馬靜敏， 任勇生，姚文莉

(1.山東科技大學(xué) 理學(xué)院，山東 266510;2.山東科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，山東 266510;3.青島理工大學(xué) 理學(xué)院，青島 266510)

復(fù)合材料由于輕質(zhì)、高強(qiáng)度、高剛度以及抗疲勞性能突出等優(yōu)點(diǎn)［1－2］，在工程領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。封閉截面復(fù)合材料薄壁梁是航空、宇航結(jié)構(gòu)及風(fēng)力機(jī)葉片的主要結(jié)構(gòu)形式，研究其振動(dòng)動(dòng)態(tài)特性對(duì)其結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)具有十分重要的意義。

Mansfield等［3－5］提出復(fù)合材料封閉截面薄壁梁的運(yùn)動(dòng)模型，由于該模型忽略了梁的橫向剪切變形和橫截面的翹曲影響，僅適用于解決具有特定鋪層順序的復(fù)合材料梁的振動(dòng)問(wèn)題。Libove［6］建立了用于計(jì)算封閉截面薄壁梁剪切流和正應(yīng)力的簡(jiǎn)單理論，該理論雖然考慮了彎曲剪切變形，但是沒(méi)有考慮到由于不均勻翹曲引起的剪切變形。Librescu等［7－11］建立了廣泛適合于工程領(lǐng)域問(wèn)題的模型，該模型引入了彎曲中的剪切彈性變形的影響，但是翹曲扭轉(zhuǎn)變形被忽略了。

上述這些研究都是針對(duì)等截面直梁的復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行靜力或動(dòng)力建模與分析，而實(shí)際的風(fēng)力機(jī)葉片、機(jī)翼截面尺寸和形狀是變化的，所以研究變截面復(fù)合材料薄壁梁的動(dòng)力學(xué)性能對(duì)于解決工程實(shí)際問(wèn)題具有重要意義。Librescu 等［8，12－14］對(duì)復(fù)合材料封閉截面薄壁梁進(jìn)行了一系列的研究，建立了一套理論體系，用于解決等直梁、變截面梁和變截面旋轉(zhuǎn)梁的振動(dòng)問(wèn)題。這些研究考慮經(jīng)典的由于扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的翹曲和橫向剪切變形的影響，使用哈密頓原理獲得振動(dòng)微分方程。采用這種方法由于需要涉及分部積分運(yùn)算，推導(dǎo)過(guò)程較為繁瑣。

本文綜合考慮了均勻軸向拉伸、繞y軸和z軸的彎曲所引起的截面翹曲，但是暫時(shí)未考慮橫向剪切變形，基于拉格朗日方程推導(dǎo)出復(fù)合材料封閉變截面薄壁梁的自由振動(dòng)方程。可以看到，相對(duì)于哈密頓原理，本文所采用的方法使公式推導(dǎo)變得十分簡(jiǎn)潔。在建立復(fù)合材料封閉變截面薄壁梁振動(dòng)微分方程的基礎(chǔ)上，通過(guò)應(yīng)用迦遼金法，通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到周向均勻剛度(CUS)和周向反對(duì)稱(chēng)剛度(CAS)配置的矩形變截面薄壁懸臂梁的固有頻率，并且與ANSYS有限單元法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較。分析了復(fù)合材料的各向異性以及纖維鋪層角和截面變化對(duì)復(fù)合材料封閉變截面薄壁梁固有振動(dòng)的影響。

1 自由振動(dòng)方程推導(dǎo)

1.1 薄壁梁動(dòng)能和勢(shì)能

截面形狀任意且沿軸向任意變化的細(xì)長(zhǎng)變截面薄壁彈性梁及參考坐標(biāo)系如圖1所示。其中，L表示桿件的長(zhǎng)度，h表示截面任意位置處的壁厚，R表示截面任意位置處的中線(xiàn)半徑，d表示截面的特征尺寸，且滿(mǎn)足下列條件:

圖1 薄壁梁幾何圖及參考坐標(biāo)系Fig.1 Beam geometry and coordinate systems

為了分析該梁的自由振動(dòng)，定義x位置所在的截面沿x，y，z坐標(biāo)軸方向的平均位移分別為 U1(x)，U2(x)，U3(x)，該截面扭轉(zhuǎn)變形的扭轉(zhuǎn)角為φ(x)。

懸臂梁上任意一點(diǎn)沿坐標(biāo)系(x，y，z)的三個(gè)坐標(biāo)軸方向的位移分量為［16］:

其中:g(s，x)表示由于均勻軸向拉伸、繞y軸和z軸的彎曲所引起的截面翹曲。

薄壁梁的動(dòng)能和勢(shì)能為［16］:

