非高斯相關(guān)雜波背景下雷達(dá)目標(biāo)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)方法

馮 訊 王首勇 萬 洋 朱曉波

（空軍雷達(dá)學(xué)院雷達(dá)兵器運(yùn)用工程軍隊(duì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430019）

引 言

統(tǒng)計(jì)檢測(cè)一直是雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)應(yīng)用的重要方法，其核心是基于雜波的統(tǒng)計(jì)分布建立似然比檢測(cè)模型。實(shí)際中，地、海雜波常呈現(xiàn)顯著非高斯統(tǒng)計(jì)特性與相關(guān)性［1－2］，球不變隨機(jī)過程（SIRP）是一種較好的描述雷達(dá)非高斯相關(guān)雜波的分布模型［3－5］。該過程可表示為一個(gè)零均值高斯隨機(jī)過程（稱為散斑分量）和一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量（稱為紋理分量）的乘積，紋理分量的統(tǒng)計(jì)分布決定了SIRP的統(tǒng)計(jì)分布。但是除特定值外，SIRP的概率密度函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜甚至無閉合表達(dá)式，因此難以建立統(tǒng)計(jì)檢測(cè)模型或模型十分復(fù)雜，不易實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)［6］針對(duì)適用于描述海雜波統(tǒng)計(jì)特性的紋理分量為Gamma分布的SIRP，給出了確定信號(hào)幅度和相位時(shí)的GLR檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量，該檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量必需計(jì)算復(fù)雜的貝塞爾函數(shù)。文獻(xiàn)［7］針對(duì)適用于描述陸地雜波統(tǒng)計(jì)特性的紋理分量為G－Meijer分布的SIRP，給出了確定信號(hào)幅度和相位時(shí)的GLR檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量，但該檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量同樣需計(jì)算復(fù)雜的無窮積分。文獻(xiàn)［8］以能較好描述地、海等復(fù)雜雜波環(huán)境的SG－Alpha穩(wěn)定分布（紋理分量為Alpha穩(wěn)定分布的SIRP）為背景，研究了確定信號(hào)幅度時(shí)的GLR檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量，但由于在該分布條件下信號(hào)幅度的極大似然估計(jì)量不再是一致估計(jì)量，因此無法得到好的檢測(cè)性能［8］。文獻(xiàn)［9］利用極大似然估計(jì)方法估計(jì)目標(biāo)的幅度和相位，然后通過雜波數(shù)據(jù)估計(jì)紋理分量的概率密度，導(dǎo)出了一種紋理分量統(tǒng)計(jì)分布無法確定時(shí)的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量，但該檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量須采用大量鄰近距離單元的純雜波數(shù)據(jù)對(duì)紋理分量的概率密度進(jìn)行逼近。此外，在非高斯相關(guān)雜波背景下，如果信號(hào)或雜波參數(shù)為隨機(jī)變量（實(shí)際情況如此），建立似然比檢測(cè)模型更加困難，甚至無法實(shí)現(xiàn)，限制了似然比統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的應(yīng)用。

粒子濾波是一種基于蒙特卡洛和遞推貝葉斯估計(jì)的濾波方法，適應(yīng)于非線性系統(tǒng)、非高斯環(huán)境下的系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問題［10－11］。將該理論應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)檢測(cè)將能較好地解決似然比檢測(cè)在非高斯條件下難以構(gòu)造檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量的問題，但目前這方面的研究還處于起步階段。2003年Yvo Boers［12］首次提出將粒子濾波運(yùn)用于統(tǒng)計(jì)檢測(cè)中的思想，但只針對(duì)高斯模型對(duì)此結(jié)論進(jìn)行簡單論證，還需深入研究。本文從實(shí)際出發(fā)，考慮雜波和信號(hào)參數(shù)為隨機(jī)變量，應(yīng)用粒子濾波方法，依據(jù)參數(shù)的概率分布函數(shù)抽取粒子，將復(fù)雜積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求和運(yùn)算求取似然函數(shù)，給出了似然比檢測(cè)的通用模型。最后運(yùn)用能較好描述復(fù)雜地、海雜波的非高斯特性和相關(guān)特性的SG－Alpha穩(wěn)定分布［8］作為雜波模型通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文方法的有效性。

1 理論分析

1.1 基本粒子濾波算法

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

觀測(cè)方程為

式中：xk表示k時(shí)刻n維狀態(tài)矢量；zk表示k時(shí)刻m維觀測(cè)矢量；uk、vk分別為過程噪聲和觀測(cè)噪聲矢量。濾波的目的是根據(jù)觀測(cè)序列z1：k＝ ｛z1，…，zk｝估計(jì)狀態(tài)xk.狀態(tài)方程對(duì)應(yīng)的是系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度p（xk｜xk－1），觀測(cè)方程對(duì)應(yīng)的是似然函數(shù)p（zk｜xk）。xk的最小均方誤差估計(jì)為xk的條件均值。即

