含參集值向量均衡問題弱全局有效解映射的連續(xù)性

【摘要】在賦范線性空間中，引進了含參集值向量均衡問題弱全局有效解的概念，得到了含參集值向量均衡問題的弱全局有效解集的標量化結(jié)果，并在標量化結(jié)果的基礎(chǔ)上，研究了含參集值向量均衡問題弱全局有效解映射的連續(xù)性.

【關(guān)鍵詞】含參集值向量均衡問題；弱全局有效解；上半連續(xù)；下半連續(xù)

【基金項目】國家自然科學(xué)基金（10561007）；江西省自然科學(xué)基金（2008GZS0072）；南昌航空大學(xué)博士啟動金項目“集合拓撲與非線性問題的穩(wěn)定性研究”（EA200907383）

我們知道，對向量變分不等式和向量均衡問題研究的一個重要問題是它們解的存在性.而另一個重要問題是研究向量變分不等式和向量均衡問題解集的性質(zhì)，例如穩(wěn)定性.特別是對含參向量變分不等式和含參向量均衡問題的研究，Li，chen和Teo，Cheng和Zhu及Gong等做了相關(guān)的研究.Gong在無限維空間中引進了向量均衡問題的各種真有效解的概念，其中包括f-有效解、Henig有效解、全局有效解、超有效解、錐超有效解、Benson有效解，并得到了相應(yīng)解集的標量化結(jié)果.本文在賦范線性空間中，引進了含參集值向量均衡問題弱全局有效解的概念，得到了含參集值向量均衡問題的弱全局有效解集的標量化結(jié)果，并在標量化結(jié)果的基礎(chǔ)上，研究了含參集值向量均衡問題弱全局有效解映射的連續(xù)性.在文獻［7］中，Henig有效解是在有基的情況下研究的下半連續(xù)性，而此篇文章是在intC≠的情況下研究的下半連續(xù)性.

1預(yù)備知識與定義

本文通篇設(shè)X，Y是實賦范線性空間，設(shè)Y*是Y的共軛空間，C是Y中的非空閉凸點錐.Z是X中的一個非空子集，F(xiàn)：A×A→2Y是一個集值映射.我們考慮以下的集值向量均衡問題（SVEP）:找出∈A，使得F(，y)-P，對所有y∈A，其中P∪{0}是Y中的凸錐.

C的對偶錐C*定義如下：

C*={f∈Y*：f(y)≥0，y∈C}.

C*的擬內(nèi)部C#定義如下：

C#={f∈Y*：f(y)>0，y∈C＼{0}}.

設(shè)D是Y中的非空子集，D的錐包定義為coneD={td：t≥0，d∈D}.

定義11 x∈A稱為是(SVEP)的弱有效解，若F(x，y)-intC，y∈A，(SVEP)的全體弱有效解全體記為Vw(A，F(xiàn)).

定義12 設(shè)f∈C*＼{0}，x∈A稱為是(SVEP)的f-有效解，若f(F(x，y))≥0，y∈A，其中f(F(x，y))≥0表示z∈F(x，y)，有f(z)≥0，(SVEP)的f-有效解全體記為Vf(A，F(xiàn)).

設(shè)Z是拓撲空間，Λ是Z的非空子集，E是X中非空子集；當集合A和函數(shù)F受到μ（其中μ∈ΛZ）擾動時，含參集值向量均衡問題(PSVEP)μ為：找出x∈A(μ)，使得F(x，y，μ)∩(-P)=，y∈A(μ).

其中P∪{0}是Y中的凸錐，F(xiàn)：E×E×Λ→2Y是集值映射，集值映射A：Λ→2X滿足μ∈Λ，A(μ)E.

對每個μ∈Λ，記Vw(μ)為(PSVEP)μ的弱全局有效解集，其中Vw(μ)={x∈A(μ)：F(x，y，μ)∩(-intC)=，y∈A(μ)}.

Henig有效解集為VH(μ)={x∈A(μ)：存在0<ε<δ，使得F(x，y，μ)∩(-intCε(B))=，y∈A(μ)}.

其中B是C的基，U是Y中的閉單位球，δ=inf{‖b‖：b∈B}，Cε(B)=cl(cone（B+εU))，0<ε<δ.

