廣義向量擬似變分不等式的通有穩(wěn)定性和本質(zhì)連通區(qū)

李盛強(qiáng)

(重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331)

本質(zhì)區(qū)在穩(wěn)定性的研究中是一個(gè)重要的工具。1950年，F(xiàn)ort［1］首先提出從緊度量空間映射到自身的一個(gè)連續(xù)映射的本質(zhì)不動(dòng)點(diǎn)的概念，并且證明了任意的映射都可以大致接近于一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)都是本質(zhì)的映射。由于即使是恒同映射也不一定存在本質(zhì)不動(dòng)點(diǎn)，1952年Kinoshita［2］提出了不動(dòng)點(diǎn)集本質(zhì)區(qū)的概念，并且證明了從Hilbert空間映射到自身的任意連續(xù)映射都至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)集的本質(zhì)區(qū)。受到以上研究成果的啟發(fā)，Wu和Jiang［3］引入了有限博弈的本質(zhì)Nash均衡點(diǎn)的概念，并證明了任意的有限博弈大致接近于Nash均衡點(diǎn)是本質(zhì)的博弈。之后，Jiang［4］引入了Nash均衡點(diǎn)集本質(zhì)區(qū)的概念，并且證明了每個(gè)有限博弈都存在至少1個(gè)Nash均衡點(diǎn)集的本質(zhì)區(qū)。1986年Kohlberg和Mertens［5］提出對(duì)于有限博弈，一個(gè)較為滿意的解的概念應(yīng)該稱為Nash均衡點(diǎn)集的本質(zhì)區(qū)，并且證明對(duì)于任何有限博弈都存在Nash均衡點(diǎn)集的有限區(qū)，其中至少1個(gè)區(qū)是本質(zhì)的。1990年Hillas［6］提出了從另一種方法研究穩(wěn)定性，這與傳統(tǒng)的從Nash均衡點(diǎn)的擾動(dòng)問題研究穩(wěn)定性不同。近些年來，Yu、Yang、Luo、Xiang、Isac、Lin等將本質(zhì)區(qū)的概念引入各種非線性問題中，如Ky Fan問題、均衡問題、變分不等式問題以及向量?jī)?yōu)化問題等。

近些年來，變分不等式的理論是研究非線性分析的一個(gè)重要方向。1980年以來，關(guān)于廣義向量擬似變分不等式解的存在性已經(jīng)有相當(dāng)多的研究成果，但是廣義擬似變分不等式的解不一定唯一，所以該問題的穩(wěn)定性研究就顯得很重要。傳統(tǒng)研究穩(wěn)定性的方法是對(duì)問題進(jìn)行參數(shù)擾動(dòng)后求解集對(duì)參數(shù)的各種連續(xù)性結(jié)果，即研究解集映射S(p)的連續(xù)性。1999年，俞建［7］利用Fort、吳文俊與江嘉禾所提出了本質(zhì)解的概念與Mertens提出的本質(zhì)連通分支的概念，研究了擬變分不等式的解集的穩(wěn)定性，證明了這類擬變分不等式的解集具有通有穩(wěn)定性且本質(zhì)連通區(qū)是存在的。羅群、鄧曉紅［8］研究了廣義向量似變分不等式解集的通有穩(wěn)定性。2007年，陳建塵、龔循華［9］提出了廣義擬變分不等式解集的穩(wěn)定性及本質(zhì)連通區(qū)的存在性。本文綜合了近些年來在變分不等式通有穩(wěn)定性及本質(zhì)連通區(qū)方面的研究方法，研究了更為廣泛的廣義向量擬似變分不等式問題的通有穩(wěn)定性及本質(zhì)連通區(qū)，并且更進(jìn)一步地研究了本質(zhì)連通區(qū)的穩(wěn)定性。

1 預(yù)備知識(shí)及定義

廣義向量擬似變分不等式(GVQVLI):設(shè)E是Banach空間，X、Y是2個(gè)Hausdorff拓?fù)渚€性空間，K是X的非空閉凸子集，T:K→2L(E，Y)，S:K→2K，η:K×K→E，尋找，使得對(duì)任意的，存在，滿足

定義1 稱Q?X是X中的一個(gè)剩余集，若Q包含一列X中稠密開集的交。

引理1 考慮GVQVLI(S，T，η)問題，假設(shè)滿足條件:① S是K上連續(xù)緊凸值映射，且對(duì)任意x∈K有intS(x)≠?;②T在K上是上半連續(xù)緊凸值映射;③ η(·，·)在K×K上是連續(xù)的;④ 固定x∈K，η(·，x)是仿射的;⑤ 對(duì)于任意x∈K，如果x∈intG(x)，則η(x，x)=0。則廣義向量擬似變分不等式有解。

