非守恒流體力學(xué)方程組粘性擾動技術(shù)的改進

張 瑗, 郭美珍

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非守恒流體力學(xué)方程組粘性擾動技術(shù)的改進

張 瑗1, 郭美珍2

(1. 長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院, 湖南 長沙, 410004; 2. 湖南科技學(xué)院 計算機系, 湖南 永州, 425100)

結(jié)合以FD-WENO格式為基礎(chǔ)構(gòu)造的求解非守恒理想流體力學(xué)方程組的數(shù)值方法, 對求解非守恒流體力學(xué)方程組的粘性擾動技術(shù)進行了改進, 并通過求解Riemann問題對其進行了測試. 數(shù)值試驗表明: 采用改進后的粘性校正項進行計算能夠獲得更好的數(shù)值結(jié)果.

雙曲守恒律組; 非守恒方程組; 粘性擾動; FD-WENO格式

在絕熱條件下, 守恒形式的一維可壓縮理想流體力學(xué)方程組為:

其中,,分別表示流體的密度、速度和壓強,表示單位質(zhì)量流體所攜帶的總能量, 并設(shè)其滿足氣體狀態(tài)方程:

這里是單位質(zhì)量流體所攜帶的內(nèi)能,是絕熱指數(shù), 對于空氣=1.4. 令:

方程組(1)可表示為雙曲守恒律組:

的形式, 并可用各種求解雙曲守恒率組的數(shù)值格式, 如高階FD-WENO格式[1]、Godunov格式[2]等進行求解. 然而在許多特殊情形下, 例如在可壓縮多介質(zhì)問題計算中避免壓力振蕩的需要以及對于某些特殊問題為了避免壓強出現(xiàn)負(fù)值等, 我們選擇通過關(guān)系式(2)把方程組(1)寫成以內(nèi)能作未知函數(shù)的非守恒形式:

直接離散非守恒系統(tǒng)會導(dǎo)致不正確的激波速度及通過激波傳播的錯誤跳躍, 1992年, Karni于文獻[3]中提出求解非守恒流體力學(xué)方程組(6)的粘性擾動技術(shù), 在方程組的右端增加一個校正項, 再利用迎風(fēng)格式進行求解, 非守恒系統(tǒng)理論及算法的更多研究可參見文獻[4-5]. 我們也于文獻[6]中以求解雙曲守恒律組的5階FD-WENO格式為基礎(chǔ), 結(jié)合粘性擾動技術(shù)構(gòu)造了兩類用于求解非守恒雙曲型方程組的數(shù)值方法. 通過實踐發(fā)現(xiàn), 對于校正項的構(gòu)造加以改進能夠獲得更好的計算效果.

1 粘性擾動技術(shù)的改進

以一維問題為例說明求解非守恒方程組(6)的粘性擾動技術(shù)及其改進.

對于文獻[6]中構(gòu)造的兩類求解非守恒型方程組(6)的數(shù)值方法(方法1和方法2), 應(yīng)用粘性擾動技術(shù), 即在方程組右端增加一個校正項, 再用這兩類數(shù)值方法進行求解, 如用方法1求解方程組:

其中,

這里1=|+|+|-|,2=|+|-|-|, 時間導(dǎo)數(shù)項用空間導(dǎo)數(shù)項代替, 即令:

u=-uu-(-1)()/,

其中空間導(dǎo)數(shù)項采用中心差商進行計算. 我們所采用的校正項類似于文獻[3]是由一階迎風(fēng)格式推導(dǎo)出來的, 注意到方程組(5)中僅有第3個方程不守恒, 故式(9)中也只對第3個方程進行了修正. 通過實踐我們發(fā)現(xiàn), 它同樣能與高精度格式較好地結(jié)合, 而且如果根據(jù)迎風(fēng)效應(yīng)改用向前或向后差商逼近和()能夠獲得更好的計算效果, 即可以改用式(10)計算式(9)中的空間導(dǎo)數(shù)項.

2 數(shù)值試驗

通過數(shù)值試驗對上述求解非守恒型方程組(6)的粘性擾動技術(shù)進行測試.