通過比較，我們可以得到VH(μ)Vw(μ).

同樣對每個f∈C*＼{0}，μ∈Λ，(PSVEP)μ的f-有效解集記為Vf(μ)={x∈A(μ)：f(F(x，y，μ))≥0，y∈A(μ)}.

定義13 設(shè)μ∈Λ，A(μ)是X中的一個非空凸子集，F(xiàn)：A(μ)×A(μ)×Λ→2Y是集值映射；若對任意固定的x∈A(μ)，y1，y2∈A(μ)，t∈［0，1］，有tF(x，y1，μ)+(1-t)#8226;F(x，y2，μ)F(x，ty1+(1-t)y2，μ)+C，則稱F(x，y，μ)關(guān)于第二個變量是C-凸的.

定義14 設(shè)μ∈Λ，A(μ)是X中的非空子集，F(xiàn):A(μ)×A(μ)×Λ→2Y是集值映射.

（1）稱F(#8226;，#8226;，μ)在A(μ)×A(μ)是C-單調(diào)的，如果x，y∈A(μ)，有F(x，y，μ)+F(y，x，μ)-C.

(2)稱F(#8226;，#8226;，μ)在A(u)×A(μ)上是C-嚴格單調(diào)的，如果F（#8226;，#8226;，μ)是C-單調(diào)的，且x，y∈A(μ)，當x≠y時，有F(x，y，μ)+F(y，x，μ)-intC.

定義15 稱從Z的子集Λ到X的集值映射A在μ∈Λ附近是一致緊的，如果存在μ的鄰域U，使得cl∪μ∈UA(μ)是緊集.

定義16 設(shè)G是從拓撲空間W到拓撲空間Q的集值映射.

（1）稱G:W→2Q在x0∈W點處是上半連續(xù)的，如果對G(x0)的任意一個鄰域U(G(x0))，存在x0的一個鄰域U(x0)，使得G(x)U(G(x0))，x∈U(x0)，稱G在W上是上半連續(xù)的，如果G在W上的每一個點是上半連續(xù)的.

（2）稱G:W→2Q在x0∈W點處是下半連續(xù)的，如果對y0∈G(x0)，以及y0的任意一個鄰域U(y0)，存在x0的鄰域U(x0)，使得G(x)∩U(y0)≠，x∈U(x0).

稱G在W上是下半連續(xù)的，如果G在W上每一個點是下半連續(xù)的.

稱G在W上是連續(xù)的，如果G在W上既是上半連續(xù)又是下半連續(xù)的.

(3)稱G是閉映射，如果Graph(G)={(x，y):x∈W，y∈G(x)}是W×Q的閉子集.

定義17 設(shè)X為一Hausdorff拓撲線性空間，K是X中的非空子集，稱G:K→2X為KKM映射，如果對任意的有限集{x1，…，xn}K，有co{x1，…，xn}∪ni=1G(xi).

引理11 (FKKM定理）設(shè)X為一Hausdorff拓撲線性空間，K是X中的非空子集，設(shè)G:K→2X為KKM映射，再設(shè)對每一x∈K，G(x)為X中的閉集，且至少存在一點x0∈K，G(x0)是X中的緊集，則∩x∈KG(x)≠.

引理12 設(shè)μ∈Λ，A(μ)是X中的非空凸子集，F(xiàn):A(μ)×A(μ)×Λ→2Y是集值映射，CY是閉凸點錐，F(xiàn)(x，y，μ)關(guān)于第二個變量是C-凸的，則對x∈A(μ)，F(xiàn)(x，A(μ)，μ)+C是凸集.

引理13 設(shè)C是Y中非空閉凸點錐，A是Λ到X的具有非空緊凸值的連續(xù)集值映射，E是X中的非空子集，F(xiàn):E×E×Λ→2Y是一個集值映射，μ∈Λ，A(μ)E，且x∈A(μ)，F(xiàn)(x，x，μ)C；又設(shè)F(x，y，μ)關(guān)于第一個變量是下半連續(xù)的，關(guān)于第二個變量是C-凸的，則對于任意固定的μ∈Λ，f∈C*＼{0}，Vf(μ)≠.