引理2 設(shè)X是度量空間，A，An∈K(X)滿足對(duì)任意的O?A，存在自然數(shù)N，使得對(duì)任意的n＞N，都有An?O，則任一滿足xn∈An的序列 { xn}必有聚點(diǎn)x*∈A。

備注1 設(shè)(X，d)為度量空間，記K(X)表示X的所有非空緊子集全體，CK(X)表示X的所有非空緊凸集全體。空間 K(X)和 CK(X)的拓?fù)溆?Hausdorff度量 h產(chǎn)生，h定義如下:h(C，D)=，其中

引理3 設(shè)(X，d)為度量空間，h表示由d誘導(dǎo)的Hausdorff度量，則(CK(X)，h)在(K(X)，h)中閉。

2 廣義向量擬似變分不等式的通有穩(wěn)定性

令 E、X、Y、S、T 和 η 的定義不變，設(shè)

對(duì)任意的 u1=(S1，T1，η1)，u2=(S2，T2，η2)∈M，定義

其中 h1、h2是 CK(K)和 CK(L(E，Y))上的 Hausdorff度量。

定理1(M，ρ)是完備度量空間。

證明(M，ρ)是度量空間，顯然成立，只需證(M，ρ)是完備的。

設(shè) {un=(Sn，Tn，ηn)}是 M 中的 Cauchy列，則?ε ＞0，?N，使得對(duì)于?n，m ＞N 有 ρ(un，um)＜ ε，從而?x，y∈K，都有 h1(Sn(x)，Sm(x))＜ ε，h2(Tn(x)，Tm(x))＜ ε，‖ηn(x，y)－ ηm(x，y)‖ ＜ ε。由于{ Sn(x)}是CK(K)中的Cauchy列，{ Tn(x)}是CK(L(E，Y))中Cauchy列，(E，‖·‖)是Banach空間，由引理3 知，存在 S(x)∈CK(K)，T(x)∈CK(L(E，Y))，η(x，y)∈X，使得

下面證 T 是上半連續(xù)的，S 是連續(xù)的，η(·，·)是連續(xù)且 η(·，x)是仿射的，η(x，x)=0。

1)?x0∈K。要證T(x0)是下半連續(xù)的，只需證對(duì)于?x0的鄰域U，?x∈U，?T(x0)鄰域O，使得T(x)?O。由于 ?ε0＞ 0，所以 {ξ:d(ξ，T(x0))＜ε0}?O。下證 T(x)? {ξ:d(ξ，T(x0))＜ε0}。令，其 中又且由于Tn→T，故 h2(Tn(x)，T(x))≤ε0/3，h2(Tn(x0)，T(x0))≤ε0/3，而由 Tn的下半連續(xù)性有，所以

故 T(x)? {ξ:d(ξ，T(x0))＜ε0}?O，即T(x)在K上是上半連續(xù)的。

2)要證 S在 K上是連續(xù)的，只需證?x0∈K，?ε＞0，?x0的鄰域 N(x0)使得?x∈N(x0)有h1(S(x)，S(x0))＜ε。由于對(duì)于?x∈K，有 h1(S(x)，S(x0))≤h1(S(x)，Sn(x))+h1(Sn(x)，Sn(x0))+h1(Sn(x0)，S(x0))，且由知，存在N當(dāng)n＞N時(shí)，有，又由 Sn的連續(xù)性知，?的鄰域 N()，有，所以由以上知，h(S(x)，1，于是S在K上是連續(xù)的。

3)η(·，·)的連續(xù)性證明方法與2)相同，只需將測(cè)度h2換成‖·‖即可。因ηn(·，x)是仿射的，故ηn(·，αx+b)= αηn(·，x)+ηn(·，b)，兩邊同時(shí)取極限得 η(·，αx+b)=αη(·，x)+η(·，b)，故 η(·，x)也是仿射的。又 ηn(x，x)=0，?x∈intS(x)，則對(duì)于?x∈intS(x)，存在 { xn}，滿足 xn∈intSn(xn)，那么就有ηn(xn，xn)=0。由于，且 ηn連續(xù)，故兩邊取極限得 η(x，x)=0。

