抓住一條線,學(xué)好數(shù)列求通項

數(shù)列通項的求法是高中數(shù)學(xué)的一塊重點知識，也是高考的熱點，但同時又是我們同學(xué)學(xué)習(xí)的一塊難點.在教學(xué)中，教師應(yīng)充分考慮到學(xué)生的認(rèn)知特點，結(jié)合新課改原理，遵循由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般，再借助特殊解決一般的方法，來解決數(shù)列求通項問題.

在教學(xué)的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，其實很多非特殊數(shù)列都可以看作是等差數(shù)列的一些簡單變形后得到的，故只要抓住等差數(shù)列這一條線，對其中的幾個量加以變化，便可得到不同類型的數(shù)列.本文就對此進(jìn)行簡單闡述，以期對同仁的教學(xué)和同學(xué)的學(xué)習(xí)有所啟示.

等差數(shù)列是我們高中學(xué)習(xí)的兩類特殊數(shù)列之一，只要某一數(shù)列相鄰兩項之間的關(guān)系滿足an+1=an+d，其中d為常數(shù)，進(jìn)一步說，需滿足an+1和an前的系數(shù)一致，以及d為常數(shù)即可，如man+1=man+d(m≠0)，可知此數(shù)列為等差數(shù)列均可以直接用公式加以解決.

變形1 an+1=an+f(n)

此數(shù)列我們可以看作是等差數(shù)列的一個簡單變形，即保持an+1和an前的系數(shù)一致不變，而將原先的常數(shù)d變?yōu)榱艘粋€關(guān)于n的關(guān)系式f(n)，此類數(shù)列的通項公式求法可以使用等差數(shù)列求通項的推導(dǎo)方法之一，即累加法解決.

例1 已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2n+1，a1=1，求數(shù)列{an}的通項公式.

解 由an+1=an+2n+1，得an+1-an=2n+1，

則an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+ (a2-a1)+a1

=2［(n-1)+(n-2)+…+2+1］+(n-1)+1

=2(n-1)n2+(n-1)+1

=(n-1)(n+1)+1=n2，



∴數(shù)列{an}的通項公式為an=n2.

變形2 an+1=pan+d(p≠1)

此數(shù)列我們也可以看作是等差數(shù)列的一個簡單變形，即保持d這個常數(shù)不變，而將an+1和an前的系數(shù)變成不一致，此類數(shù)列的通項公式求法可以采用構(gòu)造一個新數(shù)列的方法解決，即兩邊同時加上dp-1，構(gòu)造成為an+1+dp-1=pan+dp-1成為一個新的等比數(shù)列.

例2 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，an=3an-1+2(n>1，n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式.

解 an+1+1=3(an+1)，即數(shù)列{an+1}是以a1+1=2為首項，公比為3的等比數(shù)列，∴an=2#8226;3n-1-1.

變形3 an+1=pan+f(n)(p≠1)

此數(shù)列我們可以看作是變形1和變形2的一個疊加，即不僅將d這個常數(shù)變?yōu)殛P(guān)于n的一個關(guān)系式，而且將an+1和an前的系數(shù)變成不一致.此類數(shù)列的通項公式求法我們亦可以采用構(gòu)造的方法將其化歸成我們比較熟悉的類型.

例3 （2010年重慶（理）改編）在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n+1(2n+1)(n∈N*)，求{an}的通項公式.

解 由原式，得an+12n+1=an2n+(2n+1).

令bn=an2n，則b1=12，bn+1=bn+(2n+1)，

因此對n≥2有

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1

=(2n-1)+(2n-3)+…+3+12

=n2-1+12.



∵bn=an2n，∴an2n=n2-1+12，

即an=(n2-1)2n+2n-1.

又當(dāng)n=1時，上式成立，因此，an=(n2-1)2n+2n-1，對任何n∈N*都成立.

變形4 形如an+1=pan+qan-1(n≥2)的遞推式

此數(shù)列我們可以看作是等差數(shù)列兩項之間的關(guān)系提升到三項之間的關(guān)系，此類數(shù)列的通項公式求法我們往往通過中間項an拆分，從而構(gòu)造相鄰兩項之間的關(guān)系得到一個新的數(shù)列.

例4 在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，an+2=23an+1+13an，求{an}的通項公式.

解 通過觀察兩邊同時減去an+1，從而得到

an+2-an+1=-13(an+1-an).

∴{an+1-an}是以a2-a1=1為首項，-13為公比的等比數(shù)列.

∴an+1-an=-13n-1.

筆者通過以上梳理，通過線式教學(xué)，使得同學(xué)在學(xué)習(xí)這一塊內(nèi)容時，能牢牢抓住等差數(shù)列這一特殊數(shù)列，以此為中心向四周發(fā)散，從而得到一系列非特殊數(shù)列的求法，以此達(dá)到事半功倍的效果.