矩陣分解

【摘要】把一個(gè)矩陣分解為若干個(gè)矩陣的乘積，在理論研究和實(shí)際中有著重要的作用.矩陣分解主要包括三角分解、QR分解、奇異值分解等，本文詳細(xì)給出它們的做法.

【關(guān)鍵詞】三角；奇異值

定義1 設(shè)A∈Cn×n，如果存在下三角矩陣L∈Cn×n和上三角矩陣U∈Cn×n，使得A=LU，則稱(chēng)A可作三角分解或LU分解.

例1 求A=1-324-12-3-32-4571-241的三角分解.

解 1-324-12-3-32-4571-241→

1-3240-1-11021-1012-3→

1-3240-1-1100-11001-2→

1-3240-1-1100-11000-1=U，

L-11=10001100-2010-1001，

L1=1000-110020101001 .

L-12=1000010002100101，

L2=100001000-2100-101 .

L-13=1000010000100011，

L3=10000100001000-11 .

L-13L-12L-11A=U，∴A=L1L2L3U.

令L=L1L2L3=1000-110020101001

100001000-2100-101#8226;

10000100001000-11=

1000-11002-2101-1-11，

則A=LU.

定義2 如果實(shí)非奇異矩陣A能夠轉(zhuǎn)化成正交矩陣Q與實(shí)非奇異上三角矩陣R的乘積，即A=QR，則稱(chēng)上式為A的QR分解.

例2 用施密特正交化方法求矩陣-1-11101011的QR分解.

解 令1=-110，2=-101，3=111.

正交化：β1=1=-110，

β2=2-(2，β1)(β1，β1)=-110-12-110=-12-121，

β3=3-(3，β1)(β1，β1)-(3，β2)(β2，β2)=111-0β1-0β2=111，

單位化：

e1=-12-120，

e2=-16-1626，

e3=131313，

Q=［e1 e2 e3］=-12-1613-12-161302613，

R=2000620003×

1120010001=

2200620003，

QR=-12-1613-12-161302613×

2200620003

=-1-11101011 .

定義3 設(shè)A為m行n列的矩陣，則存在m階正交矩陣U和n階正交矩陣V，使得A=USV，這里S為A的奇異值矩陣.

【參考文獻(xiàn)】

［1］徐樹(shù)方.矩陣計(jì)算的理論與方法.北京：北京大學(xué)出版社，2005.

［2］張賢達(dá).矩陣分析與應(yīng)用.北京：清華大學(xué)出版社，2004.

［3］馬元生.線性代數(shù)簡(jiǎn)明課程.北京：科學(xué)出版社，2007.

［4］劉吉佑，徐誠(chéng)浩.線性代數(shù).武漢：武漢大學(xué)出版社，2006.