區(qū)間估計(jì)的教法研究

【摘要】區(qū)間估計(jì)是學(xué)生數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)過程中的重點(diǎn)和難點(diǎn).文章針對區(qū)間估計(jì)概念的理解及區(qū)間估計(jì)的方法給出了自己的教學(xué)見解；對樞軸量法進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)遇到的難點(diǎn)問題給出了一種新的教學(xué)方法——“面積法”，在多個(gè)置信區(qū)間的選擇上給出了具體的數(shù)據(jù)比較.實(shí)踐證明，這種教學(xué)方法取得了很好的教學(xué)效果.

【關(guān)鍵詞】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；區(qū)間估計(jì)；樞軸量；面積法

【基金項(xiàng)目】鄭州輕工業(yè)學(xué)院2010年青年教改項(xiàng)目.

參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的基本問題之一.它是在總體的分布類型已知時(shí)，利用觀測數(shù)據(jù)對總體中的未知參數(shù)（或未知參數(shù)的函數(shù)）進(jìn)行估計(jì).區(qū)間估計(jì)是參數(shù)估計(jì)的一種重要方法，掌握區(qū)間估計(jì)的基本思想和方法對后續(xù)課程的學(xué)習(xí)非常重要.同時(shí)，區(qū)間估計(jì)也是學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)這門課程中的一個(gè)難點(diǎn).本人在區(qū)間估計(jì)的教學(xué)過程中采用了以下三步教學(xué)法，取得了良好的教學(xué)效果.

一、區(qū)間估計(jì)概念的背景不可忽視

概念提出的背景講清楚非常重要，這樣可以使學(xué)生不僅知其然而且知其所以然，從而增加其學(xué)習(xí)興趣；從另一個(gè)角度來講，大學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)，不僅僅接受的是概念、方法，更重要的，接受的是一種思想.在這里講解時(shí)要著重強(qiáng)調(diào)區(qū)間估計(jì)的兩個(gè)基本要求——精度和可信度，且當(dāng)兩者無法同時(shí)滿足時(shí)，采用的一般原則:先保證可信度，在保證可信度的前提下盡量提高估計(jì)的精度.這樣，為后面區(qū)間估計(jì)概念的講解做好準(zhǔn)備.

二、將講解的重心放在“區(qū)間估計(jì)”概念的正確理解上

在講解概念時(shí)，要使學(xué)生明白區(qū)間估計(jì)的關(guān)鍵是構(gòu)造兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量θ^1(X1，X2，…，Xn)，θ^2(X1，X2，…，Xn)，使得區(qū)間(θ^1，θ^2)包含真值θ的概率1-α，且(θ^1，θ^2)就是θ的區(qū)間估計(jì)，1-α就是可靠性；不僅如此，還要提醒學(xué)生：1-α是事先給定的，也就是說這個(gè)概念充分體現(xiàn)了“先保證可靠性”這一原則，或者說，這個(gè)概念是在“優(yōu)先保證可靠性”的前提下給出的.除了概念本身的講解，還要讓學(xué)生從不同的角度來理解，比如，可以從頻率的角度來理解定義式P{θ^1<θ<θ^2}=1-α.使學(xué)生明白：抽取一個(gè)樣本，用相應(yīng)的置信區(qū)間(θ^1，θ^2)來估計(jì)真值，這樣做犯錯(cuò)誤的概率為α.

三、詳細(xì)講解利用樞軸量法進(jìn)行區(qū)間估計(jì)

這里以正態(tài)總體均值μ的區(qū)間估計(jì)為例介紹.利用樞軸量法進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，重點(diǎn)是對給定的置信水平1-α，尋找常數(shù)a，b(a

詳細(xì)講解尋找a，b的技巧，稱之為“面積法”.即根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量落在區(qū)間(a，b)上的概率就是(a，b)上所對應(yīng)的曲邊梯形的面積.尋找a，b的方法是：在樞軸量Z=X-μσn（服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）的密度函數(shù)曲線下方找到一面積為1-α的曲邊梯形（梯形的底在x軸上），則此曲邊梯形的底在x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)就對應(yīng)常數(shù)a，b.顯然，這樣的曲邊梯形一定存在，而且有無限多個(gè)，不妨取關(guān)于y軸對稱的曲邊梯形，則可得a=-zα2，b=zα2（如圖）.由此可得μ的一個(gè)置信區(qū)間為X±σnzα2.

隨著曲邊梯形在x軸上取得的位置不同，可得到不同的a，b值，相應(yīng)地得到不同的置信水平為1-α的置信區(qū)間，如

X-σnz3α4，X+σnzα4，X-σnz5α6，X+σnzα6，…

需要強(qiáng)調(diào)的是在諸多的μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間中，選擇X±σnzα2的理由是：X±σnzα2和其他置信區(qū)間相比有較高的精度.列表比較如下：

由表可以看出X±σnzα2的精度最高.

值得強(qiáng)調(diào)的是，這里用“面積法”來尋找a，b，可使得學(xué)生非常直觀地看到尋找a，b的不唯一；通過不同置信區(qū)間的精度比較，使得學(xué)生更深刻理解區(qū)間估計(jì)的內(nèi)涵.

上面三個(gè)過程的講解，是理解區(qū)間估計(jì)概念和接受區(qū)間估計(jì)方法的關(guān)鍵.后面無論是單側(cè)置信區(qū)間還是兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)，思想方法是相同的.上面三個(gè)過程的講解對學(xué)生接受和應(yīng)用區(qū)間估計(jì)這個(gè)統(tǒng)計(jì)方法非常重要.好的教學(xué)方法不僅可以使得學(xué)生輕松接受，還可使學(xué)生觸類旁通.“區(qū)間估計(jì)”這一被學(xué)生認(rèn)為抽象難懂的估計(jì)方法不再抽象和難于接受了.

【參考文獻(xiàn)】

［1］徐雅靜，王遠(yuǎn)征，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).北京：科學(xué)出版社，2009:162-179.

［2］峁詩松，程依明，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程.北京：高等教育出版社，2004:315-327.