有色噪聲背景下自適應(yīng)雷達(dá)波形優(yōu)化設(shè)計

莊珊娜 賀亞鵬 朱曉華

(南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210094)

引 言

雷達(dá)是通過對目標(biāo)回波的處理進(jìn)行檢測、跟蹤和識別的，而發(fā)射波形的選取會影響目標(biāo)回波中信息的提取，因此，優(yōu)化發(fā)射波形對雷達(dá)目標(biāo)的檢測和識別均具有非常重要的意義[1-6]。針對目標(biāo)環(huán)境中有色噪聲的統(tǒng)計特性自適應(yīng)設(shè)計一組具有較低距離旁瓣和峰均比(PAPR)的發(fā)射波形，不僅可抑制有色噪聲，提高目標(biāo)檢測性能，還能降低微弱信號被強(qiáng)信號距離旁瓣掩蓋的機(jī)率，同時降低系統(tǒng)復(fù)雜度，提高發(fā)射機(jī)的功率利用率，這對提高現(xiàn)代雷達(dá)的戰(zhàn)場適應(yīng)力具有重要的軍事價值。

在統(tǒng)計特性已知的有色噪聲背景下，通過優(yōu)化發(fā)射波形，雷達(dá)能夠顯著提高匹配濾波器的輸出信噪比(SNR)，增強(qiáng)檢測性能。Chen[7]提出了在已知擴(kuò)展目標(biāo)和雜波先驗信息的情況下，聯(lián)合優(yōu)化MIMO雷達(dá)的發(fā)射波形和接收端濾波器的迭代算法，該算法收斂速度快且能獲得較好的檢測性能。Friedlander[8]構(gòu)建了信號子空間來設(shè)計優(yōu)化波形，使得在已知目標(biāo)、雜波和噪聲的統(tǒng)計特性的條件下，最大化檢測器輸出SNR，改善檢測性能。但文獻(xiàn)[7][8]僅優(yōu)化檢測SNR，忽略了波形自身性能，導(dǎo)致所優(yōu)化波形自相關(guān)主旁瓣比過低，PAPR較高。針對該問題，Bergin[9]和Li[10]利用有色噪聲協(xié)方差矩陣的奇異性，提出了選取一組與有色噪聲無關(guān)的特征向量，對其加權(quán)逼近于某一預(yù)先設(shè)定的波形，使得SNR提高的同時波形性能接近于該預(yù)定波形。Maio[11]提出了一種相位編碼算法，使得在有色高斯噪聲中提高檢測性能，同時，使所優(yōu)化波形的模糊函數(shù)逼近某一預(yù)先設(shè)定的雷達(dá)編碼信號，從而在一定范圍內(nèi)獲得滿意的距離、多普勒分辨率。然而文獻(xiàn)[9]-[11]所優(yōu)化波形性能受限于預(yù)先設(shè)定波形，靈活性較差，且會帶來較大SNR損失，降低檢測性能。

為解決上述問題，提出目標(biāo)信號子空間加權(quán)(WTSS)法自適應(yīng)設(shè)計發(fā)射波形，該方法能有效抑制有色噪聲，提高雷達(dá)檢測性能，同時獲得較好的自相關(guān)性和PAPR，且無需預(yù)先設(shè)定波形，靈活性高。首先，給出有色噪聲中目標(biāo)檢測的系統(tǒng)模型及最大化檢測SNR的波形優(yōu)化方法，選取一組目標(biāo)-有色噪聲(TCN) 矩陣的大特征向量，對其標(biāo)準(zhǔn)正交化作為基構(gòu)成目標(biāo)信號子空間，通過對該子空間加權(quán)選取滿足相關(guān)性和PAPR約束的優(yōu)化波形，建立目標(biāo)函數(shù)搜索加權(quán)系數(shù)，并采用序列二次規(guī)劃(SQP)算法對其求解。仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性。

1. 有色噪聲中目標(biāo)檢測的系統(tǒng)模型

圖1 系統(tǒng)模型圖

因此系統(tǒng)輸出為

y=hHr=hHsR+hHn=ys+yn

(1)

式中：ys為目標(biāo)分量；yn為有色噪聲分量，分別定義為

ys=hHsR

(2)

yn=hHn

(3)

假設(shè)發(fā)射信號與有色噪聲相互獨立，則回波的協(xié)方差矩陣表示為

Rr=E[rrH]=Rs+Rn

(4)

式中：E[·]為期望算子；Rs和Rn分別為發(fā)射波形和有色噪聲的協(xié)方差矩陣，定義如下

(5)

Rn=E[nnH]

