基于可分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法的PDN阻抗的優(yōu)化

趙志超，張 申，張 輝

(1.西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，陜西西安 710071;2.西安電子科技大學(xué)天線與微波技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安 710071)

在高頻時(shí)，由于過孔或晶體管切換時(shí)電源引腳吸收瞬時(shí)電流，而穩(wěn)壓源VRM由于電源地平面噪聲的影響，無法及時(shí)提供恒定電壓，這時(shí)就會(huì)從電源地平面吸取大量電荷造成壓降，如果壓降超過5%波紋技術(shù)規(guī)范就會(huì)導(dǎo)致電源無法正常工作，造成嚴(yán)重的電源完整性問題。因此，如何解決電源噪聲問題為平面提供低阻抗路徑，成為電源分配網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。將電源允許的最大電壓波動(dòng)容限轉(zhuǎn)化為頻域的一個(gè)參數(shù):目標(biāo)阻抗?，F(xiàn)在把問題轉(zhuǎn)化為如何優(yōu)化電源分配網(wǎng)絡(luò)(PND)，以提供低阻抗，使得它在截止頻率內(nèi)小于目標(biāo)阻抗。為優(yōu)化PDN，最重要的兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)是去耦電容器的個(gè)數(shù)和種類的選擇。設(shè)計(jì)者可以通過迭代改變這些參數(shù)來控制PND諧振以減小阻抗峰值[1]。目前，對(duì)于系統(tǒng)級(jí)的PND的設(shè)計(jì)是基于一些單目標(biāo)隨機(jī)的算法，例如遺傳算法[2]和模擬退火[3-4]，而應(yīng)用單目標(biāo)方法優(yōu)化多目標(biāo)問題會(huì)造成較大的偏差，無法更加準(zhǔn)確地逼近PF。自2003年以來，進(jìn)化多目標(biāo)算法前沿的研究呈現(xiàn)出新的特點(diǎn)，對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問題本身性質(zhì)的研究也在深入。文中所應(yīng)用的基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法(MOEA/D)是近兩年來在進(jìn)化計(jì)算研究領(lǐng)域內(nèi)的先進(jìn)成果。它將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化問題，該算法將逼近整個(gè)Pareto前沿面(PF)的問題分解為一定數(shù)量的單目標(biāo)優(yōu)化問題，然后用進(jìn)化算法同時(shí)求解這些單目標(biāo)優(yōu)化問題。算法維持一個(gè)由每個(gè)子問題當(dāng)前最優(yōu)解組成的種群，子問題之間的近鄰關(guān)系定義為子問題權(quán)重向量之間的距離，每個(gè)子問題的優(yōu)化過程通過與其近鄰子問題之間的進(jìn)化操作完成[5]。

1 PDN中的去耦電容

1.1 電源分配網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)

本文采用電源分配網(wǎng)絡(luò)(PDN)的集總等效模型。首先是穩(wěn)壓器模塊(VRM)，如圖1所示，模型可以簡化為一個(gè)串聯(lián)的電阻和電感。從DC到大約50 kHz的頻率范圍內(nèi)，VRM的阻抗非常低，可以滿足芯片對(duì)瞬態(tài)電流的要求。

圖1 PDN拓?fù)涞募偟刃Ｐ?/p>

設(shè)計(jì)PDN的第一步是確定目標(biāo)阻抗，必須分別對(duì)電路板上所有芯片的各個(gè)電壓軌道進(jìn)行獨(dú)立設(shè)計(jì)。對(duì)于每個(gè)電壓軌道，目標(biāo)阻抗可能會(huì)隨頻率而改變，這取決于芯片各自的電流頻譜。當(dāng)一頻率分量的電流流過給定阻抗曲線的PDN時(shí)，在PDN上會(huì)產(chǎn)生電壓噪聲并且電壓降低，把電壓的5%規(guī)定為PDN中可接受波紋最大壓降，它所對(duì)應(yīng)頻域內(nèi)最大的阻抗，即目標(biāo)阻抗。可以得到