由以上1)、2)、3)知，(M，ρ)是完備度量空間。

由于對(duì)于任意的u=(S，T，η)∈M，引理1表明GVQVLI有解。記Φ(u)是GVQVLI問題關(guān)于u的一個(gè)解集，則Φ可以看成從M映到K上的一個(gè)集值映射，并且Φ(u)≠0，?u∈M。

定理2 Φ:M?K是usco映射。

證明由于 K是緊集，故只需證 Graph(Φ)是 M×K的閉子集，這里 Graph(Φ)={((S，T，η)，x)∈M ×K:x∈Φ(S，T，η)}。因?yàn)镸是完備的，K是緊集，故M×K是完備的。所以可證任取序列 {((Sn，Tn，ηn)，xn)}?Graph(Φ)滿足((Sn，Tn，ηn)，xn)→((S，T，η)，x)∈M ×K。

因?yàn)?xn∈ Φ (Sn，Tn，ηn)，則有，xn∈ Sn(xn)且存在 tn∈ Tn(xn)，滿足 [ tn，ηn(y，xn)]? －intC，?y∈Sn(xn)。

任取 L(X，Y)中 的 開 集 O? T(x*)，因 為 T(x*)是 緊 集，存 在 ε0＞0使{ξ∈L(X，Y):d(ξ，T(x*))＜ε0}?O。由于 ρ((Sn，Tn，ηn)，(S，T，η))→0，xn→x*，T 在 x*點(diǎn)是上半連續(xù)的，所 以 ?N，使 當(dāng) n ＞N 時(shí)，有且 T(xn)?這樣，當(dāng) n＞N 時(shí)，有{ξ∈L(X，Y):d(ξ，T(x*))＜ε0}?O。因tn∈Tn(xn)，由引理2知，存在 {tn}的一個(gè)子列 { tnp}?L(X，Y)，使tnp→t*∈T(x*)，不失一般性，可設(shè)tn→t*。

因 xn∈Sn(xn)，ρ((Sn，Tn，ηn)，(S，T，η))→0，xn→x*，且 Sn是連續(xù)的因而上半連續(xù)的，所以類似地可以證明:存在 { xn}的一個(gè)收斂子列 { xnp}，使得 xnp→x0∈S(x*)。由于 xn→x*，可知 x0=x*∈S(x*)。

又由于 S 在 x*下半連續(xù)，?z∈S(x*)，存在 yn∈S(xn)，使得 yn→z。再由 ρ((Sn，Tn，ηn)，(S，T，η))→0 可知?p∈N，?np使得取 { xn}的子列 { xnp}，有 h1(Snp(xnp)，S(xnp))＜1/p，于是存在y'np∈Snp(xnp)，使得‖y'np－ynp‖ ＜ 1/p，那么就有‖y'np－z‖≤‖y'np－y'np‖ +‖z－ynp‖ ＜1/p+‖z－ynp‖，而 ynp→z，故有 y'np→z。

又因?yàn)?ρ((Sn，Tn，ηn)，(S，T，η))→0，則對(duì)于?(x，y)∈K ×K 有 ηn(x，y)→η(x，y)，且 η 是連續(xù)的，則 η(y'np，xnp)→η(z，x*)。所以有 ηn(y'np，xnp)= ［ηn(y'np，xnp)－ η(y'np，xnp)］+［η(y'np，xnp)－η(z，x*)］+ η(z，x*)→η(z，x*)。

又由于之前得到了 y'np∈Snp(xnp)，且 xnp∈Snp(xnp)，tnp∈Tnp(xnp)，所以有

其中Y(－intC)是閉集。對(duì)式(1)兩邊同時(shí)取極限得到〈t*，η(z，x*)〉∈Y(－intC)，即〈t*，η(z，x*)〉?－intC，由 z在 S(x*)中任意性以及 x*∈S(x*)，t*∈T(x*)知 x*∈Φ(S，T，η)，即((S，T，η)，x*)∈Graph(Φ)，從而Graph(Φ)是閉集。由于K是緊集，從而Φ是緊值映射，所以Φ是usco映射。

引理4 如果Φ:M?K是usco映射，那么Φ在M的剩余集上是下半連續(xù)的。

定義2 對(duì)任意u∈M，x∈Φ(u):①稱x為u的本質(zhì)解，若x在K中的任意開鄰域O，存在u在M中的開鄰域V，使對(duì)任意的u'∈V，有Φ(u')∩O≠?。②稱u為本質(zhì)的，若u的每一個(gè)解都是本質(zhì)的。稱u是弱本質(zhì)的，若存在u的某個(gè)解是本質(zhì)的。