(6)

根據(jù)式(2)～(6)，系統(tǒng)輸出端SNR為

(7)

使式(7)中γ最大化的最優(yōu)接收濾波器為[12]

(8)

不失一般性，令α=1，將式(8)代入式(7)，得最優(yōu)接收濾波器下的最優(yōu)SNR為

(9)

2. WTSS法優(yōu)化發(fā)射波形

以umax作為雷達(dá)發(fā)射波形，可使檢測SNR最大化，但往往存在波形自相關(guān)主旁瓣比低、PAPR高等問題。針對上述問題，WTSS法對TCN矩陣特征分解，選取大特征向量構(gòu)成目標(biāo)信號子空間，通過優(yōu)化加權(quán)系數(shù)在其中選取最優(yōu)發(fā)射波形，使得僅以較小的SNR損失為代價，在有效抑制有色噪聲的同時自相關(guān)性能和PAPR獲得較大改善。

2.1 目標(biāo)信號子空間的選取

已知信號的功率譜密度，可通過式(10)獲得其協(xié)方差矩陣[13]。假設(shè)信號長度為N，頻譜范圍為[f1,f2]，其功率譜有Nb個通帶，第k個通帶的起始頻率為fk1，截止頻率為fk2， 則其N×N維協(xié)方差矩陣第m(m=1,2,…,N) 行第l(l=1,2,…,N)列元素rml為

(10)

式中：ξ(f)=exp[2πi(m-l)fΔt]；ωk為相應(yīng)的加權(quán)系數(shù)； Δt為采樣間隔； Δt=1/(f2-f1).雷達(dá)系統(tǒng)在無目標(biāo)時探測可獲得雷達(dá)環(huán)境中有色噪聲的功率譜密度，可利用式(10)獲得其協(xié)方差矩陣Rn，獲得TCN矩陣RQ.假設(shè)λ1≥λ2≥…≥λN為RQ的特征值，v1，v2，…，vN為其對應(yīng)的特征向量。選取M個大特征值對應(yīng)的特征向量vk(k=1,2,…,M)，對其標(biāo)準(zhǔn)正交化得到uk(k=1,2,…,M)，則{u1,u2,…,uM}構(gòu)成目標(biāo)信號子空間的正交基,通過加權(quán)獲得所需波形，即

(11)

特征向量個數(shù)M值的選取可采用信息論法、平滑秩法、矩陣分解法、蓋氏圓法以及正則相關(guān)法等[14]，其中平滑秩法和矩陣分解法誤差概率較高，蓋氏圓法穩(wěn)定性較差，正則相關(guān)法計算復(fù)雜度較高，因此這里采用誤差概率較小且計算復(fù)雜度較低的信息論法，選取使

(12)

最小的M值作為目標(biāo)信號子空間基的個數(shù)。式(12)中第一項為(N-M)個小特征值算術(shù)平均與幾何平均的對數(shù)似然比，第二項為基于最小描述長度準(zhǔn)則的罰函數(shù)，因此，使式(12)最小化即可獲得TCN矩陣RQ不相關(guān)特征向量個數(shù)M值的一致性估計[16]，從而確定目標(biāo)信號子空間基的個數(shù)。

2.2 建立滿足約束條件的目標(biāo)函數(shù)

僅以最大化檢測SNR作為目標(biāo)優(yōu)化的發(fā)射波形，通常具有較高的距離旁瓣和PAPR.這將導(dǎo)致微弱信號容易被掩蓋，所需收發(fā)系統(tǒng)的動態(tài)范圍增大等，從而降低雷達(dá)的整體性能。為克服上述缺陷，WTSS法在抑制有色噪聲的同時，對波形的自相關(guān)特性和PAPR加以約束，使所優(yōu)化波形具有更為良好的性能。

發(fā)射信號sT=[s1,s2,…,sN]T的自相關(guān)函數(shù)為

(13)

令l=0,得主瓣幅值為

(14)

即信號自相關(guān)函數(shù)的峰值為常數(shù)，為獲得高主旁瓣比，則要求其旁瓣盡可能低，在此以積分旁瓣電平( ISL)作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，即

(15)

考慮到實際工程應(yīng)用，為降低收發(fā)系統(tǒng)的動態(tài)范圍和復(fù)雜度，提高發(fā)射機(jī)的功率利用率，發(fā)射波形應(yīng)具有較低的PAPR.信號PAPR定義為信號功率峰值與均值的比，即

(16)

(17)

式中：α=N/E為常數(shù)；‖·‖∞為向量的∞范數(shù)。若系統(tǒng)可接受的PAPR為p≥1，則有

α(‖sT‖∞)2

(18)

