基于分形損失理論的粗糙節(jié)理巖體中應(yīng)力波波速研究

李業(yè)學(xué)，謝向東，秦 麗

(1.襄樊學(xué)院 建筑工程學(xué)院，湖北 襄樊 410053;2.四川大學(xué) 水利水電學(xué)院，成都 610065)

爆破仍然是當(dāng)今世界在地下開(kāi)采過(guò)程中采用的最為廣泛的方法之一。爆炸所釋放的能量部分用于破巖，部分則以應(yīng)力波形式自爆源向外傳播，遭遇裂縫、節(jié)理等不連續(xù)結(jié)構(gòu)面后，將產(chǎn)生復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)，對(duì)工程體與地質(zhì)體的安全可能造成隱患，因而，為了達(dá)到防患于未然的目的，深入探討節(jié)理對(duì)應(yīng)力波傳播的影響規(guī)律就顯得很有必要。

許多研究者［1－5］探討了巖石特性和聲波波速的相互關(guān)系，發(fā)現(xiàn)這兩者密切相關(guān)，存在大量影響巖石中應(yīng)力波波速的因素，這些因素大致可以包括:巖石種類、密度、顆粒尺度和形狀、空隙率、各項(xiàng)異性、空隙水、裂隙斷層不連續(xù)結(jié)構(gòu)面、圍壓和溫度。其中，巖石中包含的節(jié)理是影響應(yīng)力波波速的主要因素之一。

學(xué)者們通過(guò)分析巖石中微裂隙、結(jié)構(gòu)等特點(diǎn)，探討了描述節(jié)理的各參量對(duì)應(yīng)力波波速的影響規(guī)律，比較有代表性的有:Oda［6－7］從巖體節(jié)理、裂隙的角度提出了用裂隙張量來(lái)表示巖體中裂隙的幾何形態(tài)(裂隙的密度、尺寸和方向)的方法，并建立了裂隙張量與波速之間的關(guān)系。文獻(xiàn)［8］提出了考慮裂紋寬度影響的波速計(jì)算方法。文獻(xiàn)［9］將節(jié)理劃分為微觀節(jié)理與宏觀節(jié)理，分別探討了它們對(duì)應(yīng)力波波速的影響規(guī)律，類似的研究還有［10－12］。研究者們已經(jīng)就節(jié)理對(duì)波速的影響這一問(wèn)題做了大量有意義的工作，并取得了豐碩的研究成果，但縱觀以上研究，他們的研究工作均基于節(jié)理面光滑這一假定，事實(shí)上，經(jīng)過(guò)億萬(wàn)年成巖過(guò)程形成的巖石，所包含的節(jié)理可以說(shuō)必然粗糙不平，為了研究成果更貼近工程實(shí)際，力學(xué)家們繼續(xù)探討了節(jié)理面幾何構(gòu)型對(duì)應(yīng)力波傳播的影響規(guī)律。比較有代表性的有，文獻(xiàn)［13］通過(guò)在巖石表面縱橫刻畫(huà)刻痕模擬節(jié)理面的粗糙性，探討了應(yīng)力波波速與節(jié)理面粗糙性的關(guān)系;但是，該文獻(xiàn)描述粗糙節(jié)理構(gòu)型參數(shù)(節(jié)理粗糙度系數(shù)FRC)是作者規(guī)定的，存在著大量經(jīng)驗(yàn)方法，這些在理論是上不完善的至少是不可接受的，隨著分形幾何的誕生，其幾何構(gòu)型通常采用分形維數(shù)來(lái)描述。

