基于總體耦合矩陣法的滾動(dòng)聯(lián)軸器動(dòng)態(tài)特性研究*

徐海良，林良程，曾義聰，陳 奇

(中南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院∥高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)試驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410083)

隨著生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，旋轉(zhuǎn)機(jī)械向高速、重載、輕型化和自動(dòng)化發(fā)展，轉(zhuǎn)子與定子之間的間隙日趨減小，系統(tǒng)對(duì)聯(lián)軸器的性能要求也越來(lái)越高[1-3]。滾動(dòng)聯(lián)軸器是在國(guó)家科技攻關(guān)項(xiàng)目研究中發(fā)明的一種專利產(chǎn)品[4-5]，具有傳遞轉(zhuǎn)矩能力強(qiáng)，維修方便，使用壽命長(zhǎng)的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)設(shè)備之間的連接軸在環(huán)境惡劣和溫度變化大的條件下工作而發(fā)生的小量軸向位移、徑向位移和角偏差具有較強(qiáng)的補(bǔ)償能力，其性能超過(guò)齒輪聯(lián)軸器，是代替齒輪聯(lián)軸器的一種理想產(chǎn)品[6-9]。

滾動(dòng)聯(lián)軸器由左半聯(lián)軸器1、右半聯(lián)軸器2、滾動(dòng)體3、 滾道4和防塵蓋5組成，如圖1所示。其工作原理：左聯(lián)軸器通過(guò)擠壓滾動(dòng)體把轉(zhuǎn)矩的傳遞給右半聯(lián)軸器實(shí)現(xiàn)傳動(dòng)；當(dāng)左、右半聯(lián)軸器存在軸向位移、徑向位移和角度偏差時(shí)，滾動(dòng)體會(huì)在滾道內(nèi)滾動(dòng)以實(shí)現(xiàn)不對(duì)中補(bǔ)償，從而有效防止軸系不對(duì)中而產(chǎn)生附加載荷及振動(dòng)；同時(shí)傳動(dòng)中由于滾動(dòng)體只受擠壓力，具有較大的承載能力。可廣泛應(yīng)用于冶金機(jī)械、礦山機(jī)械、石油機(jī)械、起重運(yùn)輸機(jī)械、工程機(jī)械、化工機(jī)械、建材機(jī)械、船舶、水泵、風(fēng)機(jī)等行業(yè)。因此，對(duì)該種聯(lián)軸器的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行理論研究，具有十分重要的意義。

1.左半聯(lián)軸器;2.右半聯(lián)軸器;3.滾動(dòng)體;4.滾道;5.防塵蓋

2 滾動(dòng)聯(lián)軸器嚙合數(shù)學(xué)模型

滾動(dòng)聯(lián)軸器通過(guò)擠壓滾動(dòng)體實(shí)現(xiàn)力矩的傳遞，因此滾動(dòng)體的受力狀態(tài)直接影響聯(lián)軸器的傳動(dòng)性能，對(duì)滾動(dòng)體進(jìn)行受力分析，得到其受力模型如圖2。

圖2 滾動(dòng)體受力分析

聯(lián)軸器在傳動(dòng)過(guò)程中，只有兩個(gè)滾動(dòng)體受到擠壓起到傳遞轉(zhuǎn)矩的作用，由受力分析圖2可知：

滾動(dòng)體所受壓力

(1)

式中：T為轉(zhuǎn)矩，N·m；RD為滾動(dòng)體嚙合所處半徑，mm；φ為因徑向不對(duì)中引起的嚙合角度差，φ≈tanφ=ex/(2(RO-RC))；ex為徑向不對(duì)中量，mm；RC為滾動(dòng)體的半徑，mm；RO為滾道的半徑，mm。

根據(jù)Hz接觸理論，得到滾動(dòng)體受壓的最大應(yīng)變量[10-11]:

(2)

k(e)為第一類橢圓積分 ；ma為接觸橢圓偏心系數(shù)；E1為滾動(dòng)體材料的彈性模量；E2為滾道材料的彈性模量；υ1為滾動(dòng)體材料的泊松比；υ2為滾道材料的泊松比；Ro為滾道的半徑，mm。

由(1)(2)求得，聯(lián)軸器的等效嚙合剛度：

·

(3)

2.1 徑向剛度系數(shù)

設(shè)在Y方向上給一小位移Δy，則在滾動(dòng)體擠壓力Y方向上的彈性位移為dy=Δy|cos(θ+φ)|,滾動(dòng)體產(chǎn)生的彈性力Fs=KTdy。見(jiàn)圖3。

圖3 徑向力分析

由此得聯(lián)軸器的Y向等效剛度kyy和Y向位移引起的交叉等效剛度kxy分別為：

(θ+φ)

(4)

式中：θi為第i個(gè)滾動(dòng)體滾道所在位置與x軸的夾角

(θ+φ)sin(θ+φ)

(5)