其中:(·)，(··)表示對(duì)時(shí)間t求1階和2階導(dǎo)數(shù)，依次類(lèi)推;()'，()″表示對(duì)位置坐標(biāo)x求1階和2階導(dǎo)數(shù)，依次類(lèi)推。

該勢(shì)能表達(dá)式是根據(jù)復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，依據(jù)二維各向異性殼理論，綜合考慮了截面薄壁特點(diǎn)和翹曲影響建立的。此外，由文獻(xiàn)［16］可知，［C］4×4中的元素都是由封閉曲線(xiàn)積分計(jì)算得到的，因此充分反映了封閉截面的特點(diǎn)。

1.2 薄壁梁拉格朗日方程

對(duì)于三維連續(xù)系統(tǒng) κ =κ(x，y，z，t)，相應(yīng)的拉格朗日函數(shù)為 L= ∫∫∫ζd x d y d z，其中 ζ為拉格朗日密度［18］。根據(jù)薄壁梁的動(dòng)能和勢(shì)能，拉格朗日密度為:

對(duì)該薄壁桿件系統(tǒng)應(yīng)用哈密頓原理有:

交換積分與變分符號(hào)可得:

其中:

將上式適當(dāng)變換，代入式(6)，并注意到:

可得:

因?yàn)樵?t1，t2)內(nèi):δU1，δU2，δU3，δφ 都不等于零，所以可得薄壁梁的拉格朗日方程為:

1.3 變截面薄壁梁自由運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于變截面直桿件而言，［C］4×4隨截面位置的變化而變化。將式(5)代入式(7)中，可得復(fù)合材料薄壁梁的自由運(yùn)動(dòng)方程為:

其中:

等直梁的情況下，式(8)與文獻(xiàn)［16］直接應(yīng)用哈密頓原理建立的振動(dòng)微分方程是一致的。

2 應(yīng)用

其中:σa=aT/aR，σb=bT/bR表示錐度，η=x/l表示橫截面位置的的無(wú)量綱量且η∈［0，1］。下標(biāo)R和T分別表示根截面和端截面。若規(guī)定由根部到端部截面尺寸逐漸減小，則 σa∈［0，1］和 σb∈［0，1］，且錐度取0值時(shí)對(duì)應(yīng)著端節(jié)面尺寸變?yōu)?，而取1時(shí)對(duì)應(yīng)著截面尺寸不變化。

本文將式(8)的運(yùn)動(dòng)微分方程用于求解矩形變截面薄壁層壓復(fù)合材料懸臂梁的固有頻率。層壓板采用兩種鋪設(shè)方式，一種是CUS，一種是CAS。矩形截面梁的各項(xiàng)參數(shù)，材料的力學(xué)性能，鋪層方式見(jiàn)圖2、圖3和表1。矩形截面的寬度，高度隨著截面位置呈線(xiàn)性變化。任一位置x處的截面寬度和高度可以表示為:

表1 薄壁梁尺寸和材料性能參數(shù)Tab.1 Cantilever geometry and properties

圖2 矩形梁幾何形狀參數(shù)Fig.2 The geometry of box beam

圖3 兩種鋪層方式Fig.3 Two cross-section layup

2.1 兩種構(gòu)型梁的自由振動(dòng)微分方程

對(duì)于CUS結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，由于軸向剛度、耦合剛度、剪切剛度、壁厚及材料密度在全截面上是常數(shù) ，所以C13=C14=C23=C24=C34=0，且靜矩Sy=Sz=0。式(8)可以簡(jiǎn)化為:

從運(yùn)動(dòng)方程可以得到，對(duì)于CUS構(gòu)型的薄壁梁來(lái)說(shuō)，式(11)和式(12)描述了拉伸與扭轉(zhuǎn)的耦合振動(dòng)，式(13)描述了繞z軸的彎曲振動(dòng)，式(14)描述了繞y軸的彎曲振動(dòng)。

對(duì)于CAS結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，軸向剛度、壁厚及材料密度在全截面上是常數(shù)，而矩形截面的耦合剛度B對(duì)立邊符號(hào)相反，所以C12=C13=C14=C24=C34=0，且靜矩Sy=Sz=0。式(8)可以簡(jiǎn)化為:

從運(yùn)動(dòng)方程可以得到，對(duì)于CAS構(gòu)型的薄壁梁來(lái)說(shuō)，式(16)和式(17)描述了繞y軸彎曲與扭轉(zhuǎn)的耦合振動(dòng)，式(15)描述了軸向振動(dòng)，式(18)描述了繞z軸的彎曲振動(dòng)。

顯然，由于復(fù)合材料的力學(xué)性能隨著鋪層方式發(fā)生變化，不同的鋪層方式，將引起不同的耦合振動(dòng)，CUS構(gòu)型存在拉扭耦合振動(dòng)，而CAS構(gòu)型將引起彎扭耦合振動(dòng)。因此可以通過(guò)對(duì)復(fù)合材料進(jìn)行彈性剪裁來(lái)獲得所需要的力學(xué)性能。

