圓形基礎(chǔ)的臨界荷載和形狀系數(shù)

樓曉明，朱克宏，朱亞娟

（1.同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092；2.中鐵二十四局集團(tuán)有限公司，上海 200070；3.上海港灣軟地基處理有限公司，上海 200092）

用理論公式計(jì)算地基承載力的方法有兩大類，一類稱為界限荷載公式，另一類稱為極限荷載公式.

通過限制塑性區(qū)范圍的界限荷載公式，自前蘇聯(lián)20世紀(jì)50年代的地基規(guī)范采用以后我國的地基規(guī)范至今一直采用.我國建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范一直推薦條形荷載下地基承載力的理論公式p1／4（臨界荷載）、pcr（臨塑荷載）作為地基承載力的特征值或容許值［1－2］，臨塑荷載與臨界荷載統(tǒng)稱界限荷載或界限承載力.

在實(shí)際工程中，矩形、圓形的獨(dú)立基礎(chǔ)更為常見，靜載試驗(yàn)也通常采用方形、圓形的載荷板.將平面應(yīng)變條件下推導(dǎo)的p1／4，pcr用于矩形或圓形的獨(dú)立基礎(chǔ)雖然是偏安全的，但當(dāng)這種差異較大時，也就意味著地基承載力還有較大的潛力，不可忽視.

根據(jù)剛塑性力學(xué)推導(dǎo)的極限荷載公式，Terzaghi，Meyerhof，Hansen，Vesic通過形狀修正系數(shù)將條形基礎(chǔ)極限荷載公式各組成部分進(jìn)行逐項(xiàng)修正，可用于矩形、圓形基礎(chǔ)的承載力計(jì)算［3］.上海地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范1999年、2010年版均推薦了用Hansen極限承載力公式計(jì)算地基承載力設(shè)計(jì)值的方法，粘聚力和內(nèi)摩擦分別除以不同的分項(xiàng)系數(shù)作為安全儲備，采納了其基礎(chǔ)形狀修正系數(shù)［4］.修正方法對于圓形基礎(chǔ)在假定剛塑性的前提下有復(fù)雜的軸對稱解［5］；對于矩形基礎(chǔ)，由于在數(shù)學(xué)上求解困難很大，多是根據(jù)各種形狀基礎(chǔ)所做的對比載荷試驗(yàn)得到的［3，6］.周中等假定主動朗金區(qū)、過度區(qū)、被動朗金區(qū)為圓錐或環(huán)錐面，推導(dǎo)了圓形地基與粘聚力、基礎(chǔ)埋深相關(guān)的極限承載力理論解，經(jīng)多種土性指標(biāo)驗(yàn)算，結(jié)果與Vesic半經(jīng)驗(yàn)解接近；與基礎(chǔ)寬度或土體重度相關(guān)的極限承載力項(xiàng)直接采用Vesic半經(jīng)驗(yàn)解［7］.應(yīng)永法等用非線性有限元分析了圓形板幾何尺寸、剛度、埋深、邊界條件對基礎(chǔ)沉降、塑性區(qū)、極限承載力的影響，未討論圓形基礎(chǔ)的形狀影響［8］.

我國長期采用基于界限荷載的條形基礎(chǔ)承載力公式，總體上還缺乏采用地基極限承載力及安全系數(shù)取值的經(jīng)驗(yàn).對于界限荷載公式，則沒有考慮基礎(chǔ)形狀方面的理論與經(jīng)驗(yàn)：界限荷載中是否應(yīng)考慮基礎(chǔ)形狀系數(shù)？如要考慮，與極限承載力公式中的基礎(chǔ)形狀系數(shù)是否相同？

本文根據(jù)平面應(yīng)變條件下推導(dǎo)p1／4，pcr的相同思路建立圓形基礎(chǔ)的界限荷載公式及基礎(chǔ)形狀系數(shù)，并與極限荷載公式中的形狀系數(shù)比較，為確定圓形基礎(chǔ)形狀系數(shù)提供依據(jù).這雖然是一個經(jīng)典土力學(xué)問題，鑒于我國現(xiàn)在、將來需要大量修建各種油罐、筒倉，完善圓形基礎(chǔ)的承載力理論及更好地了解圓形基礎(chǔ)的承載機(jī)理具有重要現(xiàn)實(shí)意義.