由于規(guī)定波紋指數(shù)是5%，所以式(1)可表示為

其中，Vdd為軌道電壓;Imax為芯片的最大電流。只有當(dāng)阻抗曲線低于目標(biāo)阻抗時(shí)，PDN符合設(shè)計(jì)要求，如果PDN阻抗某些峰值超過目標(biāo)阻抗，這時(shí)需要添加去耦電容來抑制這些峰值，使其低于目標(biāo)阻抗。

1.2 去耦電容網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)

去耦電容器網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)是PDN設(shè)計(jì)的重點(diǎn)，它決定了PDN的性能。一般PDN中都會(huì)包含各式各樣的電容器，對(duì)于如何分配去耦電容器及其位置并沒有達(dá)成共識(shí)。當(dāng)高頻時(shí)VRM不能提供低阻抗，此時(shí)，設(shè)計(jì)PDN阻抗曲線的策略就是選擇合適的容值種類和個(gè)數(shù)的電容器以保持峰值阻抗低于目標(biāo)阻抗。

要降低峰值阻抗就是要減小較大電容的串聯(lián)等效電感(ESL)或并聯(lián)更多電容器。這些電容的容值種類可以相同也可以不同。高頻時(shí)電容器的阻抗完全取決于ESL的并聯(lián)值，假設(shè)它們的ESL值都相同，該條件變?yōu)?/p>

其中，ESL為單個(gè)電容器的等效串聯(lián)電感;n為滿足目標(biāo)阻抗所需并聯(lián)電容器的個(gè)數(shù);Fmax為板級(jí)PDN設(shè)計(jì)起作用的最高頻率，即截止頻率。

式(3)從理論上確定了為滿足目標(biāo)阻抗所需并聯(lián)電容器的最少個(gè)數(shù)[6]

在不考慮容值的情況下，為減小所需電容器的個(gè)數(shù)，必須減小單個(gè)電容器的ESL。

PDN的輸入阻抗主要由去耦電容的個(gè)數(shù)和種類所決定

其中，YVRM是穩(wěn)壓源VRM的電導(dǎo);YPL是平面電容的電導(dǎo);Chrom*Y為所添加的總電容值;ZSPR是分布電感的阻抗;Zvia是過孔電感阻抗。

2 多目標(biāo)問題及算法

多目標(biāo)優(yōu)化問題(MOP)在現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用廣泛，一般需要同時(shí)優(yōu)化兩個(gè)或兩個(gè)以上的目標(biāo)并且這幾個(gè)目標(biāo)之間相互沖突，一個(gè)解對(duì)于某個(gè)目標(biāo)可能是可能較好，而對(duì)于其他目標(biāo)可能較差，因此存在一個(gè)折衷解的集合，稱為Pareto最優(yōu)解或非支配解集。對(duì)于多目標(biāo)問題最初的方法就是通過加權(quán)等方法把它們轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)的問題，然后用數(shù)學(xué)規(guī)劃法來求解，但每次只能得到一種權(quán)值情況下的最優(yōu)解，它僅僅是多目標(biāo)問題的Pareto前沿(PF)的一個(gè)解，而傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法往往效率很低，且它們對(duì)權(quán)重值或目標(biāo)給定的次序較敏感。針對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法的局限性，越來越多的研究者試著通過直接的方法去逼近PF。提出了很多先進(jìn)的多目標(biāo)算法，一些通過使用數(shù)學(xué)模型或基于進(jìn)化算法來逼近PF。其中，一種算法成功地將數(shù)學(xué)規(guī)劃中常用的分解方法引入到進(jìn)化多目標(biāo)領(lǐng)域，而且可以直接采用進(jìn)化算法求解單目標(biāo)優(yōu)化問題，文中即采用此算法:基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法(MOEA/D)。

在本文中，使用MOEA/D同時(shí)優(yōu)化去耦電容的種類和個(gè)數(shù)。文獻(xiàn)[7]分別描述了MOPs和MOEA/D的構(gòu)架。

2.1 MOPs的描述

目前，許多問題都是多目標(biāo)優(yōu)化的問題，單目標(biāo)問題只是特例。多目標(biāo)問題可以描述如下

其中，Ω是決策變量空間;C(x)代表問題約束和定義決策空間的可行域。F∶Ω→Rm由m個(gè)實(shí)值函數(shù)組成;Rm為目標(biāo)函數(shù)空間。

