF基本相同。

由表1可以看出，UKF運算效率最高；PF次之，UPF的運算時間約是UKF的5800倍。粒子濾波器已經(jīng)不能實時對目標進行跟蹤。

6 結語

綜合考慮各種非線性濾波器的收斂速度、運算效率等因素，在初始誤差較小的情況下，UKF比PF具有更高的跟蹤精度，收斂更快，而在初始誤差較大的情況下，PF收斂速度更快，這可以贏得更多的預警時間。PF和UPF運算量巨大，無法實時跟蹤目標，而且需要更多的變量存儲空間。在目標跟蹤應用環(huán)境下，如果比較準確，過程噪聲較小的模型，UKF已經(jīng)足夠精確，而PF在粒子數(shù)有限（本文中PF選用200個粒子）的情況下不能提高估計精度，因此，隨著計算機能力的不斷提高，PF將具有廣泛的應用空間。

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［2］Li X R，Jilkov V P.A Survey of Maneuvering Target Tracking Approximation Techniques for Nonlinear Filtering［J］.Proc.Of the SPIE，2004，5428：537-550.

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