1 圓形基礎(chǔ)的界限荷載與形狀系數(shù)

1.1 圓形荷載作用下地基任意點(diǎn)的附加應(yīng)力

根據(jù)彈性力學(xué)空間軸對稱問題的基本解法可知，在半徑為R的圓形均布垂直荷載q作用下，彈性半空間體內(nèi)距離圓心水平距離為r、深度為z處的4個應(yīng)力分量表達(dá)式如下［9］：

本文根據(jù)公式（1）采用 MATLAB軟件編程計(jì)算出圓形荷載下地基中任意點(diǎn)的附加應(yīng)力數(shù)值解.

1.2 圓形基礎(chǔ)下地基中塑性區(qū)的計(jì)算

考慮基礎(chǔ)埋深D和地基土的自重應(yīng)力，圓形均布垂直荷載q作用下，地基中任意點(diǎn)的總應(yīng)力為

式中：γ0為基底以上土體重度；γ為基底以下土體重度；K為地基土靜止側(cè)壓力系數(shù)，為了與條形荷載比較，本文計(jì)算時假定K＝1，μ＝0.5.

求得主應(yīng)力σ1，σ2，σ3后，根據(jù) Mohr－Coulomb極限平衡理論可判斷土體的某點(diǎn)是否滿足極限平衡狀態(tài).當(dāng)某點(diǎn)正好達(dá)到該狀態(tài)時，大小主應(yīng)力滿足

式中，c，φ分別為土的粘聚力和內(nèi)摩擦角.令

由土體中一點(diǎn)達(dá)到極限平衡狀態(tài)時的摩爾圓可知，當(dāng)土體中一點(diǎn)正好達(dá)到極限平衡時β＝1；當(dāng)β＞1時，土體已經(jīng)處于塑性破壞狀態(tài)；當(dāng)β＜1時，土體正好處于彈性狀態(tài).連接地基內(nèi)所有β＝1的點(diǎn)，即可得到地基的塑性區(qū)開展情況.

1.3 圓形基礎(chǔ)界限荷載與形狀系數(shù)的表達(dá)

根據(jù)塑性區(qū)的容許深度可得地基土的容許承載力.為了便于與條形基礎(chǔ)的界限荷載比較，本文仍按照塑性區(qū)開展深度zmax＝d／4求圓形基礎(chǔ)地基相應(yīng)的臨界荷載p1／4，其中d為圓形荷載直徑.條形基礎(chǔ)的臨界荷載p1／4和臨塑荷載pcr采用式（5）計(jì)算：

式中：B為條形基礎(chǔ)寬度；Nγ，Nq，Nc為條形荷載的承載力系數(shù)，是φ的函數(shù).圓形基礎(chǔ)的臨界荷載p1／4和臨塑荷載pcr采用相似的計(jì)算公式.

式中：N′γ，N′q，N′c為圓形基礎(chǔ)的界限承載力系數(shù).

在地基極限承載力理論中，圓形基礎(chǔ)的承載力通常通過修正條形基礎(chǔ)承載力形狀系數(shù)后得到.

令sγ＝N′γ／Nγ，sc＝N′c／Nc，sq＝N′q／Nq，sγ，sc，sq即為圓形基礎(chǔ)界限荷載系數(shù)Nγ，Nc，Nq的形狀系數(shù).圓形基礎(chǔ)p1／4和pcr計(jì) 算公式相應(yīng)改寫為

2 圓形基礎(chǔ)界限荷載的形狀系數(shù)計(jì)算

2.1 Nγ項(xiàng)的圓形基礎(chǔ)形狀系數(shù)sr

假定地基土K＝1，μ＝0.5，式（6）中D＝0，c＝0，此時圓形荷載的界限荷載p1／4＝γ（2R）N′γ.假定一基礎(chǔ)直徑，改變計(jì)算荷載，塑性區(qū)最大深度為d／4時的荷載是p1／4，根據(jù)上述公式可以算出這一基礎(chǔ)的N′γ；改變荷載半徑和土重度等參數(shù)重新進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)N′γ不隨這些參數(shù)變化而變化.

