【摘要】研究性學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)新課程的一個(gè)亮點(diǎn),文章結(jié)合筆者自身教學(xué)實(shí)踐,針對(duì)課后習(xí)題提出學(xué)習(xí)案例,并給出相關(guān)結(jié)論.
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);研究性學(xué)習(xí);探索
研究性學(xué)習(xí)作為必修內(nèi)容是普通高中新課程的一個(gè)亮點(diǎn),備受各方關(guān)注.然而,就目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀而言,研究性學(xué)習(xí)無(wú)疑是廣大學(xué)生和教師面臨的現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn),是一個(gè)內(nèi)容資源亟待充實(shí)、教學(xué)方法亟待提高的弱項(xiàng).本文結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐,針對(duì)課后習(xí)題提出學(xué)習(xí)案例,期望能給讀者一些參考.
人教B版新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修2教材第107頁(yè)例2:“求過(guò)圓x2+y2=R2上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程.”是一道具有簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一的結(jié)論和很強(qiáng)的推廣性的問(wèn)題.
問(wèn)題:已知A(x0,y0),當(dāng)點(diǎn)A在圓x2+y2=R2上,方程x0x+y0y=R2表示以A(x0,y0)為切點(diǎn)的切線方程.
(1)分析點(diǎn)A在圓x2+y2=R2內(nèi)或點(diǎn)A在圓x2+y2=R2外時(shí),直線x0x+y0y=R2與圓x2+y2=R2的位置關(guān)系.
(2)如果將上述問(wèn)題放在橢圓等情境中,類比研究又會(huì)得到什么結(jié)論?
相關(guān)結(jié)論
結(jié)論1
點(diǎn)A(x0,y0)在圓x2+y2=R2上,以A(x0,y0)為切點(diǎn)的切線方程為x0x+y0y=R2.
點(diǎn)A(x0,y0)在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,以A(x0,y0)為切點(diǎn)的切線方程為x0xa2+y0yb2=1.
點(diǎn)A(x0,y0)在雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上,以A(x0,y0)為切點(diǎn)的切線方程為x0xa2-y0yb2=1.
點(diǎn)A(x0,y0)在拋物線y2=2px(p>0)上,以A(x0,y0)為切點(diǎn)的切線方程為y0y=p(x+x0).
點(diǎn)A(x0,y0,z0)在球x2+y2+z2=R2上,以A((x0,y0,z0)為切點(diǎn)、與球x2+y2+z2=R2相切的平面的方程為x0x+y0y+z0z=R2.
結(jié)論2
點(diǎn)A(x0,y0)在圓x2+y2=R2外,過(guò)A(x0,y0)作圓x2+y2=R2的切線,切點(diǎn)為M,N,則切點(diǎn)弦MN所在的直線方程為x0x+y0y=R2.
點(diǎn)A(x0,y0)在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)外,過(guò)A(x0,y0)作橢圓x2a2+y2b2=1的切線,切點(diǎn)為M,N,則切點(diǎn)弦MN所在的直線方程為x0xa2+y0yb2=1.
點(diǎn)A(x0,y0)在雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)外(當(dāng)x20a2-y20b2<1時(shí),稱A(x0,y0)在x20a2-y20b2=1外),過(guò)A(x0,y0)作雙曲線x2a2-y2b2=1的切線,切點(diǎn)為M,N,則切點(diǎn)弦MN所在的直線方程為x0xa2-y0yb2=1.
點(diǎn)A(x0,y0)在拋物線y2=2px(p>0)外(當(dāng)y20>2px0(p>0)時(shí),稱A(x0,y0)在y2=2px外),過(guò)A(x0,y0)作拋物線y2=2px(p>0)的切線,切點(diǎn)為M,N,則切點(diǎn)弦MN所在的直線方程為y0y=p(x+x0).
點(diǎn)A(x0,y0,z0)在球x2+y2+z2=R2外,過(guò)A(x0,y0,z0)作球x2+y2+z2=R2的切線,切點(diǎn)所在的平面方程為x0x+y0y+z0z=R2.
結(jié)論3
點(diǎn)A(x0,y0)在圓x2+y2=R2內(nèi),則方程x0x+y0y=R2表示與圓x2+y2=R2相離的直線方程.
點(diǎn)A(x0,y0)在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)內(nèi),則方程x0xa2+y0yb2=1表示與橢圓x2a2+y2b2=1相離的直線方程.
點(diǎn)A(x0,y0)在雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)內(nèi)(當(dāng)x20a2-y20b2>1(|x0|>a)時(shí),稱A(x0,y0)在x20a2-y20b2=1內(nèi)),則方程x0xa2-y0yb2=1表示與雙曲線x2a2-y2b2=1相離的直線方程.
點(diǎn)A(x0,y0)在拋物線y2=2px(p>0)內(nèi)(當(dāng)y20<2px0(p>0)時(shí),稱A(x0,y0)在y2=2px內(nèi)),則方程y0y=p(x+x0)表示與拋物線y2=2px(p>0)相離的直線方程.
點(diǎn)A(x0,y0,z0)在球x2+y2+z2=R2內(nèi),則方程x0x+y0y+z0z=R2表示與球x2+y2+z2=R2相離的平面方程.
結(jié)合結(jié)論2和結(jié)論3,圓錐曲線外特殊點(diǎn)很容易想到準(zhǔn)線上的點(diǎn),曲線內(nèi)的點(diǎn)容易聯(lián)想到直線與曲線相交線段的中點(diǎn).
【參考文獻(xiàn)】
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