提高學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征能力的三個著眼點(diǎn)

【摘要】問題表征能力和表征質(zhì)量是影響問題解決的核心因素.在探討數(shù)學(xué)問題表征和問題解決之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，指出優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、建構(gòu)多元表征系統(tǒng)、增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念是提高學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征能力的主要策略.

【關(guān)鍵詞】問題表征；問題解決；認(rèn)知結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)信念

問題表征是指解題者通過審題、認(rèn)識和了解問題結(jié)構(gòu)；通過聯(lián)想，激活頭腦中與之相關(guān)的知識和經(jīng)驗，將外部信息轉(zhuǎn)化為內(nèi)部信息，形成問題空間，包括明確問題的給定條件、目標(biāo)和允許的操作.研究表明，正確的表征是解決問題的必要前提，在錯誤的或者不完整的問題空間中進(jìn)行搜索，不可能求得問題的正確解.學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題時發(fā)生錯誤主要是對問題結(jié)構(gòu)的錯誤表征，而不是運(yùn)算方面的原因.因此，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題表征能力和問題表征質(zhì)量是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)之一.

一、優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

認(rèn)知結(jié)構(gòu)是陳述性知識和程序性知識的表征系統(tǒng)，是個體對客觀知識的內(nèi)化，表現(xiàn)出一種主觀性.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實質(zhì)是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下將外顯的數(shù)學(xué)知識體系內(nèi)化在自己的頭腦中，從而能動地建立、擴(kuò)展和精致個體數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.

在數(shù)學(xué)知識分類與表征的基礎(chǔ)上，喻平教授提出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu).所謂CPFS結(jié)構(gòu)即個體在頭腦中形成的概念域、概念系、命題域與命題系的圖式，是個體頭腦中內(nèi)化的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò).CPFS結(jié)構(gòu)既包含了表征陳述性知識的圖式，又包括表征程序性知識的產(chǎn)生式系統(tǒng).CPFS結(jié)構(gòu)對數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)作了比較細(xì)致的刻畫，它融知識與方法于一體，有助于知識的儲存和提取，是一種優(yōu)良的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).實驗研究表明，具備優(yōu)良CPFS結(jié)構(gòu)的學(xué)生更能合理、正確地表征問題，進(jìn)而有效地解決問題，反之亦然；沒有形成完善CPFS結(jié)構(gòu)的學(xué)生，往往不能從多角度、多層面去觀察問題，表征問題單一，不能有效地解決問題.因此優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是提高問題表征能力的重要因素.

例 m取何值時，方程x2-2mx+m+1=0的兩個根一個大于5，另一個小于5？

分析 如果把問題表征為：Δ>0且12(2m-Δ)<5，12(2m-Δ)>5，這就需要解復(fù)雜的不等式組，加大問題的難度.

變換表征1 令y1=x1-5，y2=x2-5是二次方程y2+py+q=0的兩實根，當(dāng)q<0時，有y1#8226;y2<0，從而可令y1>0，y2<0，則x1>5，x2<5.所以，令y=x-5，代入原方程得到關(guān)于y的二元一次方程，此時求解則簡單得多.

變換表征2 令f(x)=x2-2mx+m+1，其函數(shù)圖像是開口向上的拋物線，與x軸有兩個交點(diǎn)，分別在點(diǎn)(5，0)的兩側(cè)，可以得到最簡等價表征：f(5)<0.題目的有效表達(dá)很大程度上依賴問題表征的合理性，而認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識的深刻性影響著表征的流暢性，知識質(zhì)量影響著表征的多樣性.

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)問題的多元表征系統(tǒng)

數(shù)學(xué)多元表征是指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的多種表征形式，可以是心理的、主觀的東西，即內(nèi)在表征，如個體在頭腦中建構(gòu)數(shù)學(xué)對象的心像等；也可以是外在于人腦的、客觀世界的東西，即外在表征，如言語文字、符號圖片、實際情境等.內(nèi)在表征和外在表征構(gòu)成了一個完整的表征系統(tǒng)，在解決問題的過程中兩類系統(tǒng)之間或其內(nèi)部是相互轉(zhuǎn)換和影響的.外在表征有助于減少記憶負(fù)荷或提高信息儲存能力，以更具操作性和簡化復(fù)雜關(guān)系的形式對信息進(jìn)行處理.好的外在表征可以幫助學(xué)生更好地了解問題解決的實質(zhì)和關(guān)鍵，從而達(dá)到解決問題的目的.