圖1 Sod’s Riemann問題, 中心差商計算空間導(dǎo)數(shù)求解所獲數(shù)值結(jié)果的密度值

圖2 Sod’s Riemann問題, 改進式計算空間導(dǎo)數(shù)求解所獲數(shù)值結(jié)果的密度值

圖3 Lax’s Riemann問題, 中心差商計算空間導(dǎo)數(shù)求解所獲數(shù)值結(jié)果的密度值

圖4 Lax’s Riemann問題, 改進式計算空間導(dǎo)數(shù)求解所獲數(shù)值結(jié)果的密度值

由算例1、2可看出采用方法1、2結(jié)合改進后的粘性擾動技術(shù)求解非守恒型方程組能夠獲得令人滿意的數(shù)值結(jié)果, 特別是對于具有較強激波強度的Lax’s Riemann問題, 改進后的粘性擾動技術(shù)優(yōu)勢較為明顯. 因此我們有理由相信, 采用非守恒形式求解較為復(fù)雜的流體力學(xué)問題時, 可以對其粘性校正項進行改進.

3 結(jié)論

本文對求解非守恒流體力學(xué)方程組的粘性擾動技術(shù)進行了改進, 數(shù)值試驗表明: 在求解非守恒可壓縮理想流體力學(xué)方程組時, 采用改進后的粘性校正項進行計算能夠獲得更好的數(shù)值結(jié)果. 但是也應(yīng)當(dāng)指出: 對于非守恒雙曲型方程組(6)來說, 其理論與算法研究都絕非易事, 目前還沒有相關(guān)理論表明其數(shù)值解一定能收斂到原問題的熵解. 因此我們建議在通常情況下, 應(yīng)盡量將問題寫成守恒形式進行求解, 只有在特殊情形下才考慮將問題寫成非守恒形式進行求解.

[1] Jiang G S, Shu C W. Efficient implementation of weighted ENO schemes[J]. J Comput Phys, 1996, 126(1): 202-228.

[2] 水鴻壽. 一維流體力學(xué)差分方法[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 1998: 443-472.

[3] Karni S. Viscous shock profiles and primitive formulations [J]. SIAM J Numer Anal (S0036-1429), 1992, 29(6): 1592-1609.

[4] Castro M J, LeFloch P, Mu?oz-Ruiz M L, et al. Why many theories of shock waves are necessary: Convergence error in formally path-consistent schemes[J]. J Comput Phys, 2008, 227(17): 8107-8129.

[5] Abgrall R, Karni S. A comment on the computation of non-conservative products[J]. J Comput Phys, 2010, 229(8): 2759-2763.

[6] 張瑗, 李壽佛. 非守恒理想流體力學(xué)方程組的若干數(shù)值方法[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報, 2007, 19(17): 3914-3918.

The improvement of viscous perturbations technical fornon-conservative fluid dynamics equations

ZHANG Yuan1, GUO Mei-zhen2

(1. School of Mathematics and Computational Science, Changsha University of Science & Tecnology, Changsha 410004, China; 2. Department of Computer Science, Hunan University of Science and Engineering, Yongzhou 425100, China)

The improvement of viscous perturbations technical for non-conservative fluid dynamics equations has been put forward and were tested on Riemann problems conjunction with thenumerical methods based on FD-WENO schemes for solving non-conservative ideal fluid dynamics equations. The numerical evidence shows that the use of the improved viscous correction terms can get better numerical results.

hyperbolic conservation laws; non-conservative equations; viscous perturbation; FD-WENO schemes

10.3969/j.issn.1672-6146.2012.03.003

O 35; O 241.81

1672-6146(2012)03-0008-04

2012-06-25

湖南省教育廳科研項目(08C121); 湘潭大學(xué)“科學(xué)工程計算與數(shù)值仿真”湖南省重點實驗室開放基金課題

張瑗(1978-), 女, 博士, 研究方向為計算流體力學(xué)及微分方程數(shù)值方法. E-mail: iamzhangyuan@163.com

(責(zé)任編校: 劉曉霞)