為平衡各個(gè)目標(biāo)，定義各個(gè)解之間的支配關(guān)系?，F(xiàn)在令 u=(u1，…，um)，v=(v1，…，vm)∈Rm是兩個(gè)向量，對(duì)于所有 f(x)的 i=1，…，m，如果有 ui≤vi并且u≠v，則稱u能支配v。如果不存在點(diǎn)x*∈Ω使得支配f(x*)，則稱點(diǎn)x*?Ω是最佳Pareto。所有Pareto最佳點(diǎn)叫作Pareto集合(PS)，與PS對(duì)應(yīng)的所有目標(biāo)向量叫作Pareto前沿(PF)，其中 PF={F(x)∈Rm/x∈PS}[8]。

2.2 基于分解的MOEA

MOEA/D使用分解方法把一個(gè)MOP分解成一系列的單目標(biāo)優(yōu)化問題。MOEA/D嘗試去集體和同時(shí)優(yōu)化這些單目標(biāo)以代替其他進(jìn)化算法的直接逼近Pareto前沿面(PF)，因?yàn)檫@些SOPs的每一個(gè)最優(yōu)解是給定MOP的一個(gè)Pareto最優(yōu)解。這些最優(yōu)解的集合就是一個(gè)pareto前沿面的逼近。每個(gè)子問題在當(dāng)前解集中都能找到一個(gè)局部最優(yōu)解。用權(quán)重響亮的歐氏距離來描述子目標(biāo)中鄰居之間的遠(yuǎn)近程度，而這個(gè)權(quán)重向量就是m個(gè)子目標(biāo)的聚合系數(shù)，通常認(rèn)為相鄰的子問題的最優(yōu)解應(yīng)該非常接近。子問題可以描述為

其中，λ =(λ1，…，λm)是一個(gè)權(quán)向量的集，對(duì)于所有的。

MOEA/D敘述如下:

(1)輸入。1)決定變量。2)N為MOEA/D中考慮的子問題的數(shù)目。3)λ1，…，λN為均勻分布的N個(gè)權(quán)重矢量。4)T為在每個(gè)權(quán)重矢量鄰居中的權(quán)重矢量的數(shù)量。5)停止判據(jù)。

(2)輸出。1)PS的近似值為 x1，…，xN。2)PF的近似值為F(x1)，…，F(xiàn)(xN)。

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

將去耦電容器的截止頻率 Fmax、等效串聯(lián)電感ESL和最大電流Imax作為決定變量，通過改變這些參數(shù)來改變電容器的個(gè)數(shù)。同時(shí)將電容器的種類和個(gè)數(shù)作為需要優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。將分解后的每個(gè)子問題中的目標(biāo)阻抗Ztargetj作為每個(gè)子問題的參考點(diǎn)Z*，通過調(diào)節(jié)決定變量來改變輸入阻抗Z0，使得它在截止頻率內(nèi)不要超過目標(biāo)阻抗。在本文中取幾種組合作仿真驗(yàn)證，MOEA/D算法中把參數(shù)設(shè)為:進(jìn)化代數(shù)60代;種群大小為150;鄰居個(gè)數(shù)為30個(gè);分解方法為Tchebycheff算法。在 PND 中，ZVRM=0.001 Ω;ZPL=0.003 Ω;RSPR=0.002 Ω;Rvia=0。

選取3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果。第一組選取的目標(biāo)阻抗Ztarget為0.1 Ω，截止頻率F max為50 MHz，獲得的電容器的方案如表1所示，PDN阻抗曲線如圖2所示。第二組選取的目標(biāo)阻抗Ztarget為0.2 Ω，截止頻率Fmax為100 MHz，獲得的電容器的方案如表2所示，PDN阻抗曲線如圖3所示。第三組選取的目標(biāo)阻抗 Ztarget為 0.2 Ω，截止頻率 Fmax為 80 MHz，獲得的電容器的方案如表3所示，PDN阻抗曲線如圖4所示。表1～表3中電容器種類限制均為6種。

