圓與橢圓\\拋物線的結合在高考中的體現(xiàn)

【摘要】圓、橢圓和拋物線是高中數(shù)學幾何部分中的三個基本圖形，也是三個最為重要的圖形，因而在高考中通常成為考查學生能力的重要載體，這三種圖形結合在一起就像是一座橋，聯(lián)通了代數(shù)與幾何.本文在介紹該部分主要考點的基礎上，結合具體的高考試題進行分析，力圖闡明此類題目的解題方法和解題思路在實戰(zhàn)中的運用.

【關鍵詞】圓、橢圓和拋物線；高考；結合

一、引 言

圓、橢圓和拋物線以及三者的結合，歷來是高考數(shù)學所要考查的重點內(nèi)容，不單是因為這三種圖形是高中幾何中的基礎圖形，更是因為這三種圖形的性質(zhì)和特點具有某種程度的互通性和連貫性，三者之間的特性也是相互滲透，具有很大的關聯(lián)性.另外，最為高考命題者看中的是，圓、橢圓和拋物線這三者結合的題目，不但最為復雜，有利于對考生進行逐級篩選，而且這類題目的最終解決常常需要考生將幾何與代數(shù)知識融會貫通，熟練應用，是考查考生分析和解決問題能力及創(chuàng)新能力的最佳題型.

二、主要考點

圓、橢圓和拋物線三者相結合的題目所要考查的知識點眾多，歸納起來，主要可以分為以下幾種類型：

1圓、橢圓和拋物線三者各自的性質(zhì)

歷年高考試題中所有與圓、橢圓和拋物線相關的題目解決，無不是首先從圓、橢圓和拋物線的基本性質(zhì)開始的，三者的基本性質(zhì)涉及各自的定義、標準方程和幾何性質(zhì)等諸多方面，這些細小的方面通常是解題的基本要素，甚至在特殊情況下會成為解題的關鍵和突破口.例如，已知橢圓mx2+3y2-6m=0的一個焦點為（0，2），求m的值.這時就必須先要將橢圓的方程化為標準方程，然后再由c=2，根據(jù)關系a2=b2+c2才能求出m的值.因此，在學習相關章節(jié)時，教師要引導加深對這些基本性質(zhì)的理解和記憶，并結合具體的例題，對其進行講解，讓學生熟練掌握相關性質(zhì)的實際應用和求解思路及方法，例如緊扣定義、引入?yún)?shù)、數(shù)形結合、應用曲線系、巧用點差等，為更為復雜問題的解決打下良好和堅實的基礎.

2幾何知識與代數(shù)知識相結合

圓、橢圓和拋物線都屬于幾何中的基本圖形，看似其基本性質(zhì)與代數(shù)沒有相關性，其實不然，三者的幾何性質(zhì)中融合了很多代數(shù)元素，并且很大程度上，其幾何性質(zhì)都是可以用代數(shù)原理進行解釋的.例如，在解決三者相互結合的題目時，通常會用到代數(shù)中的導數(shù)和不等式的相關知識，沒有這些代數(shù)知識的應用，要想單憑這三個圖形各自的幾何性質(zhì)進行解題，其難度好比登天.例如，已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m，求當m為何值時，直線與橢圓有公共點？這時，要想確定m的取值范圍，就需要用到不等式的相關知識，首先將直線方程y=x+m代入橢圓方程4x2+y2=1，得4x2+(x+m)2=1，即5x2+2mx+m2-1=0，然后利用Δ=(2m)2-4×5×(m2-1)=-16m2+20≥0，解得-52≤m≤52.因此，在實際的教學中，教師應該著重培養(yǎng)學生將代數(shù)與幾何知識進行融合的習慣和能力，依托于具體的例題，向?qū)W生傳授具體的思路和解題技巧.

3與實際問題相結合

圓、橢圓和拋物線相互結合的題目，由于其難度一般較大，對考生綜合素質(zhì)的要求較高，因而一般出現(xiàn)在高考試卷的末尾，但是分值卻依然很大，因而要想取得好成績，這部分題目是不得不做的.本來三種圖形相互結合就是一個非常復雜的問題，但是有時為了考查考生在實際情景中運用具體數(shù)學知識進行解題的能力，出題人會故意將其置于一個特定的現(xiàn)實環(huán)境中，讓考生從其中抽絲剝繭，逐漸將具體問題轉化為特定的數(shù)學問題，進而對其進行解答.因而在平時，我們就要進行相關環(huán)節(jié)的訓練，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，破解定式，將現(xiàn)實問題與數(shù)學教學相結合，培養(yǎng)學生分析和解決實際問題的能力.

三、例題分析

下面我們就將結合具體的高考試題對圓、橢圓和拋物線相結合題目的解題思路和具體方法進行介紹：

題目 （2011年浙江省高考數(shù)學卷（理）第21題）已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+(y-4)2=1的圓心為點M.