引理5 u為本質(zhì)的，當(dāng)且僅當(dāng)集值映射Φ在u上是下半連續(xù)的。

定理3 存在M中的稠密剩余集Q，使對(duì)任意的u∈Q，u是本質(zhì)的。

例1設(shè)E=X=Y=(－∞，+∞)，K=［－1，1］，C=R+=x:x≥{}0，考慮如下的GVQVLI:設(shè)T(x)={}θ，?x∈K，其中θ表示零算子;S(x)=K，?x∈K;η(x，y)=x－y，?x，y∈K。顯然u=(S，T，η)∈M，Φ(u)=K。

構(gòu)造CVQVLI問題的函數(shù)序列 un=(Sn，Tn，ηn)∈M 如下:設(shè) Sn(x)=K，?x∈K;Tn(x)=易驗(yàn)證 ρ(un，u)→0，〈Tn(x)，ηn(x，y)〉=，所以根據(jù)定義2知，u即不是本質(zhì)的也不是弱本質(zhì)的。

例1表明，定理3中Q≠M(fèi)，M中的某些問題元素u所決定的GVQVLI的解集甚至不存在本質(zhì)解。

3 GVQVLI解集的本質(zhì)連通區(qū)的存在性

在這一部分中設(shè)η0:K×K→E取定，滿足η0是連續(xù)的，固定x∈K，η0(·，x)是仿射的，若x∈intS(x)，則 η0(x，x)=0。令

由例1知，雖然M中有些元素u所決定的GVQVLI不存在本質(zhì)解，但可以證明，?u∈M由u所決定的GVQVLI解集至少存在一個(gè)本質(zhì)連通解集，此時(shí)，?u∈M，Φ(u)是K中的緊集。

設(shè)u∈M，x∈Φ(u)，Φ(u)中包含x的所有的連通子集的并集稱為Φ(u)的一個(gè)連通區(qū)，Φ(u)的連通區(qū)是Φ(u)的連通閉子集，從而是連通的緊子集。Φ(u)中分別包含相異兩點(diǎn)的連通區(qū)，要么是重合的，要么是不相交的，故Φ(u)被分解為一簇兩兩不相交的連通區(qū)的并集，即Φ(u)有如下的連通區(qū)分解:，其中 Λ 為一指標(biāo)集，對(duì)?α∈Λ，Φα(u)為一非空連通緊子集，且對(duì)?α，β∈Λ，α≠β，有Φα(u)∩Φβ(u)=?。

定義3 對(duì)?u∈M，設(shè)G是其解Φ(u)的非空閉子集，稱G為Φ(u)的本質(zhì)集，若對(duì)包含G的K中任意開集O，即存在δ＞0，使得對(duì)任意滿足ρ(u，u')＜δ的u'，有Φ(u')∩O≠?。若Φα(u)為Φ(u)的本質(zhì)集，則稱Φα(u)為Φ(u)的本質(zhì)連通區(qū)。Φ(u)的一個(gè)本質(zhì)集G稱為極小本質(zhì)集，若G在Φ(u)的所有本質(zhì)集的族中按包含關(guān)系所定的序關(guān)系是極小元。

引理6 設(shè)A、B、C是賦范向量空間 E的非空有界凸子集，那么 h(A，λB+μC)≤λh(A，B)+μh(A，C)，其中 h表示的是 Hausdorff距離，λ≥0，μ≥0且 λ +μ=1。

定理4 對(duì)任意的u∈M，Φ(u)至少存在一個(gè)極小本質(zhì)集。

證明由定理2知Φ是上半連續(xù)的，由上半連續(xù)的定義及定義3知Φ(u)本身就是一個(gè)本質(zhì)集。記Ψ為Φ(u)的所有本質(zhì)集全體，則(按包含關(guān)系定序)Ψ非空。對(duì)Ψ的任一非空全序子集φ，由于φ的每個(gè)成員都是緊的，故φ中所有成員之交仍為緊集，因而φ有下界。于是由Zorn引理可知φ有極小元，這個(gè)極小元就是Φ(u)的一個(gè)極小本質(zhì)集。

定理5 對(duì)每一個(gè)u=(S，T，η0)∈M，Φ(u)的每一個(gè)極小本質(zhì)集都是連通的。

證明設(shè)m(u)是Φ(u)的極小本質(zhì)集，若m(u)不是連通的，則存在Φ(u)的2個(gè)非空閉子集c1(u)和 c2(u)以及K 中2 個(gè)開集V1、V2，使得m(u)=c1(u)∪c2(u)，c1(u)?V1，c2(u)?V2，V1∩V2= ?。由于m(u)是Φ(u)的極小本質(zhì)集，故c1(u)和c2(u)都不是本質(zhì)的。于是存在K中開集O1?c1(u)，O2?c2(u)，使對(duì)任意的 δ＞0，存在 u1，u2∈M，從而