分形維數(shù)計(jì)算理論自分形幾何由Mandelbrot［14］創(chuàng)立以來(lái)，其研究在短短數(shù)十年間就取得了累累碩果，從三角形棱柱法［15］，投影覆蓋法［16］，立方體覆蓋法［17］直至改進(jìn)立方體覆蓋法［18］，計(jì)算方法在理論上可以說(shuō)已經(jīng)發(fā)展到了近乎完美的地步，但是維數(shù)計(jì)算過(guò)程中存在瓶頸—激光表面儀的使用。該儀器的掃描視野有限，相對(duì)巨大尺度的工程體經(jīng)常顯得無(wú)能為力，因而，學(xué)者們隨后探討了粗糙表面維數(shù)的間接計(jì)算法——圖像維數(shù)，如:二值化圖像維數(shù)［19］，灰度圖像維數(shù)［20］，在一定程度上緩解了這一困難，但問(wèn)題的關(guān)鍵在于現(xiàn)實(shí)生活中的圖像是真彩圖，二值化圖像與灰度圖像僅僅是真彩圖像的理想狀態(tài)與簡(jiǎn)化結(jié)果。因而，為了使研究成果更切合工程實(shí)際，探討真彩圖像的維數(shù)計(jì)算方法勢(shì)在必行。

本文擬定探討真彩圖像維數(shù)的計(jì)算方法，提出相應(yīng)計(jì)算理論，并基于損傷理論推導(dǎo)應(yīng)力波在節(jié)理巖石中傳播波速的解析解，建立圖像維數(shù)與應(yīng)力波波速間的關(guān)系。

1 應(yīng)力波穿越分形節(jié)理時(shí)的波速

在三維一般情況下，當(dāng)忽略體力影響時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程可表示為:

其中:Vi(i=X、Y、Z)為質(zhì)點(diǎn)速度，σmn(m，n=X、Y、Z)為應(yīng)力;ρ是體積密度。對(duì)于均勻，各向同性，線彈性介質(zhì)，可利用Lame形式的Hooke定律代入后消除一些參數(shù)，然而，眾所周知，通過(guò)億萬(wàn)年成巖過(guò)程形成的巖石內(nèi)部包含大量微孔隙，裂紋，夾雜甚至宏觀裂縫等一系列不連續(xù)結(jié)構(gòu)面，它不可能是一種理想的均質(zhì)各向同性體，顯然并不滿足Hooke定律的應(yīng)用條件，一條可行的措施是將包含節(jié)理的巖石材料從幾何構(gòu)型與物理性質(zhì)上進(jìn)行等效，使之滿足Hooke定律應(yīng)用條件，必須注意的是:在理論推導(dǎo)過(guò)程中，所有參數(shù)必須代之以對(duì)應(yīng)的等效物理參數(shù)?；谏鲜龅刃Ъ俣傻?

其中:μ、λ 為 lame常數(shù);εij(i，j=X，Y，Z)為應(yīng)變;ν為泊松比。uX、uY、uZ為對(duì)應(yīng)位移分量。

對(duì)式(2)中三個(gè)式子分別對(duì)X，Y，Z微分再相加則可得:

這是對(duì)體積膨脹Δ的線性雙曲型偏微分方程，表示體積膨脹Δ以波速Vp傳播，即:

上式也可寫(xiě)為:

其中:Vp為應(yīng)力波波速;Ed為有效彈模。

巖體內(nèi)包含大量不連續(xù)結(jié)構(gòu)面，或者說(shuō)巖石材料存在一定程度的損傷，且材料損傷演化具有分形性質(zhì)［16，17］，因而本文結(jié)合損傷力學(xué)原理與分形理論，給出了一種兼顧損傷細(xì)觀特征描述和宏觀損傷力學(xué)分析需要的分形損傷變量ω(d，δ)，可以表示為:

其中ω0是歐氏空間表觀損傷變量;d為節(jié)理面分形維數(shù);de為典型域的Euclidean維數(shù);δ是量測(cè)尺度。由于實(shí)際粗糙巖石表面在Euclidean空間中非二維的面，而是三維的體，故其歐式維數(shù)應(yīng)該是3，即de=3，所以有:

引入損傷變量后，有效動(dòng)態(tài)彈性模量可表示為:

其中Ed0為初始彈模。

將式(7)代入式(8)得:

將式(8)代入式(5)得:

依據(jù)上式，我們考慮兩種極限情況，其一，如果巖石材料處于理想的完整狀態(tài)，或者說(shuō)沒(méi)有出現(xiàn)損傷狀態(tài)，此時(shí)有:

另外，依據(jù)分形理論，當(dāng)材料內(nèi)沒(méi)有孔隙、裂紋等不連續(xù)結(jié)構(gòu)面存在時(shí)，此時(shí)的巖石材料在分形空間中的維數(shù)為3，即:

將式 (11)、式(12)代入式(10)可得:

分析式(13)可知，此式正是通過(guò)經(jīng)典彈性波理論導(dǎo)出的應(yīng)力波波速計(jì)算公式。

考慮另外一個(gè)極限情況，巖石完全開(kāi)裂，即發(fā)生了完全損傷，此時(shí)巖石損傷程度為:

將式(14)代入式(10)可得:

式(15)表明，應(yīng)力波不能穿越完全開(kāi)裂的巖石，這與實(shí)際情況是完全相符的。

通過(guò)極限狀態(tài)分析可知，本文基于分形損傷理論導(dǎo)出的應(yīng)力波波速的解析解是經(jīng)典理論公式的推廣，在實(shí)際工程中將更具有普適性，而在經(jīng)典彈性理論框架內(nèi)推導(dǎo)出的應(yīng)力波速計(jì)算公式是分形空間中波速公式在理想狀態(tài)下的特例。

2 參數(shù)研究

為了揭示波速隨著表面維數(shù)變化而改變的規(guī)律性，從式(10)不難看出，必須分別探討粗糙表面分形維數(shù)與表觀損傷變量的計(jì)算方法。以下各自給出上述兩參量(維數(shù)、表觀損傷變量)的計(jì)算過(guò)程，并由此導(dǎo)出考慮節(jié)理面分形效應(yīng)的應(yīng)力波波速。

2.1 節(jié)理面圖像分形維數(shù)計(jì)算

工程尺度上的節(jié)理大小通常大大超出激光表面儀的掃描視野，使得計(jì)算節(jié)理面維數(shù)存在很大困難，這往往可能成為探討粗糙節(jié)理對(duì)應(yīng)力波波速影響規(guī)律的瓶頸。為了克服上述困難，本文在描述節(jié)理粗糙度時(shí)采用節(jié)理面圖像維數(shù)替換“普通”節(jié)理面維數(shù)，以下探討真彩圖像維數(shù)計(jì)算的相關(guān)理論。

2.1.1 顏色表面的模型構(gòu)建

如圖1所示，RGB顏色模型是一個(gè)加色模型，多種基色的強(qiáng)度加在一起生成一種顏色。顏色單元體邊界中的每一個(gè)顏色點(diǎn)可表示一個(gè)三元組(R，G，B)，三分量R、G、B取值范圍均在區(qū)間［0，1］內(nèi)。依據(jù)這一模型，任何一種顏色 Cλ在 RGB坐標(biāo)中可表示為如下矢量:

圖1 顏色單元體Fig.1 Color units

一副圖象由多個(gè)象素點(diǎn)構(gòu)成，每一象素點(diǎn)對(duì)應(yīng)一種RGB模式的顏色，由于任何一種RGB顏色可表示為形如式(16)的矢量，所以，在每個(gè)象素點(diǎn)處均可構(gòu)建一個(gè)三維矢量，如:矢量 Aa、Bb、Cc、Dd(見(jiàn)圖 2)。連接各矢量的終端組成2～3維的粗糙曲面(如圖2)，即為所構(gòu)建的顏色表面。

2.1.2 真彩圖象分維計(jì)算方法

由上述的顏色表面構(gòu)建程序可以看到，每個(gè)象素點(diǎn)與該象素點(diǎn)R、G、B值所構(gòu)建的矢量都是以各自象素點(diǎn)所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，各矢量所在的坐標(biāo)空間不統(tǒng)一，因而有必要將所有矢量統(tǒng)一至同一坐標(biāo)系下。具體算法如下:

(1)對(duì)圖象所在平面進(jìn)行網(wǎng)格剖分，網(wǎng)格間距選為象素間距δ;