（1）求點M到拋物線C1的準線的距離；

（2）已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

分析 這道題目是典型的圓、橢圓和拋物線相互結合問題，其中涉及的圖形有圓、拋物線、三角形和直線.四種不同的圖像相互交叉組合在一起，剛看到題目考生肯定會被其復雜性所震懾，一時可能會不知從何著手進行解題.任何題目的最終解決都是從最初的題意分析開始的，對題目的認真分析不但會帶給我們解題的信心，而且會讓我們逐步找尋到解題的突破口.從圖中我們可以看到四種圖形的位置關系為：圓位于三角形的內(nèi)部，并通過兩點與三角形的兩條邊相切，三角形位于拋物線的內(nèi)部，并且三角形的三個頂點都在拋物線上，直線則穿過三角形與拋物線的一個交點以及圓的圓心.再看一下題目的文字表述，從表述中我們可以得到題目所給的已知條件有拋物線的方程和圓的方程.

題目的第一問是讓我們?nèi)デ蠼鈭A心M到拋物線C1的準線的距離.現(xiàn)在我們可以通過數(shù)軸讀出圓心的坐標為（0，4）.要想求到拋物線準線的距離必須首先求出拋物線的準線方程.現(xiàn)在已知拋物線的方程，那么該準線方程就可以非常容易的求出為y=-14，那么圓心到準線的距離就可以求出為174.這一步非常簡單，完全可以根據(jù)拋物線的基本性質(zhì)及其公式進行求解.

題目的第二問比較復雜，但是其文字敘述首先為我們介紹了圖中三角形和直線的由來，以及它們與圓和拋物線的位置關系.現(xiàn)在題目要求我們求出直線l的方程.由兩點確定一條直線的規(guī)則我們可以知道，已知M的坐標為(0，4)，只要再求出點P的坐標，我們就可以求出直線l的方程.那么如何求出P點的坐標呢？因為P是拋物線上的一點，我們可以通過設直線斜率和P點坐標的方法，將兩條切線的方程表示出來，然后再設出A，B兩點的坐標，運用切線與拋物線相交得到A，B，以及直線l與直線AB相互垂直的條件，最終求出坐標中的未知數(shù)，從而順利得到直線l的方程.

解 （1）M(0，4)，拋物線的準線為y=-14，

∴點M到拋物線C1的準線的距離是174.

（2）設點P(t，t2)，切線的斜率為k，則切線方程是y-t2=k(x-t)，則由題意可知：|t2-kt-4|1+k2=1，

整理得(t2-1)#8226;k2+2t(4-t2)k+(4-t2)2-1=0（*）.

設A(x1，x1)，B(x2，x2)，y-t2=k(x-t)，y=x2，

解得x1=k1-t，x2=k2-t（k1，k2是方程*的根）.

∵過M，P兩點的直線l垂直于AB，

∴t2-4t#8226;y2-y1x2-x1=t2-4t#8226;(x2+x1)

=t2-45#8226;(k1+k2-2t)=-1.

∴t2-4t#8226;2tt2-4t2-1-2t=-1，解得t2=235.

∴直線l的方程y=t2-4tx+4（t2=235）.

四、結 語

圓、橢圓和拋物線三者相結合的題目在高考中占有如此重要的地位，是考生提高成績的重要節(jié)點.這就要求我們需要從現(xiàn)實出發(fā)，在實際教學中，要加強對圓、橢圓和拋物線三者基本性質(zhì)、公式的講解，讓學生掌握解決此類問題的思路和具體方法.通常說來解決這類問題時常用的思路和方法主要有數(shù)形結合法、參數(shù)法和代入法.所謂數(shù)形結合是指將代數(shù)的運算推理與幾何的論證說明結合起來考慮問題，在解題時充分利用代數(shù)運算的嚴密性與幾何論證的直觀性，尤其是將某些代數(shù)式子利用其結構特征，想象為某些圖形的幾何意義而構圖，用圖形的性質(zhì)來說明代數(shù)性質(zhì)；參數(shù)法是指將題目中圓錐曲線的一些未知元素用參數(shù)來表示，從而簡化解題過程，降低題目難度；代入法則主要是指條件的不同順序的代入方法.另外，考生在平時還要多做習題，讓學生提高對這類題目的重視，并在實際的學習中學會將所學知識進行融會貫通，做到收放自如.只有這樣，在高考之中，考生才能遇到這類題目時胸有成竹，爭取利用最短的時間獲取最多的分值.高考的具體要求是現(xiàn)實中高中數(shù)學教育教學的方向標，以高考為導向，適應高考的需求，考生才能最大限度地取得好的成績.

【參考文獻】

［1］楊合俊.圓與拋物線的位置關系.長安大學學報(自然科學版)，2003，23（5）：123.

［2］馮作維.圓與橢圓的“同祖”關系的巧妙運用.數(shù)理化學習(高中版).

［3］吉眾.圓與橢圓的參數(shù)方程的應用.高中數(shù)學教與學，2003（5）：45.

［4］張勇赴.圓與橢圓的一組相關性質(zhì).數(shù)學通訊，2007（13）：21.

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