留數(shù)定理在定積分計(jì)算中的應(yīng)用

【摘要】本文介紹了一種計(jì)算定積分的新方法，應(yīng)用留數(shù)定理將幾種類型實(shí)積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為復(fù)積分的計(jì)算，達(dá)到了化難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果.本文有助于定積分計(jì)算思路的擴(kuò)展，促進(jìn)數(shù)學(xué)分支間的聯(lián)系.

【關(guān)鍵詞】留數(shù)定理；定積分；反常積分

在微積分或數(shù)學(xué)分析中，不少積分（包括普通定積分與反常積分）的計(jì)算用微積分教材的知識(shí)很難解決或幾乎無(wú)能為力.如果我們能結(jié)合其他數(shù)學(xué)分支的理論方法來(lái)討論這類問(wèn)題，卻可能達(dá)到了化難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果.本文主要利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理，將實(shí)積分轉(zhuǎn)換為復(fù)積分(周線積分)的方法，討論了幾類定積分的計(jì)算.首先我們來(lái)給出留數(shù)的定義和留數(shù)定理.

留數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)f(z)在有限點(diǎn)a為孤立奇點(diǎn)，即f(z)在a的某去心鄰域0<|z-a|

留數(shù)定理 f(z)在周線或復(fù)周線C范圍的區(qū)域D內(nèi)，除a1，a2，…，an外解析，在閉域D=D+C上除a1，a2，…，an外連續(xù)，則“大范圍”積分有如下公式∫C f(z)dz=2πi∑nk=1Resz=akf(z).

一、計(jì)算I=∫2π0R(cosθ，sinθ)dθ類型積分

這里R(cosθ，sinθ)表示cosθ，sinθ的有理函數(shù)，并且在［0，2π］上連續(xù).令z=eiθ，則有cosθ=z+z-12，sinθ=z-z-12i，dθ=dziz，從而將三角積分轉(zhuǎn)化為復(fù)函數(shù)的周線積分.

例1 計(jì)算積分I=∫2π0sin2θa+bcosθdθ，其中a>b>0.

解 令z=eiθ，則

I=i2b∫|z|=1(z2-1)2z2z2+2abz+1dz

=i2b∫|z|=1(z2-1)2z2(z-α)(z-β)dz.



其中α，β為實(shí)系數(shù)二次方程z2+2abz+1=0的兩個(gè)相異實(shí)根，且|β|>|α|.由根與系數(shù)的關(guān)系知αβ=1，從而|α|<1，|β|>1.

由于被積函數(shù)f(z)在單位圓|z|=1上無(wú)奇點(diǎn)，在|z|<1內(nèi)只有一個(gè)二階極點(diǎn)z=0和一個(gè)一階極點(diǎn)z=a，從而有

Resz=0f(z)=(z2-1)2z2+2abz+1′z=0=-2ab，

Resz=0f(z)=(z2-1)2z2(z-β)z=α=(α2-1)2α2(α-β)=2a2-b2b.

這樣，應(yīng)用留數(shù)定理可得

I=i2b#8226;2πi-2ab+2a2-b2b

=2πb2(a-a2-b2).



即I=∫2π0sin2θa+bcosθdθ=2πb2(a-a2-b2).

例2 計(jì)算積分I=∫2π0dθ1+cos2θ.

解 z=eiθ，則I=∫Γ：|z|=14zdzi(z4+6z2+1).

再令z2=t，則當(dāng)z繞Γ圓周一周時(shí)，t亦在Γ上繞兩周，

故I=2∫Γ2dti(t2+6t+1)=4i∫Γdtt2+6t+1.

由于被積函數(shù)f(t)在Γ內(nèi)部?jī)H有一個(gè)一階極點(diǎn)t=-3+8，故

Rest=-3+8f(t)=1t+3+8t=-3+8=142.

由留數(shù)定理，有I=4i#8226;2πi#8226;142=2π.

即I=∫2π0dθ1+cos2θ=2π.

二、計(jì)算∫+∞-∞P(z)Q(z)dx類型的積分

這一類型的反常積分用數(shù)學(xué)分析的方法很難直接計(jì)算的，把它轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)域上的問(wèn)題并結(jié)合留數(shù)定理卻可容易算出.

設(shè)f(z)=P(z)Q(z)為有理分式，其中P(z)和Q(z)為互質(zhì)的多項(xiàng)式，且滿足條件：(1)Q(z)的次數(shù)n與P(z)的次數(shù)m有n-m≥2；(2)在實(shí)軸上有Q(z)≠0，那么∫+∞-∞f(x)dx=2πi∑Imak>0Resz=akf(z)，其中ak為f(z)在z平面上的孤立奇點(diǎn)，Imak為復(fù)數(shù)ak的虛部.

例3 計(jì)算I=∫+∞01a4+x4dx.