假定條形荷載寬度與圓形荷載直徑相等，圖1列出了條形荷載及圓形荷載的承載力系數(shù)隨內(nèi)摩擦角的變化情況.根據(jù)圖1可以算出圓形荷載的形狀系數(shù)sγ＝N′r／Nγ，如圖2a所示.通過曲線擬合，可以得到形狀系數(shù)的表達(dá)式

圖1 條形、圓形基礎(chǔ)臨界荷載系數(shù)NγFig.1 Factors Nγof critical load of circular and strip foundation

由圖1可見，當(dāng)土的內(nèi)摩擦角增大時，N′γ隨之增大，說明地基的承載力提高.同時從圖2a可以看出，當(dāng)摩擦角小于21°時，形狀系數(shù)隨土的內(nèi)摩擦角增大而不斷增大；當(dāng)超過21°時，形狀系數(shù)開始下降，這主要是由于此時圓形荷載的計(jì)算承載力系數(shù)隨內(nèi)摩擦角的增長趨勢變得平緩一些了.

2.2 Nc項(xiàng)的圓形基礎(chǔ)形狀系數(shù)sc

令γ＝0，D＝0（不考慮土重），可類似進(jìn)行Nc與N′c的比較.圖2b反應(yīng)了圓形和條形基礎(chǔ)承載力系數(shù)比N′c／Nc，即sc的變化趨勢.通過圖2b對圓形基礎(chǔ)的形狀系數(shù)進(jìn)行擬合，可得如下表達(dá)式：

由式（9）可見，當(dāng)土的內(nèi)摩擦角增大時，sc隨之增大，說明地基的承載力不斷提高.改變c值進(jìn)行計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)sc不隨c值變化而變化；改變R值進(jìn)行計(jì)算，sc也不隨R值變化而變化.

2.3 Nq項(xiàng)的圓形基礎(chǔ)形狀系數(shù)sq

令c＝0，N′γ為已知，改變其他參數(shù)分析N′q的變化.圖2c為圓形荷載與條形荷載承載力系數(shù)比N′q／Nq即sq的計(jì)算與擬合對比曲線，可知

從圖2c可以看出，當(dāng)土的內(nèi)摩擦角增大時，圓形基礎(chǔ)形狀系數(shù)不斷增大.改變D值，土體重度γ及荷載半徑無明顯變化.

3 圓形基礎(chǔ)界限與極限荷載的形狀系數(shù)比較

在地基極限承載力的各種理論公式中，有不少公式涉及了基礎(chǔ)形狀系數(shù)［3］，對于圓形基礎(chǔ)，相關(guān)系數(shù)的取值方法統(tǒng)一列于表1，其中Kp為被動土壓力系數(shù).鑒于界限承載力與極限承載力的區(qū)別主要體現(xiàn)在承載力系數(shù)Nγ，Nq，Nc中，在此將本文的基礎(chǔ)形狀系數(shù)與各極限承載力的基礎(chǔ)形狀系數(shù)進(jìn)行比較，周中等的理論解［7］與Vesic半經(jīng)驗(yàn)解接近，不再進(jìn)行單獨(dú)比較.

由圖3a為各公式形狀系數(shù)sc隨內(nèi)摩擦角變化的情況，可知，本文形狀系數(shù)的變化趨勢與Meyerhof，Hansen，Vesic的相同，但總體數(shù)值偏低一些.

表1 圓形基礎(chǔ)形狀系數(shù)Tab.1 Shape factors of circular foundations

圖3b為各公式形狀系數(shù)sq隨內(nèi)摩擦角變化的情況，可知，內(nèi)摩擦角較小時本文形狀系數(shù)的變化趨勢與Hansen，Vesic的接近，但總體數(shù)值偏低一些；內(nèi)摩擦角較大時本文形狀系數(shù)的變化趨勢與Meyerhof，Vesic的接近.

由圖3c為本文公式與Meyerhof形狀系數(shù)sr隨內(nèi)摩擦角變化的情況，可知，內(nèi)摩擦角在10°～30°范圍時sγ隨內(nèi)摩擦角變化差別較大.同時根據(jù)表1，只有本文公式與Meyerhof形狀系數(shù)sr大于1，其他均小于1.Terzaghi公式的形狀系數(shù)相對其他公式均較小.

綜合以上比較結(jié)果，本文根據(jù)理論計(jì)算得到的圓形基礎(chǔ)形狀系數(shù)sc，sq與已有成果較為接近，sγ則相差較大，建議實(shí)際使用取偏小的Meyerhof形狀系數(shù)sγ.由于極限承載力中的形狀系數(shù)都是根據(jù)各種形狀基礎(chǔ)所作的載荷模型對比試驗(yàn)得到，這也某種程度上證明了本文計(jì)算方法的合理性.

4 算例分析

為了確保計(jì)算界限承載力的準(zhǔn)確性，先將計(jì)算得到的圓形荷載下地基的應(yīng)力等值線的對稱性條件、豎向應(yīng)力與文獻(xiàn)［10］中已有的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).

