基于時域誤差要求的巴特沃斯濾波器設計

翁劍楓

（浙江科技學院 信息與電子工程學院，杭州310023）

模擬濾波器在信號處理中起著重要的作用，從模擬信號采樣前的限帶濾波到數(shù)字處理后的信號重建恢復都須用到，因而在混合集成處理芯片中得到了廣泛的使用。即就數(shù)字處理本身，實際使用的數(shù)字IIR濾波器也往往由其模擬原型進行變換得到，與FIR濾波器相比，雖然不具線性相位，但在相同的通帶幅度特性情況下，IIR濾波器的復雜度即濾波器的階次卻遠較FIR濾波器為低。因此，模擬濾波器至今仍是信號處理系統(tǒng)中的一個不可或缺的部分。

經(jīng)典的模擬濾波器的設計技術已成熟多年［1－2］，設計過程非常簡單，給定少量的頻率參數(shù)和相應頻率范圍內(nèi)的設計指標，套用公式即可完成低通原型設計，而且已有現(xiàn)成表格給出經(jīng)頻率變換后的各種實際使用的低通、帶通、高通、帶阻等濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和結構。借助MATLAB，還可方便地從低通模擬原型濾波器構建出相應的任何階次的IIR數(shù)字濾波器。但在實際應用中，除了通常的頻域濾波外，還會遇到有時域性能要求的應用情況，如數(shù)據(jù)流傳輸中將會對所傳輸信號的波形失真也即時域誤差提出要求，又如有些應用中系統(tǒng)對某種給定輸入需要具有特定的響應形式，以及對濾波器的瞬態(tài)響應或階躍響應有時間要求等。對于這種應用要求，由于無法將時域性能要求用作濾波器設計指標，因此也就無法直接采用上述廣泛用于工程中的經(jīng)典濾波器設計技術。文獻［3－7］中給出了這類應用的一些例子，從中可見，為滿足時域性能要求，濾波器的設計通常需要采用算法難度和實現(xiàn)復雜度均較經(jīng)典濾波器情況為高的方法，如文獻［3］所提出的時域綜合方法完全基于非線性數(shù)值優(yōu)化技術，文獻［4］涉及了逆濾波誤差準則及隨后生成的一個線性系統(tǒng)的最優(yōu)求解，而文獻［5－7］則在經(jīng)典濾波器基礎上再采用了時變參數(shù)技術。文獻［8］提出的方法雖簡單，從理想傳輸條件下的系統(tǒng)函數(shù)出發(fā)，就貝塞爾濾波器的情況逼近得到了可實現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)，但文中卻并未涉及時域誤差的定量分析，也未涉及其他設計指標。

從理論上說，將時域性能要求引入經(jīng)典濾波器設計指標的主要障礙，是由于濾波器系統(tǒng)函數(shù)產(chǎn)生自其幅度平方函數(shù)。因此，不論使用何種形式的濾波器逼近方法，只有與幅度平方函數(shù)有關的性能要求才能在濾波器設計中用作設計指標，而濾波器的時域性能與其頻率特性之間不存在解析關系，從而無法將這類要求取為經(jīng)典濾波器的定量設計指標。

然而，進一步的考察表明，在眾多的時域性能要求中，信號的時域誤差在一定條件下是個例外。眾所周知，信號經(jīng)過濾波器后產(chǎn)生失真的來源有兩個，一是濾波器的幅度特性非理想，另一是其不具線性相位特性。一方面，相位特性是由濾波器系統(tǒng)函數(shù)中分子分母的所有零極點的位置所形成，因此無法給出其對于線性相位特性的偏差表達，從而無法得到非理想相位特性對信號失真貢獻的定量估計。另一方面，濾波器幅度特性與理想特性之間的差距則可以與所使用濾波器的幅度特性相聯(lián)系。因此，去除相位特性非理想這一因素后，信號通過濾波器后產(chǎn)生的失真就完全由濾波器的幅度特性非理想所貢獻。這樣，只要導出由輸出失真導致的誤差信號的上界與所用濾波器的幅度平方函數(shù)之間的解析關系，就可將時域信號誤差要求引入為濾波器設計指標，從而可以使用成熟的經(jīng)典濾波器設計技術。不過，或許是由于經(jīng)典濾波器設計從理論到技術都極為完備的緣故，迄今未見有對這個問題的探索。

由上述分析可知，在消除了濾波器非理想相位特性因素后，時域誤差要求就有可能引入經(jīng)典的模擬濾波器設計指標之中。為消除非理想相位特性這一因素，最簡單有效的方法是對濾波器進行相位補償，也即用全通網(wǎng)絡對濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零極點位置進行校正，使其具有近似的線性相位特性。各類經(jīng)典濾波器形式中，貝塞爾或高斯濾波器具有十分出色的相位特性，但其幅度特性卻遠遜于巴特沃斯濾波器［1－2］。另外，巴特沃斯濾波器既具有最平幅度響應，又很容易用一個相對低階的全通濾波器對其進行相位補償。文獻［2］中給出的一個實例表明，用4階全通網(wǎng)絡即可對一個10階巴特沃斯濾波器實現(xiàn)接近理想的相位補償，使其在群延遲特性及單位沖激響應和單位階躍響應等方面均非常接近于理想濾波器。這樣，為將時域誤差要求引入到濾波器設計指標之中，采用相位補償?shù)陌吞匚炙篂V波器就是一個合理有效的選擇。