問題解決的典型特征在于解題者對問題生成了適宜表征，適宜的表征可以縮減運(yùn)算量、縮短思維過程.正確的語言表征促進(jìn)題目的理解，準(zhǔn)確的符號表征提高問題的加工水平，適當(dāng)?shù)膱D表表征催生形象思維，合理的模式表征有助于簡約問題解決的思維長度.如要理解“絕對值”的概念，學(xué)生除對“數(shù)軸”“距離”有深入的理解，還要掌握“數(shù)”與“形”兩種不同結(jié)構(gòu)之間的對應(yīng)關(guān)系，形成“絕對值”概念的表征系統(tǒng)，如圖1所示.

進(jìn)而又可以將點(diǎn)到原點(diǎn)的距離擴(kuò)展為兩點(diǎn)間的距離，即|a|→|a-b|，將絕對值與算術(shù)根聯(lián)系起來，即a2=|a|，將絕對值從有理數(shù)集擴(kuò)展到實數(shù)集，從而形成圖2所示“絕對值”概念的表征系統(tǒng).或者將平面上的概念拓展到空間中.



再如，對公式(a+b)2=a2+2ab+b2，可以從以下角度進(jìn)行表征：

a2+b2=(a+b)2-2ab或(a-b)2=(a+(-b))2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2.

總之，多元表征能夠反映事物的各種特征，尤其是從具體到抽象地把握數(shù)學(xué)問題的關(guān)系結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生對問題的深刻理解及對數(shù)學(xué)本質(zhì)規(guī)律的認(rèn)識.

三、增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信念

數(shù)學(xué)信念是一個人的數(shù)學(xué)觀，是個體處理數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)任務(wù)時持有的觀點(diǎn).舒菲爾德指出，學(xué)生的數(shù)學(xué)信念由情感與認(rèn)知相互交叉部分組成，包括學(xué)生自我與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、問題解決關(guān)系的看法，學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決的看法，學(xué)生對數(shù)學(xué)活動中的社會情境的看法三種成分.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念直接或間接地影響著學(xué)習(xí)者對數(shù)學(xué)認(rèn)知的理解、問題解決過程、遷移以及認(rèn)知策略的選擇.學(xué)生的數(shù)學(xué)信念與數(shù)學(xué)理解具有微妙的相互影響關(guān)系.數(shù)學(xué)理解是問題解決的第一步，對應(yīng)于認(rèn)知過程中的問題表征，一旦采取了合理的方式表征問題，就能形成一個良好的問題空間，問題的解決就開了一個好頭.所以，如果學(xué)生持有“數(shù)學(xué)是一個由多種表征組成，且各種表征是相互聯(lián)系的有機(jī)體”的信念，他們就會采用多種表征（如符號、圖形、語言等）來增進(jìn)數(shù)學(xué)理解，這種理解反過來也促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)內(nèi)部與外部是相互聯(lián)系的有機(jī)整體，從而有利于形成多元表征系統(tǒng).相反，如果學(xué)生持有“知識是孤立的、片斷性的事實、概念”的信念，就會產(chǎn)生“記住”就是“理解”這樣的信念，因此，數(shù)學(xué)問題表征時就難以在知識點(diǎn)之間建立多向、交叉的聯(lián)系，從而使得問題表征單一，不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的全面理解以及知識之間正遷移的發(fā)生.

同時，學(xué)習(xí)信念也影響著學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的情感投入和活動參與.有效的信念可以促進(jìn)學(xué)生投入內(nèi)在動機(jī)，產(chǎn)生積極情感，體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感和愉悅感；而無效的信念卻消解學(xué)生的內(nèi)在動機(jī)，容易產(chǎn)生消極情感，甚至產(chǎn)生焦慮和厭倦的情感.由此可見，數(shù)學(xué)信念決定著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀，進(jìn)而影響其學(xué)習(xí)方式、認(rèn)知方式、情感參與，最終落實于數(shù)學(xué)問題的解決.

問題表征對問題解決具有極其重要的作用.在對實際問題進(jìn)行表征過程中，導(dǎo)致建構(gòu)出錯或者不完整的問題空間的因素是多方面的，如信息遺漏、信息誤解，或者受到數(shù)學(xué)術(shù)語的隱喻干擾等因素.因此，如何有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題表征能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要任務(wù).

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