2含參集值向量均衡問題弱全局有效解集的標量化

定理21 設(shè)μ∈Λ，intC≠，則

(1)∪f∈C*＼{0}Vf(μ)Vw(μ)；

(2)又若x∈A(μ)，F(xiàn)(x，A(μ)，μ)是C-凸集，則Vw(μ)=∪f∈C*＼{0}Vf(μ).

證明 (1)設(shè)x∈∪f∈C*＼{0}Vf(μ)，則f∈C*＼{0}，使得x∈Vf(μ)，即有x∈A(μ)且

f(F(x，y，μ))≥0，y∈A(μ).（2.1）

若xVw(μ)，則有xA(μ)或者x∈A(μ).

若xA(μ)，顯然矛盾！

若x∈A(μ)，則存在y′∈A(μ)，使得F(x，y′，μ)∩(-intC)≠，y∈A(μ).

于是存在z∈F(x，y′，μ)且z∈(-intC)，那么由f∈C*＼{0}，則當z∈F(x，y′，μ)時，有f(z)≥0，而由z∈(-intC)，有f(z)<0，矛盾.

所以，x∈Vw(μ)，故∪f∈C*＼{0}Vf(μ)Vw(μ).

（2）由（1）知，只需證明Vw(μ)∪f∈C*＼{0}Vf(μ).

設(shè)x∈Vw(μ)，由定義F(x，y，μ)∩(-intC)=，y∈A(μ)，故F(x，A(μ)，μ)∩(-intC)=.所以(F(x，A(μ)，μ)+C)∩(-intC)=.

由已知條件，F(xiàn)(x，A(μ)，μ)+C是凸集，故由凸集分離定理知f∈Y*＼{0}，使得inf{f(F(x，y，μ)+c)：y∈A(μ)，c∈C}≥sup(f(-c)：c∈intC}，所以f(F(x，y，μ))≥0，y∈A(μ).因此，x∈∪f∈C*＼{0}Vf(μ)，于是Vw(μ)∪f∈C*＼{0}Vf(μ).

綜上可知，Vw(μ)=∪f∈C*＼{0}Vf(μ).

3解映射的上半連續(xù)性

定理3.1 設(shè)C是Y中的非空閉凸點錐，且intC≠，A是Λ到X的具有非空緊凸值的連續(xù)集值映射，E是X中的非空子集，μ∈Λ，A(μ)E，且A(#8226;)在μ∈Λ附近是一致緊的；設(shè)映射F:E×E×Λ→2Y是一個集值映射，μ∈Λ，F(xiàn)(#8226;，#8226;，μ)在A(μ)×A(μ)上是C-單調(diào)的，且x∈A(μ)，F(xiàn)(x，x，μ)C；又設(shè)F在E×E×Λ上是下半連續(xù)的，關(guān)于第二個變量是C-凸的，則Ww（#8226;）在Λ上是上半連續(xù)的.

證明 由引理1.3知，f∈C*＼{0}，μ∈Λ，有Vf(μ)≠.

對任意給定的μ∈Λ，x∈A(μ)，由引理1.2知，F(xiàn)(x，A(μ)，μ)是C-凸集.

再由定理2.1知，Vw(μ)=∪f∈C*＼{0}Vf(μ)，則Vw(μ)≠.

首先證明Vw(μ)為一個閉映射.

對任意的網(wǎng){xα}∈Vw(μα)，且μα→μ，xα→x，有F(xα，y，μα)∩(-intC)=，y∈A(μα).

因此有：F(xα，y，μα)-intC，y∈A(uα).（3.1）

因為xα∈A(μα)，A是上半連續(xù)的，且具有閉值，由［8］，A(μ)是一個閉映射，因此x∈A(μ).

如果xVw(μ)，則存在y0∈A(μ)，使得

F(x，y0，μ)∩(-intC)≠.（3.2）

由A的下半連續(xù)性，存在yα∈A(μα)，使得yα→y0，由（3.1）有F(xα，yα，μα)∈Y＼-intC.（3.3）

因為F為下半連續(xù)的，對（3.3）兩邊取極限，得F(x，y0，μ)∈Y＼-intC，即F(x，y0，μ)∩(-intC)=.