根據(jù)式(11)、(15)和(18)可建立在提高檢測SNR的同時降低波形自相關(guān)旁瓣和PAPR的目標(biāo)函數(shù)為

(19)

2.3 基于SQP的波形優(yōu)化設(shè)計

SQP算法通過求解一系列的二次規(guī)劃(QP)子問題獲得原問題的最優(yōu)解，具有全局收斂性，其收斂速度快、可靠性高、適應(yīng)能力強(qiáng)[17]。普遍認(rèn)為該方法是求解非線性約束最優(yōu)化問題十分有效的方法，被廣泛應(yīng)用于工程優(yōu)化問題的求解。

令U=[u1,u2,…,uM]，α=[α1,α2,…,αM]T，則式(19)可表示為

s.t.c1(α)=‖α‖2-E=0

(20)

c2(α)=q-‖Uα‖∞≥0

式中：‖·‖2為向量2范數(shù)?；赟QP算法求解目標(biāo)函數(shù)式(20)步驟歸納如下：

步驟 2: 求解二次規(guī)劃子問題

mindT

s.t.c1(α(k))+dTc1(α(k))=0

(21)

c2(α(k))+dTc2(α(k))≥0

得到d(k)及其對應(yīng)的拉格朗日乘子β(k+1).

步驟 3: 采用增廣拉格朗日函數(shù)作為效益函數(shù)，從點α(k)沿方向d(k)進(jìn)行線性搜索確定步長γk，并令α(k+1)=α(k)+γkd(k).

SQP算法的計算量主要集中在QP子問題式(21)的求解上，因此其計算復(fù)雜度為O(M3)[18]。步驟 3中選擇增廣拉格朗日函數(shù)作為效益函數(shù)，使得對充分大的k有γk=1，即α(k+1)=α(k)+d(k).又由文獻(xiàn)[19]得，目標(biāo)函數(shù)下降方向d(k)滿足

(22)

式中：αopt為目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解。因此，采用SQP算法求解式(19)中目標(biāo)函數(shù)具有超線性收斂性[17]。

3. 仿真結(jié)果及分析

為驗證WTSS法的有效性和優(yōu)越性，下文給出計算機(jī)仿真，針對點目標(biāo)和擴(kuò)展目標(biāo)兩種目標(biāo)模型，從波形抑制有色噪聲的性能、自相關(guān)主旁瓣比及PAPR三方面與文獻(xiàn)[10] SWORD法優(yōu)化波形和無自相關(guān)及PAPR約束波形(即TCN矩陣RQ最大特征值對應(yīng)的單位特征向量，下文簡稱無約束波形)相比較。

實驗1：目標(biāo)模型為點目標(biāo)，采樣點數(shù)N=100，采樣間隔Δt=1/B，系統(tǒng)帶寬B=25 MHz，其中15～18 MHz處存在有色噪聲，系統(tǒng)可承受的PAPR為3.實驗中三種波形的功率譜密度和自相關(guān)特性分別如圖2、圖3所示。

從圖2可看出:在15～18 MHz頻帶處，SWORD法獲得-56.55 dB左右的零陷，而WTSS法可形成-141.21 dB左右的零陷，可更有效地抑制有色噪聲。與無約束波形相比WTSS法優(yōu)化波形的零陷較淺，這是由于需要兼顧相關(guān)性和PAPR，以較小的SNR損失換取自相關(guān)性能和PAPR的較大改善。由圖3可知，與SWORD法優(yōu)化波形和無約束波形相比，WTSS法優(yōu)化波形的自相關(guān)旁瓣最低，微弱信號被掩蓋的機(jī)率最小，檢測性能最佳。

實驗2：有色噪聲所處的頻帶分別為5～7 MHz、10～12 MHz及15～16 MHz，其余仿真條件同實驗1.仿真得出，WTSS法優(yōu)化波形的PAPR為2.70，分別比SWORD法優(yōu)化波形和無約束波形低17.36%和15.45%.由圖4可看出，在有色噪聲頻帶數(shù)增多的情況下，WTSS法優(yōu)化波形和無約束波形對有色噪聲的抑制程度均明顯優(yōu)于SWORD法優(yōu)化波形。圖5給出了三種波形的自相關(guān)特性曲線，WTSS法優(yōu)化波形的自相關(guān)旁瓣低于SWORD法優(yōu)化波形和無約束波形的自相關(guān)旁瓣，自相關(guān)性能最優(yōu)。

