一類帶譜參數(shù)的奇異Sturm-Liouville算子特征的漸近分析Ⅱ

羅佩芳 黃贊

(1．廣東培正學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程系，廣州 510830;2．華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640)

一類帶譜參數(shù)的奇異Sturm-Liouville算子特征的漸近分析Ⅱ

羅佩芳1黃贊2

(1．廣東培正學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程系，廣州 510830;2．華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640)

研究了一類具有轉(zhuǎn)換條件且在一個(gè)邊界條件中帶譜參數(shù)的奇異Sturm-Liouville問(wèn)題．將上述問(wèn)題的特征值與特征函數(shù)的漸近分析，轉(zhuǎn)化為考慮定義在適當(dāng)?shù)腍ilbert空間H中的一個(gè)線性算子A的特征值與特征函數(shù)的漸近分析．同時(shí)，推導(dǎo)出該奇異的Sturm-Liouville算子A的特征值與特征函數(shù)的漸近式。

譜參數(shù);轉(zhuǎn)換條件;特征值;特征函數(shù);漸近式

1 預(yù)備知識(shí)

近十幾年來(lái)，人們對(duì)邊界條件中帶譜參數(shù)的Sturm-Liouville(S-L)問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究，產(chǎn)生了許多理論成果［1－4］，Huang等［5］研究了一類具有轉(zhuǎn)換條件且在邊界條件中帶譜參數(shù)的奇異S-L算子的基本解的漸近分析。本文中，筆者將考慮一類具有轉(zhuǎn)換條件且在邊界條件中帶譜參數(shù)的奇異S-L算子的特征值與特征函數(shù)的漸近式。

設(shè)所研究的二階Sturm-Liouville方程為：

其中，I=［0，c)∪(c，+∞);q(x)∈L1(I，R);λ∈C 是譜參數(shù)。邊界條件為

帶譜參數(shù)的邊界條件為

其中：y1，y2是方程 －y″+q(x)y=0 的一組線性無(wú)關(guān)解;［y，yl］(∞)(l=1，2)是 Lagrange雙線性型;［y1，y2］(∞)= －1(p=1)。文中，假定S-L問(wèn)題在奇異的端點(diǎn)+∞點(diǎn)為極限圓型［4－6］，轉(zhuǎn)換條件為

本文中奇異的S-L算子A的生成以及內(nèi)積的定義見(jiàn)文獻(xiàn)［6］。

引理1［7］邊值問(wèn)題(1)－(5)的特征值與算子A的特征值相同，它們的特征函數(shù)是算子A相應(yīng)的特征函數(shù)的第一個(gè)分量。

引理2［7］線性算子A在H中是自伴的。

引理3［7］邊值問(wèn)題(1)－(5)的特征值等價(jià)于整函數(shù)w(λ)的零點(diǎn)。

引理4［5］設(shè)λ=s2，s=σ+it，則當(dāng)|λ|→∞時(shí)，下面的漸近式在x∈I上一致地成立(k=0，1)。

1)當(dāng)α'2≠0時(shí)，

引理6［8］(Rouché定理)設(shè)是一條圍線，函數(shù)f(z)及滿足條件：1)它們?cè)贑的內(nèi)部均解析，且連續(xù)到C;2)在C上，|f(z)|＞|φ(z)|，則函數(shù)f(z)與f(z)+φ(z)在C的內(nèi)部有同樣多(幾級(jí)算作幾個(gè))的零點(diǎn)，即 N(f+φ，C)=N(f，C)。

2 特征值的漸近式

定理1 設(shè)λ=s2，s=σ+it，邊值問(wèn)題 (1) － (5)有且僅有可數(shù)個(gè)特征值，且當(dāng)n→∞，b→∞時(shí)有如下的漸近式。

情形1：若 α'2≠0，β'2≠0，則

對(duì)于其它情形可以用類似的方法求得。

3 特征函數(shù)的漸近式

其他的漸近式可以類似地求得。

［1］AKDOˇGAN Z，DEMIRCI M，MUKHTAROV O Sh．Discontinuous Sturm-Liouville problems with eigenparameter-dependent boundary and transmissions conditions［J］．Acta Applicandae Mathematacae，2005，86：329 －344．

［2］Kadakal M，Mukhtarov O Sh．Discontinuous Sturm-Liouville problems containing eigenparameter in the boundary conditions［J］．Acta Mathematica Sinica，2006，22：1519 －1528．

［3］Altinisik N，Kadakal．Eigenvalues and eigenfunctions of discontinuous Sturm-Liouville problems with eigenparameter-dependent boundary conditions［J］．Acta Mathematica Hungarica，2004，102：159 －175．

［4］Kong Qingkai，Wu Hongyou，Zettl A．Multiplicity of Sturm-Liouville eigenvalues［J］．Journal of Computational and Applied Mathematics，2004，171：297－300．

［5］黃贊，羅佩芳，沈京虎．一類帶譜參數(shù)的奇異Sturm-Liouville算子特征的漸近分析Ⅰ［J］．延邊大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，35(3)：198－202．

［6］曹之江．常微分算子［M］．上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1987：59－60．

［7］黃贊，羅佩芳．一類帶譜參數(shù)的奇異Sturm-Liouville算子Ⅰ［J］．肇慶學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，29(2)：9－12．

［8］鐘玉泉．復(fù)變函數(shù)論［M］．北京：高等教育出版社，1979：256－257．

Asymptotic Analysis of a Class of Singular Sturm-Liouville Operators with Spectral-parameterⅡ

LUO Pei-fang1HUANG Zan2
(1．Department of Computer Science and Engineering，Guangdong Peizheng College，Guangzhou 510830，China;2．School of Mechanical＆ Automotive Engineering，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China)

This paper investigates a class of singular Sturm-Liouville problems with transmission conditions and spectral-parameter in one boundary condition，defining a self-adjoint linear operator A in a suitable Hilbert space H such that the eigenvalues and eigenfunctions of such problem are transformed into those of operator A，meanwhile，it also deduces the asymptotic formulae of the eigenvalues and eigenfunctions of the singular Sturm-Liouville operator A．

spectral-parameter;transmission conditions;eigenvalues;eigenfunctions;asymptotic formulae

O 175.3

A

1009－0312(2012)01－0014－05

2011－04－19

廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (5012285);廣東培正學(xué)院青年項(xiàng)目 (11pzxmyb039)。

羅佩芳 (1980—)，女，黑龍江哈爾濱人，講師，碩士，主要從事偏微分方程數(shù)值解研究。