式中p（xk｜z1：k）為xk的條件概率數(shù)學(xué)期望。由于上述積分通常不易求出，粒子濾波的基本思想是假設(shè)能夠從后驗(yàn)概率密度為p（xk｜z1：k）的xk中獨(dú)立抽取Ns個(gè)粒子｛，i＝1，…，Ns｝，則xk的條件期望可用粒子的均值進(jìn)行逼近，即

一般不易直接根據(jù)后驗(yàn)概率p（xk｜z1：k）抽取粒子。通?？山柚阎闹匾苑植己瘮?shù)π（xk｜z1：k）從中進(jìn)行抽樣，這時(shí)狀態(tài)的估計(jì)值為

1.2 基于粒子濾波的似然比檢測(cè)模型

雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)可表示為以下二元假設(shè)檢驗(yàn)問題：

式中：為觀測(cè)數(shù)據(jù)序列；a、φ分別為信號(hào)幅度和初相，通常a服從瑞利分布，φ在［0，2π］上服從均勻分布，且相互獨(dú)立；fd為目標(biāo)多普勒頻率；為雜波，將式（7）寫為矢量形式

式中：

式中：τ為一個(gè)隨機(jī)變量（稱為紋理分量）；是協(xié)方差矩陣為M＝E（）的N維零均值復(fù)高斯隨機(jī)矢量（稱為散斑分量），且τ與獨(dú)立。似然比檢測(cè)就是當(dāng)

時(shí)判H1.式中

為 H1條件下的似然函數(shù)，p（a，φ，τ）為隨機(jī)變量a、φ、τ的聯(lián)合概率密度，通常a、φ、τ為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，因此p（a，φ，τ）＝p（a）p（φ）p（τ），其中p（a）、p（φ）、p（τ）分別表示a、φ、τ的概率密度，則

式（10）中

為H0條件下的似然函數(shù)，λ為檢測(cè)門限，依據(jù)給定的虛警概率確定。需要說明的是，當(dāng)為非高斯分布時(shí)，通常很難導(dǎo)出的具體表達(dá)式，限制了似然比統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的應(yīng)用。為此本文基于粒子濾波方法，建立似然比統(tǒng)計(jì)檢測(cè)模型，將式（12）、（13）代入式（10）得到

式中Ea、Eφ、Eτ分別表示對(duì)a、φ和τ求數(shù)學(xué)期望，依據(jù)a、φ、τ的概率分布抽取粒子ai、φj、τk，則基于粒子濾波的似然比為

取粒子濾波運(yùn)算中的權(quán)值wijk＝p（~z｜ai，φj，τk），wk＝p（~z｜τk），則式（15）可寫為

式（16）即為基于粒子濾波的似然比統(tǒng)計(jì)檢測(cè)模型。依據(jù)文獻(xiàn)［12］可得

將式（8）代入式（17）后化簡得到

式（18）表明，在粒子數(shù)Ns無窮大時(shí)基于粒子濾波的似然函數(shù)與真實(shí)似然函數(shù)是相等的。在實(shí)際中由于粒子數(shù)通常是有限的，基于粒子濾波的似然函數(shù)可能會(huì)偏離真實(shí)似然函數(shù)，導(dǎo)致檢測(cè)性能的下降。為避免此問題的發(fā)生，本文利用重采樣方法［8］，計(jì)算粒子權(quán)值后進(jìn)行重采樣，利用重采樣后的粒子重新計(jì)算權(quán)值，使基于粒子濾波的似然比與真實(shí)似然比的差異降低?；诹Ｗ訛V波的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)實(shí)現(xiàn)如下：

Step 1 根據(jù)信號(hào)幅度和初相以及紋理參數(shù)τ的概率分布分別抽取粒子 ｛ai，φj，τk｝i，j，k＝1，2，…；

Step 2 根據(jù)雜波的概率分布函數(shù)計(jì)算權(quán)值wijk和wk，i，j，k＝1，2，…，Ns，權(quán)值歸一化為

Step 3 對(duì)粒子進(jìn)行重采樣得到，i，j，k＝1，2，…，Ns；

Step 4 由重采樣后的粒子重新計(jì)算似然權(quán)值＝p（｜），＝p（z~｜）。

最后根據(jù)式（16）計(jì)算似然比，并進(jìn)行判決。

1.3 基于SG－Alpha分布的粒子濾波似然比檢測(cè)模型

為說明本文方法的優(yōu)勢(shì)，以SG－Alpha穩(wěn)定分布作為非高斯相關(guān)雜波模型。SG－Alpha穩(wěn)定分布隨機(jī)過程是一類常用的SIRP，已經(jīng)證明，該分布能夠較好地描述實(shí)際中的非高斯地、海雜波［8］，為此本文應(yīng)用粒子濾波方法給出在該分布下的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)模型。SIRP的概率密度函數(shù)［9］均可寫為