同理，設(shè)在X方向上給一小位移Δx，得dx=Δx|sin(θ-φ)|，產(chǎn)生的彈性力Fs1=KTdx，則

(θ-φ)

(6)

(7)

聯(lián)軸器在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中θ是個(gè)時(shí)變量，令θ=ωt,并將(3)代入(4)(5)(6)(7)得

(8)

2.2 角向剛度

滾動(dòng)聯(lián)軸器在發(fā)生角偏差時(shí)，滾動(dòng)體在滾道中滾動(dòng)，產(chǎn)生的滾動(dòng)摩擦阻力矩Mθ很小可忽略不計(jì)，因此:

kθxx=kθyy=kθxy=kθyx= 0

(9)

2.3 徑向阻尼

滾動(dòng)聯(lián)軸器的阻尼主要產(chǎn)生于半聯(lián)軸器與滾動(dòng)體的滾動(dòng)摩擦。轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)中，摩擦產(chǎn)生的阻尼通常采用等效粘性阻尼來(lái)計(jì)算，即旋轉(zhuǎn)一周摩擦力耗損的能量等于粘性阻尼一周耗損的能量[12-13]。

當(dāng)聯(lián)軸器發(fā)生徑向位移時(shí)，滾動(dòng)體在滾道上的滾動(dòng)實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償，其滾動(dòng)摩擦阻力[14]：

(10)

式中：μk為滾動(dòng)摩擦系數(shù)，μk=0.01；d為滾動(dòng)體的直徑，mm；RD為滾動(dòng)體嚙合處所在的半徑，mm

假設(shè)兩半聯(lián)軸器在x軸方向存在初始振幅e0，由圖4可知，任意位置的偏移量可近似的表達(dá)為ex=e0cosωt， 則滾動(dòng)體在滾道上滾動(dòng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度:

ωe0sin(ωt)

(11)

圖4 徑向不對(duì)中運(yùn)動(dòng)軌跡

因此，一個(gè)滾動(dòng)體在聯(lián)軸器運(yùn)轉(zhuǎn)一周所耗損的能量

(ωt)=

(12)

所以可求得阻尼

(13)

2.4 轉(zhuǎn)角阻尼系數(shù)

由參考文獻(xiàn)[14]，滾動(dòng)體旋轉(zhuǎn)一圈所耗損的能量：

(14)

式中：P為傳遞功率，P=Tω;α為角振幅

則轉(zhuǎn)角阻尼為

(15)

3 滾動(dòng)聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)振動(dòng)方程

根據(jù)整體耦合矩陣法[15]，將聯(lián)軸器的耦合作用力轉(zhuǎn)化為通過(guò)剛度和阻尼來(lái)實(shí)現(xiàn)，其在xoz平面內(nèi)的受力分析如圖5所示，徑向作用通過(guò)徑向耦合剛度徑向剛度kxx、徑向交叉剛度kxy、徑向阻尼dr實(shí)現(xiàn); 角向作用通過(guò)角向剛度kθxx、角向交叉剛度kθxy、角向阻尼dθ實(shí)現(xiàn)。Fxc,Fxd分別表示聯(lián)軸器作用在c，d節(jié)點(diǎn)x向上的力;Nyc,Nyd表示聯(lián)軸器作用在c,d節(jié)點(diǎn)y向上的力矩。

圖5 聯(lián)軸器在xoz平面內(nèi)的耦合力分析

(16)

(17)

式中:Kcou和Ccou是滾動(dòng)聯(lián)軸器的剛度耦合矩陣和阻尼耦合矩陣

，

對(duì)于聯(lián)軸器耦合的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，兩轉(zhuǎn)子之間聯(lián)軸器的耦合力是內(nèi)力,但對(duì)單個(gè)轉(zhuǎn)子來(lái)說(shuō)是外力。假設(shè)聯(lián)軸器兩邊的節(jié)點(diǎn)編號(hào)c和d分別在1轉(zhuǎn)子上和2轉(zhuǎn)子上。根據(jù)集總參數(shù)模型，可獲得1轉(zhuǎn)子和2轉(zhuǎn)子的雙轉(zhuǎn)子振動(dòng)方程[15-17]。

′U=Fe-Fp

(18)

將(16)和(17)代入(18)得

(19)

其中：

，

將(18)代入(17)得耦合系統(tǒng)總振動(dòng)響應(yīng)微分方程：

′′+Kcc)U=Fe

(20)

求解式(19)可得系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)。

4 數(shù)值計(jì)算與結(jié)果分析

取某廠一小型渦輪燃?xì)鈾C(jī)進(jìn)行計(jì)算，該小型渦輪燃?xì)鈾C(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的等效計(jì)算模型如圖6所示。其結(jié)構(gòu)參數(shù)和支撐軸承動(dòng)力特性系數(shù)分別如表1、表2所示[15]。 滾動(dòng)聯(lián)軸器選用GDQ3型，滾動(dòng)體直徑d=10 mm，滾動(dòng)體嚙合所處的半徑RD=70 mm,設(shè)計(jì)徑向振幅e0=0.1 mm,角振幅α=0.5,其他具體參數(shù)如表3所示。