本研究將根據(jù)上述思路，設法在經(jīng)典濾波器設計技術中引入時域失真即時域信號誤差指標。

1 濾波器輸出的時域誤差上界

對于有時域誤差要求的應用情況，濾波器在濾除其通帶以外雜散信號和噪聲的同時，應使有用信號通過濾波器時盡可能不產(chǎn)生失真。在這種應用情況下，有用信號的帶寬應是有限的，即輸入信號是帶限信號?，F(xiàn)設濾波器的輸入信號和輸出信號分別為f（t）和g（t），相應的傅里葉變換分別為F（jω）和G（jω），濾波器的頻率特性為

式（1）中，A（ω）｜max＝1，則相應的理想濾波器頻率特性為

式（2）中，ωp大于信號的最高頻率。

由式（1）～（2）可知，在頻率范圍｜ω≤ωp｜內(nèi)，實際濾波器與理想濾波器之間幅度誤差與相位誤差分別為

對于實際使用的各種濾波器形式，顯然都有0≤ΔA（ω）≤1。

不失一般性，令理想濾波器中的td＝0，則在頻率范圍｜ω≤ωp｜內(nèi)，實際濾波器的頻率特性可寫為

信號f（t）通過濾波器H（jω）后的時域誤差為

利用柯西－許瓦茲不等式，再利用帕斯維爾等式，從式（5）可得

式（6）中，L2范數(shù) f（t）2是輸入信號f（t）的均方根能量。注意到上式對任何t都成立，式（6）可進一步寫為

式（7）中，e（t）∞為誤差信號e（t）的契比雪夫范數(shù)，即e（t）的最大值。

由式（2）和（4），并計入理想濾波器的td＝0，則在濾波器通帶范圍內(nèi)有

對濾波器進行相位補償后，式（8）成為

將式（9）代入式（7）可知，信號通過經(jīng)相位補償?shù)臑V波器后，時域誤差信號關于均方根輸入信號能量的相對誤差上界為

在式（10）中，右端所示的時域誤差上界已與濾波器幅度特性相聯(lián)系。

對于巴特沃斯濾波器，由于只需使用低階相位補償網(wǎng)絡即可實現(xiàn)很好的相位補償，因此式（10）給出的時域誤差上界具有足夠的可靠性，可以據(jù)此導出設計指標及相應的設計公式。

2 濾波器設計公式

經(jīng)典濾波器設計中，總是先求出低通原型，而后再借助頻率變換技術得到實際需要的濾波器。巴特沃斯歸一化原型低通濾波器的幅度平方特性為

對式（12）右端中的后兩項作泰勒級數(shù)展開，得到

注意到在低通原型濾波器的通帶內(nèi)，恒有ω＜1，故式（13）中6 N次以上高次項的合成貢獻為負，從而有

將式（14）代入式（10），求出右端的積分后得到

再將上式中的頻率關于截止頻率ωc進行歸一化，式（15）成為

引入歸一化單位帶寬上的輸入信號能量E2f：

其均方根為Ef，則時域誤差最大值與均方根歸一化單位帶寬輸入信號能量之比為

上式表示的e可適用于不同的輸入信號情況，因而是信號通過濾波器后時域誤差的一個很好量度，可以據(jù)此構建出時域信號誤差指標。

將式（16）中的 f（t）2按式（17）所示關系以Ef表示，得到

此即相位補償巴特沃斯濾波器情況下時域誤差信號關于均方根歸一化單位帶寬輸入信號能量的相對誤差上界，簡稱為時域誤差上界。

對于給定的時域誤差指標emax，根據(jù)式（19），顯然應有

這樣就構建出了以時域誤差要求形式出現(xiàn)的濾波器通帶要求。

濾波器的阻帶要求與經(jīng)典設計相同［1－2］，仍為

式（21）中，As為阻帶衰減，單位為分貝（dB）。式（21）所示的阻帶要求也可改寫為

從式（20）、（22）中消去ωc，得到

這樣，在給定通帶頻率ωp、阻帶頻率ωs及時域誤差指標emax、阻帶衰減指標As后，濾波器的階次N即可由式（23）求出。盡管式（23）所示的不等式為超越形式，無法求出解析解，但由于所求N值是個正整數(shù)，因此稍作試湊就可求出使此式成立的最小N值，也不難編程求取。

在得到濾波器階次N后，由式（20）和式（22）可得到濾波器的截止頻率

這樣，式（23）和式（24）就給出了將時域信號誤差作為通帶指標的巴特沃斯濾波器設計公式。

3 與經(jīng)典設計方法的比較與示例

現(xiàn)對以上提出的設計方法與經(jīng)典設計方法作一比較并給出設計示例。由于線性帶通系統(tǒng)時域響應的復包絡不隨頻譜搬移而改變［9］，因此最大時域誤差也不會因頻譜搬移而改變；而在經(jīng)典濾波器設計中，頻率變換技術已完全成熟，因此僅討論低通濾波器情況。表1給出了兩種設計方法的設計參數(shù)與指標及設計方程和設計公式。