依據(jù)粒子濾波原理和式（19），式（16）中權(quán)值wk可寫為

權(quán)值wijk可寫為

SG－Alpha穩(wěn)定分布雜波的紋理分量τ是服從特征指數(shù)為α／2，分散系數(shù)為cos2（πα／4），位置參數(shù)為0，偏移系數(shù)為1的Alpha穩(wěn)定隨機(jī)變量。特征指數(shù)α越小，雜波幅度的概率密度拖尾越重，“雜波尖峰”特征越明顯，非高斯性越強(qiáng)。根據(jù)信號(hào)參數(shù)a，φ和雜波的紋理分量τ的概率分布對(duì)其進(jìn)行抽樣得到粒子｛ai，φj，，依據(jù)上節(jié)基于粒子濾波的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)實(shí)現(xiàn)步驟進(jìn)行重采樣，并根據(jù)式（20）和（21）計(jì)算權(quán)值＝p（~z｜ai，φj，τk）＝p｜τk），代入式（16），得到SG－Alpha穩(wěn)定分布背景下基于粒子濾波的似然比檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量

在計(jì)算檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量時(shí)需要估計(jì)協(xié)方差矩陣M，本文采用文獻(xiàn)［8］中共變矩陣法在H0條件下進(jìn)行估計(jì)。實(shí)際中，式（7）的多普勒頻率fd是未知的，可應(yīng)用覆蓋目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的一組fd，利用下式作為檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量：

對(duì)于其它一些能夠描述非高斯相關(guān)雜波統(tǒng)計(jì)和分布特性的SIRP，如相關(guān)K分布、相關(guān)韋布爾分布等，在信號(hào)幅度和相位隨機(jī)時(shí)建立似然比檢測(cè)模型均需要計(jì)算復(fù)雜的重積分，通常無法導(dǎo)出檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量。本文提出的基于粒子濾波的統(tǒng)計(jì)檢測(cè)方法是一種通用檢測(cè)模型，只需已知雜波的分布函數(shù)以及信號(hào)幅度與相位的分布特性即可建立檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量，無需計(jì)算重積分，因此結(jié)構(gòu)簡單實(shí)用。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

2.1 高斯相關(guān)雜波背景下仿真分析

為驗(yàn)證高斯相關(guān)雜波背景下基于粒子濾波似然比檢測(cè)方法的性能，與傳統(tǒng)似然比檢測(cè)方法進(jìn)行仿真比較。仿真中設(shè)定式（7）中信號(hào)幅度a服從瑞利分布，初相φ服從［0，2π］上的均勻分布，粒子數(shù)Ns＝500.雷達(dá)相參脈沖積累數(shù)N為8，脈沖重復(fù)頻率為1 000Hz，虛警概率設(shè)定為Pf＝10－2、10－3、10－4，檢測(cè)門限根據(jù)給定的虛警概率求得。假設(shè)多普勒頻率已知，分別位于主雜波區(qū)和非主雜波區(qū)兩種情況。根據(jù)復(fù)高斯聯(lián)合概率密度，應(yīng)用式（16）并化簡得到高斯相關(guān)雜波背景下基于粒子濾波方法的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為

式中：是根據(jù)復(fù)高斯聯(lián)合概率密度得到的粒子權(quán)值；M~v表示復(fù)高斯隨機(jī)矢量的協(xié)方差矩陣。傳統(tǒng)似然比檢測(cè)在高斯相關(guān)雜波背景下，信號(hào)參數(shù)未知時(shí)的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量［9］為

圖3給出了目標(biāo)多普勒頻率處于主雜波區(qū)情況下的檢測(cè)曲線。從圖中可以看出，在不同Pf情況下，本文方法優(yōu)于傳統(tǒng)方法。當(dāng)Pf＝10－4，Pd＝0.5時(shí)，本文方法比傳統(tǒng)方法信雜比改善了約0.4dB.

