處理三角函數(shù)易錯題的三大絕招
2012-04-29 00:00:00蔡漢書
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2012年3期
有很多學(xué)生一上高中就最怕函數(shù)，尤其是三角函數(shù)問題.其主要原因是：三角函數(shù)公式較多，知識點散亂，很多同學(xué)容易記混，而且很多題目隱含條件較深不易挖掘.下面筆者就這些問題給讀者提供一些參考.
一、隱含條件要充分挖掘
例1 已知方程x2+33x+4=0的兩個實數(shù)根是tanα，tanβ，且α，β∈-π2，π2，則α+β等于（ ）.
A2π3
B-2π3
Cπ3或-2π3
D-π3或2π3
解 ∵tanα，tanβ是方程x2+33x+4=0的兩個實數(shù)根，
∴tanα+tanβ=-33<0，tanα#8226;tanβ=4>0，兩數(shù)“同號”且絕對值較大的為“-”.
又 α，β∈-π2，π2，∴α，β∈-π2，0，
從而-π<α+β<0.
又 ∵tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα#8226;tanβ=-331-4=3，
∴α+β=-2π3.
∵tan(α+β)=3，∴α+β=π3+kπ(k∈Z).
又 ∵-π<α+β<0，
∴-π<π3+kπ<0，解得-43 ∵k∈Z，∴k=-1，從而α+β=-2π3. 二、已知三角函數(shù)值求角錯因分析 例2 若sinα=55，sinβ=1010，且α，β均為銳角，求α+β的值. 錯解 ∵α為銳角，∴cosα=1-sin2α=255. 又 ∵β為銳角，∴cosβ=1-sin2β=31010. 且sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=22， 由于0°<α<90°，0°<β<90°， ∴0°<α+β<180°. 故α+β=45°或135°. 錯因剖析 沒有注意挖掘題目中的隱含條件，忽視了對角的范圍的限制，造成出錯.事實上，僅由sin(α+β)=22，0°<α+β<180°，而得α+β=45°或135°是正確的，但題設(shè)中sinα=55<12，sinβ=1010<12，使得0°<α<30°，0°<β<30°，從而0°<α+β<60°，故上述結(jié)論是錯誤的.縮角是一種重要技巧. 點撥 因為y=cosx在［0，π］上是單調(diào)函數(shù)，所以本題先求cos(α+β)不易出錯. 正解 ∵α為銳角，∴cosα=1-sin2α=255. 又 ∵β為銳角，∴cosβ=1-sin2β=31010. 且cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=22， 由于0°<α<90°，0°<β<90°， ∴0<α+β<180°.故α+β=45°. 三、銳角△ABC中，恒有A+B>π2 例3 （2007年全國Ⅰ-理17）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2bsinA. （1）求B的大小； （2）求cosA+sinC的取值范圍. 解 （1）由a=2bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以sinB=12，由△ABC為銳角三角形，得B=π6. （2）cosA+sinC=cosA+sinπ-π6-A =cosA+sinπ6+A =cosA+12cosA+32sinA =3sinA+π3. 由△ABC為銳角三角形知： π2>A>π2-B=π2-π6=π4. 注意：銳角三角形中的隱含條件任意兩內(nèi)角的和大于π2. 從而2π3 ∴12 由此有32<3sinA+π3<32×3. ∴cosA+sinC的取值范圍為32，32.