2.2 固有頻率求解方法

采用連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)和穩(wěn)定性分析通用的Galerkin近似求解方法［19－20］，利用假設(shè)振型消除葉片空間位置變量，將自由振動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于時(shí)間的常微分方程。假定梁的軸向變形、扭轉(zhuǎn)變形和彎曲變形可以表示如下:

拉伸、彎曲和扭轉(zhuǎn)選取標(biāo)準(zhǔn)的非旋轉(zhuǎn)、非耦合、均勻懸臂梁的振型函數(shù)［21］:

將式(19)，式(2

0)代入CUS構(gòu)型梁的振動(dòng)微分方程式(11)～式(14)，由Galerkin法，通過(guò)振型函數(shù)加權(quán)積分，得:

其中:D1(U1，φ，U2，U3)，D2(U1，φ，U2，U3)，D3(U1，φ，U2，U3)，D4(U1，φ，U2，U3)分別表示振動(dòng)方程式(11)～式(14)等號(hào)左邊的表達(dá)式。

式(21)經(jīng)化簡(jiǎn)可得到下列的CUS構(gòu)型薄壁變截面梁的4N個(gè)常微分方程組:

其中:

上述矩陣中的元素為:

同理可得CAS構(gòu)型梁的4 N個(gè)振動(dòng)微分方程也為式(22)，M陣和K陣與CUS構(gòu)型相同。CAS構(gòu)型薄壁變截面梁的K陣為:

其中:

求解式(22)可得不同構(gòu)型下矩形變截面薄壁梁各種振動(dòng)解析解的固有頻率。

2.3 兩種構(gòu)型梁振動(dòng)固有頻率數(shù)值分析

圖4 ω1隨錐度變化規(guī)律Fig.4 ω1 vs taper ratio

圖5 ω2隨錐度變化規(guī)律Fig.5 ω2 vs taper ratio

圖6 ω3隨錐度變化規(guī)律Fig.6 ω3 vs taper ratio

將CAS和CUS構(gòu)型梁在30°鋪層角時(shí)前五階固有頻率隨σa和σb的變化繪制成曲面圖，如圖4～圖8所示。由圖4～圖8可知，無(wú)論錐度如何變化，CAS構(gòu)型的前五階固有頻率要大于CUS構(gòu)型的固有頻率且兩種構(gòu)型固有頻率隨錐度的變化規(guī)律基本是一致的。

令 σb=1只有 σa變化和令 σa=1只有 σb變化，CUS構(gòu)型前五階固有頻率隨σa和σb單獨(dú)變化規(guī)律如圖9和圖10所示，CAS構(gòu)型如圖11和圖12所示。由圖9～圖12可以說(shuō)明，梁的固有頻率隨σa的變化規(guī)律和隨σb的變化規(guī)律是不同的，而兩種構(gòu)型梁隨σa的變化規(guī)律基本相同，隨σb的變化規(guī)律也基本相同。這種變化規(guī)律的差異是因?yàn)榍拔咫A振動(dòng)分別屬于不同的振動(dòng)模態(tài)，而錐度的變化，對(duì)于不同的振動(dòng)模態(tài)的剛度影響不同。此外，圖10和圖12中的曲線(xiàn)存在著尖點(diǎn)，是因?yàn)楣逃蓄l率由小到大順序排列的緣故，并非固有頻率隨錐度不光滑地變化。

圖7 ω4隨錐度變化規(guī)律Fig.7 ω4 vs taper ratio

圖8 ω5隨錐度變化規(guī)律Fig.8 ω5 vs taper ratio

圖9 CUS 構(gòu)型梁 ω1，ω2隨錐度變化規(guī)律Fig.9 ω1 and ω2 vs taper ratio of CUS beam

圖10 CUS 構(gòu)型梁 ω3，ω4，ω5隨錐度變化規(guī)律Fig.10 ω3，ω4 and ω5 vs taper ratio of CUS beam

圖11 CAS構(gòu)型梁 ω1，ω2隨錐度變化規(guī)律Fig.11 ω1 and ω2 vs taper ratio of CAS beam

圖12 CAS 構(gòu)型梁 ω3，ω4，ω5隨錐度變化規(guī)律Fig.12 ω3，ω4 and ω5 vs taper ratio of CAS beam

