橢圓曲面上不動點為二維實曲面的3階循環(huán)群作用

李紅霞

(上海海事大學 文理學院，上海 201306)

0 引言

曲面的虧格是反映曲面幾何性質的重要數(shù)據(jù)，已經有很多研究成果.如文獻［1］和［2］得到反映4－流形中嵌入曲面的虧格g與自交數(shù)［Σ］·［Σ］之間關系的共軛不等式

對于同倫K3曲面，文獻［3］得到虧格g與自交數(shù)［Σ］·［Σ］的關系式

此外，在群作用下，一些結果可以被提高.如利用穩(wěn)定同倫的 Seiberg－Witten 不變量，F(xiàn)URUTA 等［4］對K3與K3的連通和上的嵌入曲面Σ得到推廣的共軛不等式

EDMONDS［5］證明每個閉的單連通的拓撲4－流形上都存在奇素數(shù)階循環(huán)群作用，且除了3階循環(huán)群的某些情況外，這些作用都是同調平凡并且偽自由的.因此，若假設不動點集為二維實曲面，則循環(huán)群的階數(shù)只可能是3階.本文對橢圓曲面E(2k)(k≥1)上的3階循環(huán)群作用進行研究:假設群作用的不動點為二維實連通曲面Σ，研究該不動曲面Σ的虧格g與自交數(shù)［Σ］·［Σ］之間的關系.

1 預備知識

本節(jié)主要包括橢圓曲面的定義，4－流形上的群作用以及不動點與Spin數(shù)的相關內容.

假設X=E(n)為單連通的極小橢圓曲面(極小橢圓曲面是指不是通過其他橢圓曲面的爆破得到的曲面).由于 sign(E(n))= －8n，χ(E(n))=12n，于是 sign(E(2))= －16，χ(E(2))=24，因此E(2)就是K3曲面.

設Zp為4－流形X上的p階循環(huán)群作用，τ:X→X為Zp的一個生成元.如果 τ可以提升到Spinc叢上得到:PSpinc→PSpinc，則稱該循環(huán)群作用為Spinc作用.如果^τ為2p階，則稱該作用為偶型的;如果^τ為2p+1階，則稱該作用為奇型的.由文獻［9］可知任意奇數(shù)階循環(huán)作用都是偶型的.

根據(jù)局部Smith理論，Zp作用的不動點集F=Fix(τ)是由孤立點和二維實曲面構成的.而EDMONDS［5］證明所有的不動曲面均為二維球面S2當且僅當表示τ*在第二上同調H2(X)上為置換表示，其中τ*:H2(X)→H2(X).此外，有Lefschetz不動點公式

設 bi表示流形 X的第 i Betti數(shù)，b+(相應的b－)表示2－階上同調H2(X;R)的最大正定(相應的最大負定)子空間的維數(shù).kj表示Dirac算子D的G－指標IndGD的表示系數(shù).NAKAMURA［6］證明下面的Seiberg－Witten不變量的模－p消滅定理.

定理1 設X是光滑的閉的定向4－流形，G是X上的p階循環(huán)群作用(p為素數(shù))，且滿足(X)≥1，b+(X)≥2.當b1≥1時，假設XG不是空集.設c是一個G－不變的Spinc結構，L是c上的行列式叢.于是是非負的偶數(shù).如果存在d(c)/2的分解(d0，d1，…，dp－1)，滿足 d0+d1+ … +dp－1=d(c)/2，其中每個dj都是非負整數(shù)，且有

那么 c的 Seiberg－Witten不變量滿足 SWX(c)≡0 mod p.

2 主要結果

以下均假設X=E(2k)(k≥1)為單連通的極小橢圓曲面.Zp為4－流形X上的p階循環(huán)群作用，p為奇素數(shù).τ:X→X為Zp的一個生成元.設Zp作用的不動點集F=Fix(τ)為二維實連通曲面Σ，g表示其虧格，N=［Σ］·［Σ］表示其自交數(shù).

定理2 設X=E(2k)(k≥1)為單連通的極小橢圓曲面.τ:X→X為 X上的p階循環(huán)群作用(p為奇素數(shù)).為τ的保持平凡Spinc結構的提升.假設不動點集F由孤立點Pj和連通的 二維實流形Fk構成.則有Spin數(shù)的計算公式:

式中:αj(βj)表示 2πl(wèi)αj/p(2πl(wèi)βj/p)(且 0 ＜ αj，βj＜π);θk=2πl(wèi)θ/p(且0＜θk＜π);ε(Pjτ)=±1，正負號取決于τ在Spin叢上的作用.

該定理實際上是文獻［7］中定理3.1在橢圓曲面上的推廣，證明可參考文獻［8］～［10］.由定理2可得到下面兩個推論.

推論1對于任意的j=1，2，…，p－1，Spin(，X)=Spin(p－j，X).

證明由于式(1)在θ和－θ處的值相等，所以結論成立.

推論2 假設Z3在X=E(2k)(k≥1)上作用的不動點集為連通的二維實流形Σ，則Spin數(shù)有計算公式:

證明由于作用的不動點只有一個連通的二維實流形Σ，所以式(1)中與孤立不動點相關的部分消失.因為當 p=3時，θk=2π/3，所以 cos(θk/2)csc2(θk/2)=2/3.將其代入式(1)即得式(2).

下面討論橢圓曲面X=E(2k)(k=1，2)在循環(huán)群Z3作用下，不動點集為二維實連通定向曲面Σ時，該曲面的虧格g與自交數(shù)N之間的關系，得到如下定理.

定理3 設G=Z3為極小橢圓曲面X=E(2k)(k=1，2)上的3階循環(huán)群作用，且不動點集 XG為連通的二維實定向曲面Σ，則曲面Σ的虧格g與自交數(shù)N之間必滿足

由文獻［11］可知，標準橢圓曲面 E(4)的 Seiberg－Witten不變量滿足SWX(c)=2，標準橢圓曲面E(2)(同倫意義下就是K3)的Seiberg－Witten不變量等于1.因此，對于 G=Z3，橢圓曲面 X=E(2k)(k=1，2)均滿足SWX(c)≠0 mod 3.于是由定理1可得:必存在某個kj滿足

注意到X=E(2k)(k=1，2)的相交形式同構于2kE8⊕(4k－1)H，其中E8為負定的偶的幺模形式

如果 2k0≥－ 1，則 χ(Σ)+2N ≤ 6.又χ(Σ)=2 －2g，故 g≥N －2.

如果2k1=2k2≥－1，則g≥N －2.于是定理得證.

特別地，當不動曲面Σ=S2時，由于S2的虧格為0，故由定理3可得到此時自交數(shù)N必小于4.

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