解 被積函數(shù)為偶函數(shù)，故

∫+∞01a4+x4dx=12∫+∞-∞1a4+x4dx.

對(duì)于f(z)=1a4+z4，它一共有四個(gè)一階極點(diǎn)ak=aeπ+2kπ4i，k=0，1，2，3，且符合上述條件（1），（2）.利用a4+z4=0，得

Resz=aKf(z)=14z3z=ak=14a3k=ak4a4k=-ak4ak.

由于f(z)在上半平面只有兩個(gè)極點(diǎn)a0和a1，由留數(shù)定理可得

∫+∞01a4+x4dx

=12×2πi∑Imak>0Resz=akf(z)

=-πi14a4aeπ4i+ae3π4i

=π2a3sinπ4=π22a3，

所以I=∫+∞01a4+x4dx=π22a3.

例4 計(jì)算積I=∫+∞0x2(x2+1)(x2+4)dx.

解 被積函數(shù)為偶函數(shù)，故

I=∫+∞0x2(x2+1)(x2+4)dx=12∫+∞-∞x2(x2+1)(x2+4)dx.

對(duì)于f(z)=z2(z2+1)(z2+4)，它一共有四個(gè)一階極點(diǎn)z=±i，z=±2i，且滿足條件（1），（2），而f(z)在上半平面內(nèi)只有兩個(gè)一階極點(diǎn)z=i，z=2i，于是有

Resz=if(z)=z2(z+i)(z2+4)z=i=i22i(i2+4)=i6，

Resz=2if(z)=z2(z2+1)(z+2i)z=2i=4i2(4i2+1)4i=-i3.

由留數(shù)定理有

∫+∞-∞f(z)dz=2πi(Resz=if(z)+Resz=2if(z))

=2πii6-i3=π3，



所以I=∫+∞0x2(x2+1)(x2+4)dx=π6.

三、計(jì)算∫+∞-∞P(z)Q(z)emxdx類型的積分

設(shè)g(z)=P(z)Q(z)，其中P(z)和Q(z)為互質(zhì)的多項(xiàng)式，且滿足條件：(1)Q(z)的次數(shù)n較P(z)的次數(shù)m高，即n>m>0；(2)在實(shí)軸上有Q（z）≠0.那么∫+∞-∞g(x)eimxdx=2πi∑Imak>0Resz=ak［g(z)eimz］.

特別地，將上式實(shí)部和虛部分開，可以得到形如∫+∞-∞P(z)Q(z)cosmxdx和∫+∞-∞P(z)Q(z)sinmxdx的積分.

例5 計(jì)算I=∫+∞0cosmx1+x2dx，m>0.

解 被積分函數(shù)為偶函數(shù)，故

∫+∞0cosmx1+x2dx=12∫+∞-∞cosmx1+x2dx.

由于f(z)=11+z2只有兩個(gè)一階級(jí)點(diǎn)z=±i，且滿足上述條件(1)，(2)，從而由留數(shù)定理得

∫+∞-∞eimx1+x2dx

=2πiResz=ieimz1+z2=2πie-m2i=πe-m.



由于∫+∞-∞eimx1+x2dx=∫+∞-∞cosmx1+x2dx+i∫+∞-∞sinmx1+x2dx，

而∫+∞0cosmx1+x2dx是∫+∞-∞eimx1+x2dx的實(shí)部，且πe-m是實(shí)數(shù)，

于是有∫+∞-∞cosmx1+x2dx=πe-m，

即I=∫+∞0cosmx1+x2dx=12πe-m.

例6 I=∫+∞0xsinxx4+a4dx，其中a>0.

解 I=∫+∞0xsinxx4+a4dx=12∫+∞-∞xsinxx4+a4dx.

令f(z)=zeizz4+a4，則函數(shù)f(z)有四個(gè)一階極點(diǎn)

ak=aeπ+2kπ4i，k=0，1，2，3，而在上半平面只有兩個(gè)極點(diǎn)a0和a1，于是

Resz=akf(z)=zeiz4z3z=ak=eiak4a2k=-a2keiak4a4(k=0，1).

由留數(shù)定理，有

∫+∞-∞xeixx4+a4dx

=2πi(Resz=a0f(z)+Resz=a1f(z))

=2πi-a20keia04a4-a21keia14a4

=-πsin2a2sin2a2i-icos2a2ia2

=iπa2e-2a2sin2a2.



注意到∫+∞-∞xsinxx4+a4dx表示的是∫+∞-∞xeixx4+a4dx的虛部，可得I=∫+∞0xsinxx4+a4dx=π2a2e-2a2sin2a2.

【參考文獻(xiàn)】

［1］鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論［M］.北京:高等教出版社，2004.

［2］吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集［M］.北京:高等教出版社，2010.