(2)建立如圖1所示坐標(biāo)系統(tǒng)，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在A點(diǎn)，其中，詳圖1中A、B、C、D四點(diǎn)在該坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為(iδ，jδ，0)、((i+1)δ，jδ，0)、(iδ，(j+1)δ，0)、((i+1)δ，(j+1)δ，0)，所以，顏色表面上對(duì)應(yīng)的 a、b、c、d 四點(diǎn)坐標(biāo)分別是:(Ra+iδ，Ga+jδ，Ba)、(Rb+(i+1)δ，Gb+jδ，Bb)、(Rc+iδ，Gc+(j+1)δ，Bc)、(Rd+(i+1)δ，Gd+(j+1)δ，Bd)。由此可得:顏色表面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)在統(tǒng)一坐標(biāo)系下可表示為:(R+i·δ，G+j·δ，B)(i=0，1，2…m，j=0，1，2…n)(m 與 n 分別為網(wǎng)格點(diǎn)的行列數(shù))。依據(jù)上述方法，我們獲取了粗糙顏色表面的三維坐標(biāo)。

圖2 顏色表面示意圖Fig.2 Schematic figure on color surface

2.1.3 圖像維數(shù)計(jì)算

由顏色表面構(gòu)建過(guò)程不難知道，顏色表面上的點(diǎn)分布不均勻，在分析該顏色表面的分形特性前，有必要利用泛克里金法對(duì)三維坐標(biāo)數(shù)據(jù)網(wǎng)格化?；谥芎陚ィ?1］提出的分形維數(shù)計(jì)算理論－立方體覆蓋法，計(jì)算其分形維數(shù)，該分維即為真彩圖象分形維數(shù)。具體過(guò)程如下:如圖3所示，在平面XOY上存在一正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格尺寸為δ，正方形的四個(gè)角點(diǎn)處分別對(duì)應(yīng)四個(gè)高度 h(i，j)，h(i，j+1)、h(i+1，j)和 h(i+1，j+1)(1≤i，j≤n－1，n為每個(gè)邊的量測(cè)點(diǎn)數(shù))。用邊長(zhǎng)為δ的立方體對(duì)粗糙顏色表面進(jìn)行覆蓋，計(jì)算覆蓋區(qū)域δ×δ內(nèi)的立方體個(gè)數(shù)，即在第i，j網(wǎng)格內(nèi)，覆蓋粗糙面的立方體個(gè)數(shù) Gi，j為:

式中INT為取整函數(shù)。

則覆蓋整個(gè)粗糙顏色表面所需的立方體總數(shù)為:

改變觀測(cè)尺度再次覆蓋粗糙顏色表面，計(jì)算覆蓋整個(gè)表面所需的立方體總數(shù)，若粗糙顏色表面具有分形性質(zhì)，按分形理論，立方體總數(shù)G(δ)與尺度δ之間存在如下關(guān)系:

式中D為粗糙顏色表面自相似分形維數(shù)。

圖3 立方體覆蓋法Fig.3 Cubic covering method

基于上述原理，本文計(jì)算了所有節(jié)理面圖像維數(shù)(見(jiàn)表2)，限于篇幅，本文僅給出了一組典型的巖石節(jié)理表面圖像及其對(duì)應(yīng)的粗糙顏色表面形貌圖、維數(shù)計(jì)算的log－log圖(見(jiàn)圖4)。其中δ指量測(cè)尺度;G是覆蓋盒子總數(shù)。

2.2 表觀損傷變量

依據(jù)損傷力學(xué)的相關(guān)理論，本文的表觀損傷變量采用缺陷體積與名義體積之比這一定義，即:

其中:V為缺陷體積，V0為名義體積，V為損傷后的體積。

對(duì)三維坐標(biāo)數(shù)據(jù)中的高度坐標(biāo)進(jìn)行縱橫方向搜索，找出高度值中的最大者與最小者，即:

圖4 7#巖石節(jié)理面圖像、對(duì)應(yīng)顏色表面圖、維數(shù)計(jì)算log-log圖Fig.4 Image of 7#rock joint surface，picture of corresponding color surface and bi－ logarithm plot used to computer dimension

其中p，q分別為縱橫方向上的掃描點(diǎn)數(shù)。

名義體積可表示為:

由掃描坐標(biāo)可求得巖石損傷后的體積:

將式(22)、式(23)代入式(20)可得:

