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    淺談高等數(shù)學(xué)中不等式的證明

    2012-04-29 00:00:00

    【摘要】人們對(duì)高等數(shù)學(xué)的印象通常是復(fù)雜的公式和繁雜的計(jì)算,事實(shí)上通過(guò)用心的總結(jié)和歸納,高等數(shù)學(xué)中的許多知識(shí)點(diǎn)是有規(guī)律可循的.本文就以多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)為依據(jù),通過(guò)一些實(shí)例,對(duì)高等數(shù)學(xué)中不等式的證明方法進(jìn)行了探討,希望能給讀者以啟迪.

    【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);不等式;證明方法

    不等式在高等數(shù)學(xué)中占有重要地位,也是解題的一種重要思想方法.無(wú)論是在大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程考核中,還是在研究生入學(xué)考試中,不等式的證明都是極其重要的一類考題.不等式的證明方法多種多樣,本文通過(guò)實(shí)例探討了一些運(yùn)用高等數(shù)學(xué)證明不等式的方法,以供大家參考.

    一、利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

    若不等式中含有“變量為自然數(shù)”的條件,可以嘗試用數(shù)學(xué)歸納法.

    例1 證明不等式n!1,n為自然數(shù).

    證明 當(dāng)n=2時(shí),因?yàn)?+122=94>2=2!,

    故不等式成立.

    設(shè)n=k時(shí),不等式成立,即k!

    則對(duì)于n=k+1時(shí),有

    (k+1)!

    由于k+2k+1k+1=1+1k+1k+1>2(k=1,2,…由貝努力不等式),從而有

    (k+1)!

    故原式獲證.

    二、利用取對(duì)數(shù)法證明不等式

    若不等式中含有冪指函數(shù),可以考慮用取對(duì)數(shù)法.

    例2 證明不等式nen1,n為自然數(shù).

    證明 由i(n-i)≤n2(i=1,2,…,n-1),不等式的兩邊取對(duì)數(shù),得

    12lni(n-i)≤lnn2,∑n-1i=112lni(n-i)≤∑n-1i=1lnn2,即

    12ln[1#8226;(n-1)]#8226;[2#8226;(n-2)]#8226;…#8226;[(n-2)#8226;2]#8226;[(n-1)#8226;1]≤(n-1)lnn2.

    所以ln(n-1)!≤lnn2n-1,(n-1)!≤n2n-1,12n!≤n2n.

    于是n!≤2n2n

    下面證明nen

    設(shè)xn=nen,則有

    xnxn-1=nn(n-1)n-1e=1+1n-1n-1#8226;ne

    所以(注意到x1=1e<1)xn=x1#8226;x2x1#8226;…#8226;xnxn-1

    三、利用無(wú)窮小的性質(zhì)證明不等式

    若x→+∞時(shí),f(x)g(x)為無(wú)窮小,即limx→+∞f(x)g(x)=0,且g(x)>0(x>M1>0),則存在M2>0,當(dāng)x>M2時(shí),有f(x)g(x)<1,從而f(x)

    例3 試證:當(dāng)x充分大時(shí),x10ex

    證明 因?yàn)楫?dāng)x→+∞時(shí),x10exe2x=x10ex→0,

    所以,當(dāng)x充分大時(shí),有x10exe2x<1,即x10ex

    四、利用拉格朗日中值定理證明不等式

    若f(x)在[a,b]上連續(xù)、在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a(ξ∈(a,b)).利用ξ與a,b的關(guān)系,對(duì)ξ進(jìn)行合理縮放即可得不等式.

    例4 若0

    證明 顯然等式當(dāng)且僅當(dāng)a=b>0時(shí)成立.

    下面證0

    作輔助函數(shù)f(x)=lnx,則f(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理,即存在ξ∈(a,b)使lnb-lnab-a=1ξ成立.

    由于01ξ>1b,

    由上述兩式可得1b

    所以b-ab

    五、利用泰勒定理證明不等式

    泰勒定理的適用范圍是不等式中含有的函數(shù)易求出它的泰勒展開(kāi)式(或麥克勞林展開(kāi)式),從而利用它的局部展開(kāi)式證明不等式.

    例5 證明:ln(1+x)≤x-x22+x33(-1

    證明 令f(x)=ln(1+x),則

    f(0)=0,f′(0)=1,f″(0)=-1,f(0)=2,

    f(4)(ξ)=-3!(1+ξ)4.

    于是f(x)在x=0處的三階泰勒展開(kāi)式為:

    ln(1+x)=x-x22+x33-x44(1+ξ)4(-1

    由于x44(1+ξ)4≥0,

    所以ln(1+x)≤x-x22+x33(-1

    六、利用函數(shù)的凹凸性證明不等式

    通過(guò)函數(shù)在某區(qū)間上的二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判定在該區(qū)間上的凹凸性,從而證明一些不等式,特別是含兩個(gè)或兩個(gè)以上變?cè)?

    例6 證明:x+y2n0,y>0,x≠y,n>1.

    證明 設(shè)f(t)=tn,t>0,則

    f′(t)=ntn-1,f″(t)=n(n-1)tn-2.

    當(dāng)n>1,t>0時(shí),有f″(t)>0,所以f(t)在(0,+∞)內(nèi)是凹函數(shù).

    根據(jù)凹凸性的定義,x,y∈(0,+∞),x≠y,

    有fx+y2

    七、利用變上限積分證明不等式

    在不等式的兩端取變上限積分,可以得到新的不等式.

    例7 設(shè)f(x)在(0,+∞)上具有連續(xù)的可微函數(shù),且f(0)=1.當(dāng)x≥0時(shí),f(x)>|f′(x)|.試證:ex>f(x),(x>0).

    證明 由已知可得-f(x)0時(shí),f(t)>0,故有f′(t)f(t)<1.

    兩邊從0到x積分,得∫x0f′(t)f(t)dt<∫x0dt,其中x>0.

    注意到f(0)=1,從而得到lnf(x)f(x).

    不等式的證明因題而異,靈活多變.只有在多思考、多總結(jié)的基礎(chǔ)上,才能迅速把握問(wèn)題的本質(zhì),靈活運(yùn)用各種證明技巧,提高解題水平.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]邵瑞珍,皮連生.教育心理學(xué)[M].上海:上海教育出版社,1988.

    [2]李士琦.PME:數(shù)學(xué)教育心理[M].北京:高等教育出版社.

    [3]毛京中.高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一些思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2003,12(2).

    [4]陳瓊,翁凱慶.試論數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的理解學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2003,12(1).

    [5]張定強(qiáng).剖析高等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),1996,5(1).

    [6]劉繼合.簡(jiǎn)析高等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與化歸[J].聊城師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1999,12(3).

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