具有整數(shù)伸縮因子的多變量向量值雙正交多小波包

朱玉清， 衛(wèi)艷榮， 程正興

(1.南陽(yáng)理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院 河南 南陽(yáng) 473004； 2.濟(jì)源職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部 河南 濟(jì)源465650； 3.西安交通大學(xué) 理學(xué)院 陜西 西安 710049)

0 引言

多小波由于擁有良好的特性而被廣泛地應(yīng)用在圖像壓縮、信號(hào)處理[1]、求解積分方程與微分方程等方面.向量值小波是一類廣義多小波.Xia和Suter[2]引入向量值正交小波的概念.文獻(xiàn)[3]討論了多重向量值雙正交小波的存在性及其構(gòu)造.文獻(xiàn)[4]運(yùn)用多重向量值雙正交小波變換研究海洋渦流現(xiàn)象.為了改變小波基的頻域局部性，人們引入一元正交小波包的概念.楊建偉等[5]將一元正交小波包的概念推廣到多元小波包的情形，給出多元正交小波包的定義.文獻(xiàn)[6]進(jìn)一步給出多變量多重雙正交小波包的定義、構(gòu)造及其性質(zhì).受文獻(xiàn)[3,6]的啟發(fā)，本文給出具有伸縮因子aIn2≤a,n∈Z的多變量向量值雙正交小波包的定義及其構(gòu)造，討論了它們的性質(zhì).利用向量值小波包，構(gòu)造了空間L2(Rs,Cn)的一個(gè)新的基底.

(1)

稱多元向量值函數(shù)列{?v(x-k):v=1,2,…,n}k∈Zd為子空間V的Riesz基，如果它們滿足下列兩個(gè)條件:(i)對(duì)任意Γ(x)∈V，都存在唯一的常數(shù)序列b={bv(k):v=1,2,…,n}k∈Zd使得

(ii)存在常數(shù)0

1 多元向量值多分辨分析

多分辨分析方法是構(gòu)造小波的常用方法.先引進(jìn)多元向量值函數(shù)空間L2(Rs,Cn)的多元向量值多分辨分析.設(shè)?j(x)=L2(Rs,Cn)，j=1,2,…,n分別滿足下列n個(gè)方程，

(2)

其中{bi,j(k),i,j=1,2,…,n}是一個(gè)有限支撐數(shù)列.記H(x)=(?1(x),?2(x),…,?n(x))，根據(jù)矩陣?yán)碚摚匠?2)等價(jià)于方程(3)，

(3)

(4)

定義一個(gè)閉子空間序列Uj?L2(Rs,Cn)為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

L2(Rs,Cn)=U0⊕j≥0Wj=⊕j∈ZWj=⊕j∈Z(⊕μ∈ΛWj(μ)).

(11)

2 多變量向量值雙正交多小波包的概念與性質(zhì)

引入多變量向量值雙正交多小波包.然后，討論它們的性質(zhì).引入記號(hào)

(12)

(13)

為了討論多變量值雙正交多小波包的性質(zhì)，給出2個(gè)引理.

證明由于R2=Uλ∈Zs([0,2π]s+2πλ)，而且當(dāng)λ1,λ2∈Zs,λ1≠λ2時(shí)，([0,2π]s+2πλ1)∩([0,2π]s+2πλ2)=Φ.

(14)

AΩσ=⊕μ∈Λ0Ωmσ+μ，j∈Z+；

(15)

(16)

參考文獻(xiàn)：

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