2.3 應(yīng)力波波速的計(jì)算

在除預(yù)制裂紋外巖樣內(nèi)其它部分致密且均質(zhì)這一假定近似滿足的前提下，一組巖樣損傷程度不斷增加，可等效認(rèn)為是某一個(gè)巖樣損傷的動(dòng)態(tài)持續(xù)增大，因此存在一個(gè)沒(méi)有損傷或損傷度較小的初始狀態(tài)，取此狀態(tài)的彈性模量作為彈模的計(jì)算初始值。為了計(jì)算便利，并考慮計(jì)算精度要求，本文采用沒(méi)有預(yù)制裂紋的致密花崗巖的彈模，作為巖樣損傷演化過(guò)程中的初始值Ed0。其它計(jì)算參數(shù)(如:體積密度)通過(guò)常規(guī)試驗(yàn)測(cè)定，具體見(jiàn)表1，將表中參數(shù)代入公式(10)，即可求得考慮節(jié)理面圖像分形效應(yīng)后的應(yīng)力波波速(見(jiàn)表2)。

表1 波速計(jì)算參數(shù)表Tab.1 Table on parameter for computering wave speed

表2 圖像分形維數(shù)與應(yīng)力波波速Tab.2 Image dimension and velocity of stress wave

3 節(jié)理巖石的超聲波試驗(yàn)

為驗(yàn)證節(jié)理巖石中波速理論推導(dǎo)正確與否，本節(jié)通過(guò)節(jié)理巖石的超聲波試驗(yàn)，測(cè)定超聲波穿越分形節(jié)理的波速，建立波速與圖像維數(shù)間的關(guān)系，并與理論結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

本試驗(yàn)采用四川大學(xué)MTS實(shí)驗(yàn)室超聲波儀，該設(shè)備由超聲波信號(hào)激發(fā)探頭，信號(hào)接收探頭以及顯示波形的示波器組成，當(dāng)超聲波信號(hào)由激發(fā)探頭產(chǎn)生后，經(jīng)巖石介質(zhì)傳至預(yù)制節(jié)理(見(jiàn)圖5)，由于節(jié)理與巖石的波阻抗差異，此時(shí)超聲波將發(fā)生復(fù)雜的透反射現(xiàn)象，部分反射回發(fā)射端，部分超聲波穿越節(jié)理傳至巖樣的另一端，被接收探頭感知，由示波器采集并保持下來(lái)，限于篇幅，本文僅給出了巖樣的采集結(jié)果(見(jiàn)圖6)。分析保存的波形，測(cè)量巖樣的長(zhǎng)度，可分別求取超聲波傳播的時(shí)間與距離，由此計(jì)算超聲波在節(jié)理巖樣中的傳播速度，計(jì)算成果見(jiàn)表2。

圖5 超聲波儀示意圖Fig.5 Schematic figure on ultrasonic apparatus

圖6 超聲波波形Fig.6 Ultrasonic form

4 分析與討論

依據(jù)式(10)計(jì)算出的波速(見(jiàn)表2)，我們繪制了波速隨維數(shù)變化關(guān)系曲線圖(見(jiàn)圖7)，它揭示了應(yīng)力波穿越不同分形節(jié)理時(shí)的波速變化規(guī)律，并清楚顯示:

(1)隨著巖石節(jié)理面圖像分形維數(shù)增加，或者說(shuō)節(jié)理面的粗糙度增大，應(yīng)力波穿越該節(jié)理時(shí)的波速相應(yīng)減小。反之，如果節(jié)理面圖像維數(shù)減小，則應(yīng)力波波速隨之增大。兩者之間呈現(xiàn)顯著的非線性變化關(guān)系。這一規(guī)律能佐證兩點(diǎn):① 節(jié)理面與節(jié)理面真彩圖像具有一致的分形特性，即:節(jié)理面越粗糙，分形維數(shù)值越大，則節(jié)理面圖像從“顏色”角度體現(xiàn)的粗糙度越高，對(duì)應(yīng)的圖像分形維數(shù)也越大，這與文獻(xiàn)［20］的“節(jié)理面與其灰度圖具有一致的分形性”結(jié)論是一致的，所不同的是，本文研究的是真彩圖像分形特性，而文獻(xiàn)［20］僅探討了灰度圖的分形特性。② 對(duì)于兩參數(shù)間所表現(xiàn)的非線性關(guān)系，節(jié)理面的不規(guī)則性應(yīng)該“功不可沒(méi)”，至少可以認(rèn)為上述規(guī)律的出現(xiàn)部分是來(lái)自它的“貢獻(xiàn)”。