表1 兩種設計方法的設計參數(shù)與指標、設計方程和設計公式Table 1 Parameters and specifications，equations and formulas of two design procedures

表1中，經(jīng)典設計方法的截止頻率ωc求取公式與常規(guī)所見形式有所不同，這里以不等式方式給出了其取值范圍，以便對兩種設計方法所得截止頻率的異同進行比較。通常，文獻中經(jīng)典設計的ωc求取公式為［1－2］：

這樣所得的兩個截止頻率將分別嚴格滿足通帶起伏要求或阻帶衰減要求。實際上，稍加分析即可看出，將表1所示不等式中的兩個“≤”號分別取為等號，就可得到式（25）和式（26）。還可看出，由于兩種設計方法的阻帶衰減要求相同，式（26）也適用于本研究提出的方法。

由表1可見，兩種方法的設計思路相同，計算復雜度也無實質(zhì)性差別。從指標系統(tǒng)看，兩者的阻帶指標完全相同，而筆者提出的方法將時域信號誤差指標取為通帶指標，從而將時域誤差要求直接引入到了經(jīng)典的模擬濾波器設計之中。注意到在這類應用中，濾波器的主要功能是要對有用信號通過濾波器通帶后產(chǎn)生的失真進行控制，因此，將時域誤差代替通帶起伏作為通帶要求應是一個合理的做法。此外，從兩者的通帶要求表達式（20）和式（26）還可以看出，由于在通帶內(nèi)＜1，因此隨著濾波器階次N的增大，無論是時域誤差還是通帶起伏都將減小。這就提示了這兩種方法具有相容性，也即，如果設計中同時有時域誤差指標和通帶起伏指標要求，則可用兩種方法分別求出濾波器的階次，取其大者，就可同時滿足時域誤差指標要求和通帶起伏指標要求。下面給出兩個設計示例。

例1 低通濾波器要求為：時域誤差emax＝0．04，阻帶衰減AS＝40dB，ωs＝2ωp。則由式（23）略經(jīng)試探即可得到N＝7。求出濾波器的階次后，從式（24）可求出濾波器的截止頻率為

取定ωc數(shù)值后，再經(jīng)相位補償，就完成了濾波器設計。

若將濾波器通帶指標由時域誤差指標改為通帶起伏指標Rp＝2．1dB，其他不變。則由經(jīng)典設計方法可得N＝7，再由表1所給公式求出濾波器截止頻率為

比較兩種設計所得結果可以看出，若取N＝7，截止頻率ωc＝0．517 95ωs，則在進行相位補償后，所得的濾波器可同時滿足上面給定的時域誤差指標和頻域中的通帶起伏和阻帶衰減指標要求。

例2 低通濾波器要求為：時域誤差emax＝0．02，通帶起伏Rp＝1dB，阻帶衰減AS＝50dB，ωs＝2ωp。此例中，在通帶內(nèi)同時存在著時域誤差要求和通帶起伏要求，因此應結合使用兩種設計方法。這時，用筆者的方法根據(jù)時域誤差要求得到的N＝9，而用經(jīng)典設計方法根據(jù)通帶起伏要求得到的N＝10。因此應取N＝10，然后從N＝10出發(fā)類似例1分別由表1中設計公式求出相應的截止頻率范圍，決定出合適的截止頻率ωc，再進行相位補償，就可以完成設計。實際上，實用中只需根據(jù)式（26）求出ωc＝0．562 34ωs即可。顯然，例2中得到的濾波器在滿足頻域指標要求的同時，在時域誤差性能上已超過了設計要求。不難驗證，這一濾波器可滿足emax＝0．01的時域誤差要求。

這兩個示例表明，改進的設計方法彌補了經(jīng)典濾波器設計不能使用時域誤差指標的不足。更有意義的是，在同時存在時域誤差與頻域通帶起伏要求的情況下，可將兩種方法結合起來使用以滿足設計要求。

4 結 語

對于存在濾波器時域失真性能要求的應用場合，由于經(jīng)典的濾波器設計方法不能將時域失真要求設置為設計指標，因而無法直接采用。針對這一問題，筆者考察了產(chǎn)生這一困難的原因，探索了可能的解決途徑?？疾毂砻鳎趯V波器進行相位補償后，就可以導出時域信號誤差的上界并進而據(jù)此形成設計指標。在此基礎上，筆者就巴特沃斯濾波器提出了一種新的濾波器設計方法，用時域信號誤差指標代替了經(jīng)典設計中的通帶起伏指標，并給出了完整的設計公式。比較與示例分析表明，此設計方法與經(jīng)典設計方法的算法難度基本相同，且完全相容。因此，將兩種設計方法結合，就可適用于同時存在通帶起伏要求和時域誤差要求的應用場合。此外，雖然筆者僅就巴特沃斯濾波器進行了探索，但從文中分析可見，所提出方法在原理上也可適用于經(jīng)相位補償后的其他濾波器形式。

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