這與（3.2）矛盾，因此，x∈Vw(μ)，因此，Vw(#8226;)是一個閉映射.

下證Vw(#8226;)在Λ上是上半連續(xù)的.

假設(shè)存在某個μ∈Λ，使得Vw(#8226;)在μ點不是上半連續(xù)的，則存在Vw(μ)的一個開鄰域U和網(wǎng){μα，α∈I}，且μα→μ，使得Vw(μα)U，對α∈I.

因此，存在xα∈Vw(μα)，使得

xαU，對α∈I.（3.4）

因為xα∈Vw(μα)，所以有xα∈A(μα).

由已知，A(#8226;)在μ附近是一致緊的，我們假設(shè)xα→x*，因為Vw(#8226;)是閉映射，我們得到x*∈Vw(μ)U.

因為xα→x*，且U為一個開集，存在α0∈I，使得xα∈U，α≥α0，這與（3.4）矛盾，因此，Vw(#8226;)是上半連續(xù)的.

4解映射的下半連續(xù)性

引理4.1 設(shè)f∈C*＼{0}，μ∈Λ.若F(#8226;，#8226;，μ)在A(μ)×A(μ)上是C-嚴格單調(diào)的，且Vf(μ)≠，則Vf(μ)是單點集.

引理4.2 設(shè)C是Y中的非空閉凸點錐，A是Λ到X的具有非空緊凸值的連續(xù)集值映射，E是X中的非空子集，μ∈Λ，A(μ)E，且A(#8226;)在μ∈Λ附近是一致緊的；設(shè)映射F:E×E×Λ→2Y是一個集值映射，且x∈A(μ)，F(xiàn)(x，x，μ)C；又設(shè)F在E×E×Λ上是下半連續(xù)的，關(guān)于第二個變量是C-凸的，且對任意的μ∈Λ，F(xiàn)(#8226;，#8226;，μ)在A(μ)×A(μ)上是C-嚴格單調(diào)的，則對f∈C*＼{0}，Vf(#8226;)在Λ上是連續(xù)映射.

定理4.3 設(shè)C是Y中的非空閉凸點錐，且intC≠，A是Λ到X的具有非空緊凸值的連續(xù)集值映射，E是X中的非空子集，μ∈Λ，A(μ)E，且A(#8226;)在μ∈Λ附近是一致緊的；設(shè)映射F:E×E×Λ→2Y是一個集值映射，μ∈Λ，F(xiàn)(#8226;，#8226;，μ)在A(μ)×A(μ)上是C-嚴格單調(diào)的，且x∈A(μ)，F(xiàn)(x，x，μ)C；又設(shè)F在E×E×Λ上是下半連續(xù)的，關(guān)于第二個變量是C-凸的，則Vw(#8226;)在Λ上是下半連續(xù)的.

證明 由引理1.3知，f∈C*＼{0}，μ∈Λ，有Vf(μ)≠.

對任意給定的μ∈Λ，由引理1.2知，F(xiàn)(x，A(μ)，u)是C-凸集，再由定理2.1知，Vw(μ)=∪f∈C*＼{0}Vf(μ).

由引理4.1知，f∈C*＼{0}，Vf(μ)是單點集.設(shè)μα→μ，且x∈Vw(μ)，則f∈C*＼{0}，使得x=Vf(μ).由引理4.2知，Vf(#8226;)在μ處是連續(xù)的，從而有Vf(μα)→Vf(μ).令{xα}=Vf(μα)，由Vf(μα)Vw(μα)知，xα∈Vw(μα)，從而xα→x.因此，Vw(#8226;)在μ處是下半連續(xù)的，再由μ∈Λ的任意性可知，Vw(#8226;)在Λ上是下半連續(xù)的.

【參考文獻】

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［7］樂華明，陳斌，龔循華.含參集值向量均衡問題全局有效解映射和Henig 有效解映射的下半連續(xù)性. 南昌大學(xué)學(xué)報（理科版），2009(33).

［8］Aubin， J P and Ekeland， I. Applied Nonlinear Analysis ［M］. Wiley， New York(1984).