實驗3：若目標(biāo)為擴(kuò)展目標(biāo)，其高分辨率一維距離像模型如圖6所示。其余仿真條件同實驗1。由于受到目標(biāo)脈沖響應(yīng)的影響，既需要抑制有色噪聲，減少波形能量在有色噪聲頻帶處的分布，又要與目標(biāo)的脈沖響應(yīng)相匹配，使波形能量集中在目標(biāo)能量較大的頻帶處，因此，在該仿真實驗中，三種波形均不能在有色噪聲頻帶處形成明顯的零陷，這里不再給出其功率譜密度圖。從SNR的角度看，WTSS法的SNR損失比SWORD法低 8.92 dB，因此，可更有效地抑制有色噪聲。

圖6 目標(biāo)一維高分辨率距離像

圖7給出了三種波形的自相關(guān)特性，與SWORD法相比，WTSS法所優(yōu)化波形的旁瓣較低，自相關(guān)性能較好。與無約束波形相比，雖然WTSS法優(yōu)化波形離主瓣較遠(yuǎn)處的距離旁瓣較高，

但其主瓣附近的旁瓣較低，且主瓣較窄，由于主瓣附近的旁瓣對鄰近目標(biāo)分辨能力的影響較大，因此，WTSS法優(yōu)化波形的距離分辨力較佳，可見，WTSS法優(yōu)化波形的自相關(guān)性能最優(yōu)。

以上各實驗中三種波形的主旁瓣比、PAPR以及SNR損失具體數(shù)值分別如表1所示。就PAPR而言，SWORD法優(yōu)化波形和無約束波形的PAPR均超出了系統(tǒng)可承受范圍，WTSS法優(yōu)化波形的PAPR最低，且符合系統(tǒng)要求。從各實驗中三種波形的主旁瓣比值可以看出，WTSS法優(yōu)化波形的主旁瓣比最高，微弱信號被掩蓋的幾率最小。與SWORD法相比，WTSS法在抑制有色噪聲、提高自相關(guān)主旁瓣比和降低PAPR三方面均較優(yōu)。與無約束波形相比，WTSS法僅以較小的SNR損失換取波形自相關(guān)性能和PAPR的較大改善，達(dá)到SNR與波形自相關(guān)性能和PAPR間的良好折中，有利于提高雷達(dá)系統(tǒng)的整體性能，適合實際工程應(yīng)用。

表1 各實驗中三種波形的主旁瓣比、PAPR

圖8給出了上述三個實驗中目標(biāo)函數(shù)的收斂曲線。從圖中可看出：實驗1、實驗2和實驗3中目標(biāo)函數(shù)分別經(jīng)過267、218和351次迭代后收斂。實驗2中有三段頻帶含有色噪聲，可從TCN矩陣中提取的目標(biāo)信號子空間基的個數(shù)較少，即M值較小，因此求解目標(biāo)函數(shù)的運算量相對于實驗1和3較小，目標(biāo)函數(shù)收斂速度較快，但損失了波形設(shè)計的自由度，優(yōu)化所得目標(biāo)函數(shù)值較大，既波形自相關(guān)旁瓣較高。SQP算法運算量較大，不能實時優(yōu)化波形，實際運用中，可預(yù)先對無目標(biāo)環(huán)境進(jìn)行探測，根據(jù)多種可能出現(xiàn)的雷達(dá)場景設(shè)計發(fā)射波形，形成最優(yōu)波形庫，供雷達(dá)系統(tǒng)根據(jù)實際環(huán)境自適應(yīng)選擇所需波形。

圖8 目標(biāo)函數(shù)收斂曲線

4. 結(jié) 論

基于目標(biāo)信號子空間優(yōu)化加權(quán)系數(shù)設(shè)計發(fā)射波形能夠有效地抑制有色噪聲，提高匹配濾波器輸出SNR，優(yōu)化檢測性能，同時降低波形的距離旁瓣，減小微弱信號被掩蓋的機(jī)率，并保證PAPR在雷達(dá)系統(tǒng)可接受的范圍內(nèi)，降低收發(fā)系統(tǒng)的動態(tài)范圍，適合實際工程應(yīng)用。相比僅以最大化SNR為目標(biāo)優(yōu)化波形，WTSS法優(yōu)化波形具有更優(yōu)的性能，雷達(dá)的整體性能得到提高，適應(yīng)性增強(qiáng)。同時WTSS法可根據(jù)實際戰(zhàn)場環(huán)境自適應(yīng)設(shè)計所需功率譜，并可單獨設(shè)置約束條件，同逼近預(yù)先設(shè)定波形相比，該方法靈活性較強(qiáng)。

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