記 W1=V1∩O1，W2=V2∩O2，則 W1、W2都是開集，且滿足 W1?c1(u)，W2?c2(u)，W1∩W2= ?。因?yàn)棣?u)是緊集，因而 c1(u)和 c2(u)是緊集。故存在 2個(gè)開集 U1、U2，使得，其中表示 U1在K 中的閉包。由于U1∪U2?m(u)以及 m(u)以及m(u)是本質(zhì)集，存在 δ'＞0，使對(duì)任意滿足 ρ(u，u')＜ δ'的 u'，有

又由于 U1?O1，U2?O2，對(duì) δ'/2 ＞0，由式(2)知存在 u1，u2∈M，使得

記 u1=(S1，T1，η0)，u2=(S2，T2，η0)，現(xiàn)構(gòu)造一個(gè) u'=(S'，T'，η0)如下:

且

所以，根據(jù)式(4)有

再由式(3)得

但是由 u'的構(gòu)造又有如下事實(shí):設(shè) x∈U1，則當(dāng) λ(x)=1，μ(x)=0時(shí)，有 S'(x)=S1(x)，T'(x)=T1(x);若 x∈Φ(u')，則 x∈S'(x)=S1(x)，且存在 t∈T'(x)=T1(x)，使得〈t，η0(y，x)〉? － intC，對(duì)于任意的y∈S'(x)=S1(x)。于是x∈Φ(u1)，這與式(4)矛盾。故Φ(u')∩U1=?。同理可證Φ(u')∩U2=?。所以Φ(u')∩(U1∪U2)=?，這與式(5)矛盾，因此m(u)必是連通的。

定理6 對(duì)每一u∈M，Φ(u)中至少存在一個(gè)本質(zhì)連通區(qū)。

證明由定理4、5知，Φ(u)中至少存在一個(gè)連通的極小本質(zhì)集G，而G必包含于Φ(u)的連通區(qū)Φα(u)，因?yàn)镚是本質(zhì)的，由定義可知Φα(u)就是Φ(u)的本質(zhì)連通區(qū)。

定理7 若u∈M使得Φ(u)僅由孤立點(diǎn)組成，則u是弱本質(zhì)的，特別的，若Φ(u)是單點(diǎn)集，則u必是本質(zhì)的。

4 本質(zhì)連通區(qū)的連續(xù)性

已知(M，ρ)是一個(gè)可測(cè)空間，而(K，d)是緊的可測(cè)空間。對(duì)于任意的 ε＞0，x∈K，A?M，記O(x，ε)= {u∈M:ρ(x，u)＜ε }，U(ε，A)= {y∈K:?u∈A，使得 d(u，y)＜ ε}，B(ε，A)={y∈K:?u∈A，使得 d(u，y)≤ε}。顯然，U(ε，A)是開集，而當(dāng)A是緊集時(shí)B(ε，A)是閉集。

定理8 對(duì)于任意的u∈M，如果m(u)是Φ(u)的最小本質(zhì)集，那么對(duì)于任意的ε＞0，?δ＞0，使得對(duì)于任意 u'∈M，若滿足 ρ(u，u')＜δ，則存在 Φ(u')的最小本質(zhì)集 m(u')，并且有m(u')?B(ε，m(u))。

證明假設(shè)結(jié)論不成立，即存在ε0＞0，使得對(duì)任意的δ＞0，都存在u'∈M，ρ(u，u')＜δ滿足m(u')?B(ε0，m(u))，其中m(u')是Φ(u')中任意的最小本質(zhì)集。

由于m(u)是 Φ(u)的本質(zhì)集，則對(duì)以上的 ε0＞0，存在 δ0＞0，使得對(duì)任意的 u'∈M 且 ρ(u，u')＜ δ，有 U(ε0，m(u))∩Φ(u')≠?。

又因?yàn)?B(ε0，m(u))∩Φ(u')是 Φ(u')中的閉子集并且 B(ε0，m(u))∩Φ(u')?B(ε0，m(u))，再由假設(shè)知 m(u')?B(ε0，m(u))，所以 B(ε0，m(u))∩Φ(u')不是 Φ(u')的本質(zhì)集。那么，存在 ε1＞0，使得對(duì)于任意的 δ＞0，存在 u″∈M，ρ(u'，u″)＜δ，但是 U(ε1，B(ε0，m(u))∩Φ(u'))∩Φ(u″)=?。