某工程為粉質(zhì)粘土地基，已知土的重度為18.8 kN·m－3，粘聚力c＝16kPa，摩擦角φ＝14°，基礎(chǔ)埋深1.2m，靜載試驗(yàn)的荷載－沉降（p－s）曲線見圖4，根據(jù)s／b＝0.010～0.015的相對變形指標(biāo)承載力特征值為124～150kPa，其中b為荷載板寬度.

根據(jù)條形基礎(chǔ)公式，臨界荷載為126.5kPa，如表2所示，與條形基礎(chǔ)Prandle極限荷載比較，安全系數(shù)為2.21.根據(jù)圓形基礎(chǔ)公式，臨界荷載為154.4 kPa，如表2所示，與圓形基礎(chǔ)極限荷載比較，安全系數(shù)為2.24～2.49.可見，本文得到的圓形基礎(chǔ)臨界荷載相對于極限承載力的安全系數(shù)與條形基礎(chǔ)臨界荷載相對于極限承載力的安全系數(shù)大致是匹配的.

圖4 載荷板靜載試驗(yàn)的p－s曲線Fig.4 p－s curve of plate-bearing test

5 結(jié)論與討論

根據(jù)理論計(jì)算得到的圓形基礎(chǔ)臨界荷載形狀系數(shù)sc，sq與極限承載力的有關(guān)成果較為接近，sγ則相差較大，為安全起見，建議實(shí)際使用取偏小的Meyerhof形狀系數(shù)sγ.由于極限承載力中的形狀系數(shù)根據(jù)各種形狀基礎(chǔ)所作的載荷模型對比試驗(yàn)得到，這也某種程度上證明了本文計(jì)算方法的合理性.

表2 條形基礎(chǔ)與圓形基礎(chǔ)臨界荷載的安全系數(shù)Tab.2 Safety factors of critical bearing capacity of strip and circular foundations

圓形基礎(chǔ)臨界荷載相對于極限承載力的安全系數(shù)與條形基礎(chǔ)界限承載力相對于極限承載力的安全系數(shù)大致匹配，這說明對于圓形基礎(chǔ)采用臨界荷載作為設(shè)計(jì)使用荷載安全度是有保證的.

圓形基礎(chǔ)形狀系數(shù)sc，sq，sγ均隨內(nèi)摩擦角的增大而增大，因此，對于土性較好的圓形基礎(chǔ)，如果采用圓形基礎(chǔ)承載力公式設(shè)計(jì)而不是條形基礎(chǔ)，可更多地利用地基承載力，節(jié)省工程造價.

本文得到的圓形基礎(chǔ)臨界荷載公式（7）可以考慮以基底標(biāo)高為界的簡單雙層地基情況.對于基底以下的多層地基，實(shí)用上可采用Hansen加權(quán)平均法［11］，將最深塑性區(qū)d／4內(nèi)不同土層的重度、粘聚力和內(nèi)摩擦角按厚度加權(quán)平均，然后將這些平均值代入公式計(jì)算.這表明該公式只能反映最深塑性區(qū)以內(nèi)土層的作用.

若最深塑性區(qū)以下（z＞d／4）有軟弱下臥層，軟弱下臥層會改變上層土的應(yīng)力分布，軟弱層也可能是塑性區(qū)，臨界荷載計(jì)算時應(yīng)予以考慮.令基底與軟弱下臥層頂面間的持力層厚度為h，最新的上海地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范規(guī)定：當(dāng)0.25≤h／d≤0.70時，粘聚力和內(nèi)摩擦角按2層土的平均值計(jì)算；只有當(dāng)h／d＞0.70時，可不考慮軟弱下臥層的影響［4］.

采用多層彈性體系的有關(guān)解答，按照相似的思路也可以得到相應(yīng)的臨界荷載數(shù)值；但由于變量增加很多，要得到簡潔的計(jì)算公式、計(jì)算系數(shù)表達(dá)形式困難會非常大.

本文在推導(dǎo)圓形基礎(chǔ)臨界荷載公式時，為了方便與條形基礎(chǔ)比較，采用了相同的理想化假定模式，例如：地基土K＝1，出現(xiàn)塑性區(qū)后仍然用彈性力學(xué)計(jì)算土中應(yīng)力.由此帶來的局限性《土力學(xué)》教科書中均有論述，本文不再復(fù)述.

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