表1 3種設(shè)計(jì)方法的電容器方案(目標(biāo)阻抗0.1 Ω，截止頻率50 MHz)

圖2 MOEA/D算法的PDN阻抗曲線(目標(biāo)阻抗0.1 Ω，截止頻率50 MHz)

表2 3種設(shè)計(jì)方法的電容器方案(目標(biāo)阻抗0.2 Ω，截止頻率100 MHz)

圖3 MOEA/D算法的PDN阻抗曲線(目標(biāo)阻抗0.2 Ω，截止頻率100 MHz)

表3 3種設(shè)計(jì)方法的電容器方案(目標(biāo)阻抗0.2 Ω，截止頻率80 MHz)

圖4 文中方法的PDN阻抗曲線(目標(biāo)阻抗0.2 Ω，截止頻率80 MHz)

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)頻率為50 MHz時(shí)，需要的去耦電容器是24個(gè);頻率為80 MHz時(shí)，去耦電容器的個(gè)數(shù)是58;當(dāng)頻率為100 MHz時(shí)，去耦電容器的個(gè)數(shù)是104。這表明隨著頻率的升高，所需的去耦電容器也越多。高頻時(shí)PND阻抗明顯增大，芯片噪聲嚴(yán)重，從圖中我們可以看到，未加去耦電容的PDN曲線在高頻時(shí)超過了目標(biāo)阻抗，并形成尖峰。而添加相應(yīng)的去耦電容后將PND曲線尖峰壓到目標(biāo)阻抗之內(nèi)，有效地抑制了噪聲?？梢钥吹剑诮刂诡l率內(nèi)PDN阻抗小于目標(biāo)阻抗，滿足在截止頻率內(nèi)阻抗設(shè)計(jì)的要求。

4 結(jié)束語

文中使用了基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法(MOEA/D)來優(yōu)化電源分配網(wǎng)絡(luò)(PDN)，去耦電容網(wǎng)絡(luò)中的兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)電容器的種類和個(gè)數(shù)被MOEA/D分解成兩個(gè)單目標(biāo)，并同時(shí)被優(yōu)化。它們的解是一個(gè)折衷的優(yōu)化解而并非是各自的最優(yōu)解，實(shí)驗(yàn)證明，它們逼近Pareto Front(PF)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果給出了優(yōu)化后電容器的種類和個(gè)數(shù)，數(shù)據(jù)顯示，截止頻率越高所需的電容個(gè)數(shù)越多，才能使PDN阻抗限制在規(guī)定的截止頻率內(nèi)滿足設(shè)計(jì)需要。

[1]ENGIN A E.Efficient sensitivity calculations for optimization of power delivery network impedance[J].IEEE Trans Electromagn Compat，2010，52(2):1511-1519.

[2]BHARATH K，ENGIN E，SWAMINATHAN M.Automatic package and board decoupling capacitor placement using genetic algorithms and mfdm[C].In Proc.45th ACM/IEEE Des.Autom Conf(DAC 2008)，2008:560-565.

[3]CHEN J，HE L.Efficient in-package decoupling capacitor optimization for i/o power integrity[J].IEEE Trans Compat-Aided Design Integr Circuits Syst，2007，26(4):734-738.

[4]ZHENG H，KRAUTER B，PILEGGI L.On-package decoupling optimization with package macromodels[C].In Proc.IEEE Custom Integr Circuits Conf，2003(9):723-726.

[5]GONG M G，JIAO L C，YANG D D，et al.Evolutionary mutilti-objective optimization algorithms[J].Journal of Software，2009，20(2):271-289.

[6]ERIC B.信號(hào)完整性分析[M].2版.李玉山，李麗平，譯.北京:電子工業(yè)出版社，2005.

[7]ZHANG Qingfu，LI Hui.MOEA/D:A Multiobjective Evolutionary Algoritm Based on Decomposition [J].IEEE Trans Evol Comput，2007，11(6):458-463.

[8]MIETTINEN K.Nonlinear multiobjective optimization[M].USA:Kluwer Academic，1999.