圖3 高斯相關(guān)雜波條件下本文方法與傳統(tǒng)方法檢測(cè)性能比較（fd＝－125Hz）

2.2 SG－Alpha穩(wěn)定分布雜波背景下仿真分析

為檢驗(yàn)在非高斯相關(guān)雜波條件下基于粒子濾波似然比檢測(cè)方法的性能，分別在不同參數(shù)的SG－Alpha穩(wěn)定分布雜波條件下應(yīng)用本文方法（式（22））與傳統(tǒng)方法（式（25））進(jìn)行比較。根據(jù)式（9）產(chǎn)生復(fù)SG－Alpha穩(wěn)定分布雜波數(shù)據(jù)，其中分別取α＝1.95，1.80，1.70.雷達(dá)相參脈沖積累數(shù)N設(shè)為8，脈沖重復(fù)頻率為1 000Hz，粒子數(shù)Ns＝500，虛警概率Pf＝10－3，檢測(cè)門限根據(jù)給定的虛警概率求得。由于Alpha穩(wěn)定分布隨機(jī)變量不存在二階矩，所以傳統(tǒng)基于二階統(tǒng)計(jì)量的功率譜估計(jì)不再適用。因此，根據(jù)文獻(xiàn)［14］計(jì)算雜波的共變譜，并采用以下廣義信雜比［16］：

式中：（n）＝aexp｛j（2πfdn＋φ）｝；γ為Alpha穩(wěn)定分布隨機(jī)變量的分散系數(shù)，依據(jù)文獻(xiàn)［16］中的方法估計(jì)得到。圖4所示為α＝1.70時(shí)SG－Alpha穩(wěn)定分布雜波的共變譜曲線（20次獨(dú)立仿真的平均）。取目標(biāo)多普勒頻率fd分別為－125Hz和125Hz.圖5給出了目標(biāo)多普勒頻率處于非主雜波區(qū)時(shí)，兩種方法在不同雜波參數(shù)條件下的檢測(cè)曲線。從圖中可以看出，本文方法檢測(cè)性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)方法，當(dāng)Pd＝0.5，α分別為1.95和1.80時(shí)，本文方法比傳統(tǒng)方法的信雜比分別改善了約2.5dB、6.5dB.當(dāng)α為1.70時(shí)，傳統(tǒng)方法失效。α值越小（雜波非高斯性越強(qiáng)）時(shí)，本文方法的信雜比改善越大。

圖6給出了目標(biāo)多普勒頻率處于主雜波區(qū)時(shí)，兩種方法在不同雜波參數(shù)條件下的檢測(cè)曲線。從中可以看出，本文方法檢測(cè)性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)方法，當(dāng)Pd＝0.5，α為1.95時(shí)，本文方法比傳統(tǒng)方法的信雜比分別改善了約2.5dB.α分別為1.80和1.70時(shí)，傳統(tǒng)方法失效。

2.3 采樣粒子數(shù)對(duì)本文算法的影響

為分析采樣粒子數(shù)對(duì)本文算法的影響，在高斯雜波條件下應(yīng)用本文方法（式（24））在不同采樣粒子數(shù)條件下對(duì)檢測(cè)性能進(jìn)行仿真。設(shè)定粒子數(shù)Ns分別取50，100，200，500，1 000.圖7所示為不同采樣粒子數(shù)時(shí)本文方法的檢測(cè)性能曲線。從圖7可以看出當(dāng)采樣粒子數(shù)超過200后本文方法的檢測(cè)性能變化不大，這表明基于粒子濾波的似然比檢測(cè)方法并不要求過多的粒子數(shù)。

圖7 采樣粒子數(shù)對(duì)檢測(cè)性能的影響（fd ＝ －125Hz，Pf ＝10－3）

3 結(jié) 論

在實(shí)際中，由于雷達(dá)通常面臨非高斯相關(guān)雜波，導(dǎo)致傳統(tǒng)檢測(cè)方法的檢測(cè)性能顯著降低，甚至失效。但在非高斯相關(guān)雜波條件下，通常無法建立統(tǒng)計(jì)檢測(cè)模型。本文應(yīng)用粒子濾波方法給出了非高斯相關(guān)雜波、隨機(jī)信號(hào)參數(shù)條件下的似然比檢測(cè)通用模型。該模型計(jì)算簡單，適合工程應(yīng)用。此外，基于能較好描述雷達(dá)雜波統(tǒng)計(jì)及相關(guān)特性的SG－Alpha穩(wěn)定分布，給出了似然比檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量，通過仿真與傳統(tǒng)的似然比檢測(cè)方法的性能進(jìn)行比較，結(jié)果表明，在非高斯相關(guān)雜波情況下，本文方法的檢測(cè)性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的檢測(cè)方法。

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