圖6 滾動(dòng)聯(lián)軸器耦合雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)計(jì)算模型

表1 滾動(dòng)聯(lián)軸器耦合雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)1)

表2 支撐軸承動(dòng)力學(xué)系數(shù)

由所求得的滾動(dòng)聯(lián)軸器的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)的表達(dá)式(8)、(9)、(13)、(15)可知，它們是關(guān)于系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩T的函數(shù)。因此，在3節(jié)點(diǎn)處施加一不平衡量5.1×10-5kg·m,轉(zhuǎn)速ω=1 000 rad/s，取傳遞轉(zhuǎn)矩T分別為1 N·m、100 N·m、1 000 N·m、1 800 N·m,聯(lián)軸器c,d節(jié)點(diǎn)的軸心軌跡曲線和不平衡響應(yīng)分別進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖7-8所示。

表3 聯(lián)軸器參數(shù)

圖7為左、右半聯(lián)軸器在不同轉(zhuǎn)矩下的軸心軌跡圖，由圖可知，滾動(dòng)聯(lián)軸器在ω=1 000 rad/s高速場(chǎng)合傳遞低轉(zhuǎn)矩時(shí)，由于聯(lián)軸器的剛度和阻尼很小，聯(lián)軸器耦合力很弱，聯(lián)軸器剛度和阻尼的非線性引發(fā)不平衡擾動(dòng)力使系統(tǒng)穩(wěn)定性降低，軸心軌跡混亂，而隨著傳遞轉(zhuǎn)矩的增大，聯(lián)軸器的剛度和阻尼增大，聯(lián)軸器耦合力增強(qiáng)，增加了系統(tǒng)的約束，聯(lián)軸器傳動(dòng)趨于穩(wěn)定。

由圖8(a)可知，在當(dāng)力矩從1 N·m增大到100 N·m時(shí)，左半滾動(dòng)聯(lián)軸器節(jié)點(diǎn)5的振動(dòng)幅值隨轉(zhuǎn)矩增大而急劇降低，節(jié)點(diǎn)幅值由7.5×10-6m降到2.3×10-6m，這有利于聯(lián)軸器從最初的不穩(wěn)定傳動(dòng)狀態(tài)快速調(diào)整到相對(duì)穩(wěn)定的傳動(dòng)狀態(tài)；繼續(xù)增大轉(zhuǎn)矩，振幅變化不明顯，最后趨于穩(wěn)定，說(shuō)明其能較好的適應(yīng)非穩(wěn)定轉(zhuǎn)矩的重載系統(tǒng)。

通過(guò)對(duì)比分析圖8(a)和圖8(b)可知，隨著轉(zhuǎn)矩的增大，節(jié)點(diǎn)6(d)的振動(dòng)響應(yīng)幅值并非像節(jié)點(diǎn)5(c)的振動(dòng)響應(yīng)幅值那樣先大幅度降低再趨于相對(duì)穩(wěn)定，而是其響應(yīng)幅值一直維持在相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)，由此可知，滾動(dòng)聯(lián)軸器能較好地隔離不利振動(dòng)在軸系間的傳遞,有利于多跨度系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行。

圖7 軸心軌跡圖

圖8 時(shí)域響應(yīng)

5 結(jié) 論

本文根據(jù)滾動(dòng)聯(lián)軸器嚙合數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)了滾動(dòng)聯(lián)軸器的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并采用總體耦合矩陣法，建立了滾動(dòng)聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)的振動(dòng)方程。結(jié)合實(shí)例，計(jì)算分析了不同轉(zhuǎn)矩情況下聯(lián)軸器—轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)中聯(lián)軸器的動(dòng)態(tài)特性規(guī)律，得到了如下結(jié)論：

1)在低轉(zhuǎn)矩高速傳動(dòng)中，滾動(dòng)聯(lián)軸器耦合力弱，對(duì)轉(zhuǎn)矩大小敏感，其傳動(dòng)性能不佳，但隨轉(zhuǎn)矩增大，聯(lián)軸器耦合力增強(qiáng)，其振幅急劇降低，能快速地調(diào)整到穩(wěn)定傳動(dòng)狀態(tài)；

2)在大轉(zhuǎn)矩高速工況下傳動(dòng)時(shí)，滾動(dòng)聯(lián)軸器的振幅變化幅度較小，表現(xiàn)良好的傳動(dòng)穩(wěn)定性，并且隨著轉(zhuǎn)矩的增大，幅值變化也逐漸減少，最后趨于穩(wěn)定，能較好的適應(yīng)非穩(wěn)定轉(zhuǎn)矩的重載系統(tǒng)；

3)滾動(dòng)聯(lián)軸器的左、右半聯(lián)軸器相互間的振動(dòng)幅值影響很小，能較好的隔離不利振動(dòng)的傳遞，有利于多跨度系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行。

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