(2)盡管應(yīng)力波波速隨著維數(shù)增大持續(xù)減小，但波速隨維數(shù)減小的速率在不同的維數(shù)區(qū)間里而有所差異。當(dāng)圖像分維在區(qū)間［2.01203，2.01690］時(shí)，在節(jié)理面圖像維數(shù)增大過(guò)程中，應(yīng)力波波速減小速率相對(duì)較小;而當(dāng)維數(shù)大于2.01690且小于2.04116時(shí)，應(yīng)力波波速減小速率加快，約為上一區(qū)間的波速變化速率的6.7倍。隨著圖像維數(shù)的進(jìn)一步增大，當(dāng)處于區(qū)間［2.04116，2.04626］時(shí)，波速減小速率反而減緩。

(3)通過(guò)與文獻(xiàn)［13］的對(duì)比分析知，文獻(xiàn)［13］與本文得出了類似的研究結(jié)論，即:隨著節(jié)理面粗糙度的增加，應(yīng)力波波速相應(yīng)減小。但文獻(xiàn)［13］描述節(jié)理面粗糙度是文中作者自定義的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)——斷面粗糙系數(shù)(fracture roughness coefficient)，且該文中的結(jié)論為探索性的試驗(yàn)成果，而本文通過(guò)理論推導(dǎo)得出了應(yīng)力波在節(jié)理巖體中波速的解析解，將描述粗糙性的參數(shù)由圖像維數(shù)取代，克服了文獻(xiàn)［13］中的經(jīng)驗(yàn)主義問(wèn)題，并將試驗(yàn)研究結(jié)論上升到理論高度，是節(jié)理巖體中應(yīng)力波波速研究的一點(diǎn)改進(jìn)。

圖7 波速與圖像維數(shù)間的關(guān)系曲線圖Fig.7 Relation curve between wave velocity and image dimension

5 結(jié)論

綜合運(yùn)用分形幾何學(xué)、圖形圖像學(xué)、損傷力學(xué)的相關(guān)理論，導(dǎo)出節(jié)理面圖像維數(shù)與應(yīng)力波波速的解析解，并通過(guò)數(shù)值方法分析了圖像維數(shù)改變時(shí)穿越節(jié)理面應(yīng)力波波速的變化規(guī)律，主要結(jié)論包括:

(1)基于真彩圖像的像素點(diǎn)顏色可以表示為一個(gè)三維空間中矢量的基本假定，構(gòu)建了節(jié)理面圖像的“粗糙顏色表面”，依據(jù)維數(shù)計(jì)算原理——立方體覆蓋法，計(jì)算出該“顏色表面”的分形維數(shù)，此維數(shù)即為節(jié)理面圖像的分形維數(shù)。并通過(guò)實(shí)例對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明該圖像維數(shù)計(jì)算方法合理可行。

(2)采用分形損傷的基本原理，從構(gòu)型與參數(shù)等效角度推導(dǎo)了應(yīng)力波在分形節(jié)理巖石中傳播波速的解析解，從理論上建立了應(yīng)力波波速與節(jié)理面圖像維數(shù)間的定量關(guān)系，即:

(3)通過(guò)數(shù)值方法，探討了應(yīng)力波波速與節(jié)理面圖像維數(shù)之間的相互關(guān)系。結(jié)果表明:隨著節(jié)理面圖像維數(shù)增大，或者說(shuō)節(jié)理面的粗糙度增大，則在節(jié)理巖石中傳播波速隨之減小，兩者間呈現(xiàn)非線性變化關(guān)系，且在不同的維數(shù)區(qū)間，波速隨維數(shù)的變化速率存在差異，上述規(guī)律至少能說(shuō)明兩點(diǎn):① 節(jié)理面與其真彩圖像具有一致的分形性;② 節(jié)理面的不規(guī)則性是造成兩者間呈現(xiàn)非線性變化關(guān)系的重要因素之一。

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