圖13 ω1和 ω2隨鋪層角度變化規(guī)律Fig.13 ω1 and ω2 vs ply angel

圖14 ω3，ω4和 ω5隨鋪層角度變化規(guī)律Fig.14 ω3，ω4 and ω5 vs ply angel

圖13和圖14說(shuō)明了在錐度σa=σb=0.5的條件下，CAS和CUS構(gòu)型梁前五階固有頻率隨鋪層角度的變化規(guī)律。兩種構(gòu)型梁的前五階固有頻率隨鋪層角度的變化規(guī)律都是下降曲線(xiàn)，由文獻(xiàn)［17］可知，CUS構(gòu)型的前五階振動(dòng)為彎曲振動(dòng)模態(tài)和拉扭耦合振動(dòng)模態(tài)中的一種，而CAS構(gòu)型梁為彎曲為主的振動(dòng)模態(tài)。由鋪設(shè)方式可知，采用0°和90°鋪層時(shí)，CUS和CAS配置方式實(shí)質(zhì)是相同的，因此固有頻率應(yīng)該相等。圖12和圖13中，CUS和CAS構(gòu)型的曲面在0°和90°時(shí)相交與實(shí)際情況相符。而其它角度鋪層時(shí)，CAS構(gòu)型的固有頻率要大于CUS構(gòu)型的固有頻率，在20°左右時(shí)，差別最顯著。因此將20°時(shí)，錐梁和等直梁的固有頻率值列于表2中。可見(jiàn)錐度對(duì)于固有頻率值存在著顯著的影響，表3則從具體數(shù)值上說(shuō)明鋪層角度和鋪層方式對(duì)于固有頻率的影響。

需要說(shuō)明的是，Gakerkin法求解的固有頻率的精度與保留模態(tài)個(gè)數(shù)有關(guān)。固有頻率隨保留模態(tài)數(shù)的變化情況列于表4中?？梢?jiàn)，CUS與CAS構(gòu)型梁的各階固有頻率求解精度與保留模態(tài)數(shù)的關(guān)系不完全相同。且不同階的固有頻率隨模態(tài)數(shù)增加，收斂情況也不相同。對(duì)于低階的固有頻率值保留較少的模態(tài)數(shù)就達(dá)到較高的精度，而對(duì)于高階固有頻率值則需要保留較多的模態(tài)以達(dá)到足夠的精度。

因?yàn)楸”诮Y(jié)構(gòu)梁在ANSYS中采用線(xiàn)性殼單元SHELL99，設(shè)定鋪層方式和材料性能參數(shù)及約束，將圖2中的錐度σa=σb=0.5，鋪層角度為20°的梁劃分為1416個(gè)四邊形單元進(jìn)行分析。ANSYS有限單元法和Galerkin法保留四階模態(tài)的求解結(jié)果列于表5中。由表5可知，CUS和CAS構(gòu)型梁的低階固有頻率值與ANSYS求解結(jié)果非常接近。充分說(shuō)明本文建立的運(yùn)動(dòng)微分方程和采用Galerkin法求解的正確性。此外表中CAS構(gòu)型梁的第三階和第五階固有頻率值與有限單元法的求解結(jié)果差值較大，原因?yàn)楸Ａ裟B(tài)數(shù)較少。若增加保留模態(tài)數(shù)，則差值會(huì)明顯降低。

表2 20°鋪層時(shí)CAS與CUS梁前五階固有頻率Tab.2 The first five natural frequency of CUS and CAS beams with 20°ply angel

表3 σa=σb=0.5時(shí)CAS與CUS梁前五階固有頻率Tab.3 The first five natural frequency of CUS and CAS beams with σa=σb=0.5

表4 模態(tài)個(gè)數(shù)對(duì)于固有頻率的影響(σa=σb=0.5，θ=20°)Tab.4 Effect of the number on natural frequencies(σa=σb=0.5，θ=20°)

表5 Galerkin法和有限單元法計(jì)算結(jié)果(σa=σb=0.5，θ=20°)Tab.5 Solution of Galerkin method and finite element method(σa=σb=0.5，θ=20°)

3 結(jié)論

采用拉格朗日方程推導(dǎo)了任意封閉變截面薄壁復(fù)合材料梁的自由振動(dòng)方程。該方程適用于沿截面周線(xiàn)剛度任意變化的變截面直梁。應(yīng)用該方程使用Galerkin法求解了兩種鋪層方式的復(fù)合材料梁的固有頻率。有限單元法的求解結(jié)果和理論分析解析結(jié)果一致，說(shuō)明了所建立公式的正確性。此外求解結(jié)果也反映了薄壁復(fù)合材料錐形梁自由振動(dòng)的彈性耦合機(jī)制。說(shuō)明不同的鋪設(shè)方法將引起不同的耦合振動(dòng)，即使是同樣的鋪設(shè)方法，采取不同鋪設(shè)角度和不同的錐度，對(duì)于固有頻率也存在影響。這些結(jié)果對(duì)于風(fēng)力機(jī)葉片等工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，都具有指導(dǎo)意義。

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