令 δ1，δ2，δ3，…是單調(diào)下降趨向于 0 的序列，使得 O(u'，δn)?O(u，δ0)。再取 un∈O(u'，δn)，滿足U(ε1，B(ε0，m(u))∩Φ(u'))∩Φ(un)=?。由于 ρ(u，un)＜ δ0，U(ε0，m(u))∩Φ(un)≠?，再令 yn∈U(ε0，m(u))∩Φ(un)，因?yàn)?K 是緊集，所以不失一般性，假設(shè) yn→y0∈B(ε0，m(u))。又因?yàn)?xn→x'，yn∈Φ(xn)，yn→y0，且 Φ 是 usco 的，所以就有 y0∈Φ(u')。然而，yn∈Φ(un)，U(ε1，B(ε0，m(u))∩Φ(u'))∩Φ(un)=?，所以就有 yn?U(ε1，B(ε0，m(u))∩Φ(u'))。再由 yn→y0，就可以得到 y0?U(ε1/2，B(ε0，m(u))∩Φ(u'))，這與 y0∈B(ε0，m(u))∩Φ(u')矛盾。所以結(jié)論成立。

定理9 對(duì)于任意的u∈M，如果c(u)是Φ(u)的最小本質(zhì)區(qū)，并且存在ε0＞0，使得B(ε0，c(u))∩B(ε0，Φ(u)c(u))=?，那么對(duì)任意的 ε ＞0，?δ＞0，使得對(duì)于任意 u'∈M，若滿足 ρ(u，u')＜ δ，則存在Φ(u')的最小本質(zhì)區(qū)c(u')，并且有c(u')?B(ε，c(u))。

證明首先，存在Φ(u)的最小本質(zhì)集m(u)，滿足m(u)?c(u)。再根據(jù)定理8，?ε＞0，?δ1＞0，使得?u'∈M，ρ(u，u')＜δ1，存在 Φ(u')的最小本質(zhì)集 m(u')，滿足 m(u')?B(ε，m(u)?B(ε，c(u))。又有Φ(u')的一個(gè)區(qū)c(u')，滿足m(u')?c(u')，所以顯然c(u')是Φ(u')的一個(gè)本質(zhì)區(qū)。

Φ在u處是上半連續(xù)的，所以存在 δ2＞0，使得對(duì)于任意的 u'∈M，ρ(u，u')＜δ2，有 Φ(u')?U(ε，Φ(u))?B(ε，c(u))∪B(ε，Φ(u)c(u))。下證 Φ(u)c(u)是閉集，故也是緊的。對(duì)于?yn∈Φ(u)c(u)，yn→y，有 yn∈Φ(u)，yn?c(u)。由于 Φ(u)是緊的，有 y∈Φ(u)。如果 y∈c(u)，則對(duì)于足夠大的 n，yn∈B(ε0，c(u))成立，但是這與 B(ε0，c(u))∩B(ε0，Φ(u)c(u))= ?矛盾，因此 y?c(u)，y∈Φ(u)c(u)，所以，Φ(u)c(u)是閉集因而是緊的。

令 δ=min{ δ1，δ2}，對(duì)于?u'∈M，ρ(u，u')＜ δ，若 c(u')?B(ε，c(u))，那么 c(u')∩B(ε，Φ(u)c(u))≠?且 c(u')∩B(ε，Φ(u))≠φ(因?yàn)?m(u')是它們的子集)。注意到當(dāng) ε ＜ε0時(shí)，B(ε，c(u))∩B(ε，Φ(u)c(u))=?。由于 c(u)和 Φ(u)c(u)都是緊的，所以 B(ε，c(u))和 B(ε，Φ(u)c(u))都是閉集。也就是非空連通集c(u')與2個(gè)非空閉集相交，不可能成立。因此就有結(jié)論c(u')?B(ε，c(u))。

備注2 如果Φ(u)是連通的，即Φ(u)的唯一本質(zhì)區(qū)就是它自己，那么由于Φ是上半連續(xù)的，則對(duì)于?ε＞0，?δ＞0，使得?u'∈M，ρ(u，u')＜ δ，有，因此，對(duì)于 Φ(u')的任一本質(zhì)區(qū) c(u')，有 c(u')?Φ(u')?B(ε，Φ(u))成立。

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