正弦、余弦定理應(yīng)用舉例及評(píng)析

【摘要】數(shù)學(xué)教育教給學(xué)生的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，還要著重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式觀察周?chē)氖挛?，建立?shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)方法分析、解決實(shí)際問(wèn)題.解斜三角形的知識(shí)在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，其實(shí)質(zhì)是建立幾何模型解決實(shí)際問(wèn)題.解斜三角形是三角知識(shí)直接聯(lián)系實(shí)際的重要途徑，也是高考命題的重要素材，因此對(duì)正弦定理、余弦定理的靈活運(yùn)用不可輕視.文章通過(guò)對(duì)例題的解答與評(píng)析，總結(jié)歸納此類問(wèn)題的方式方法.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型；數(shù)形結(jié)合；正弦定理；余弦定理

解斜三角形在測(cè)量、航海、幾何、物理等許多實(shí)際問(wèn)題中都有廣泛的應(yīng)用，也是歷年高考的重要素材.同時(shí)，對(duì)于一些職業(yè)高中學(xué)習(xí)機(jī)械、汽修、數(shù)控等專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)好正弦定理和余弦定理等解三角形的相關(guān)知識(shí)，對(duì)于專業(yè)課中的相關(guān)問(wèn)題的解答也有指導(dǎo)與借鑒作用.以下舉例說(shuō)明解斜三角形在實(shí)際中的一些應(yīng)用.

圖 1

例1 輪船以15 km/h的速度沿與水流方向成120°角的方向行駛，水流的流速為4 km/h，求輪渡實(shí)際行駛的速度（精確到0.1 km/h）和方向（精確到1°）.

解 如圖1，AB表示水流的速度，AD表示輪船行駛速度，以AD，AB為鄰邊作平行四邊形ABCD，則AC就是輪船實(shí)際速度.

在ABCD中，|DC|=|AB|=4，

|BC|=|AD|=15，∠BAD=120°，∠B=60°，

∴|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|#8226;|BC|#8226;cos60°

=42+152-2×4×15×12=181.



∴|AC|≈135 km/h，

sin∠ACB=|AB|sinB|AC|=4sin60°135=02576.

∵|AC|>|AB|，∴∠ACB=14°56′，

∴∠BAC=180°-(∠B+∠ACB)≈105°.

答：輪船實(shí)際行駛的速度約為13.5 km/h，實(shí)際行駛方向與水流方向約成105°的角.

評(píng)析 1建立平行四邊形向量圖這個(gè)數(shù)學(xué)模型解答本題，集中了實(shí)際問(wèn)題中的條件與所求，從而把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解斜三角形問(wèn)題.建立數(shù)學(xué)模型解答應(yīng)用問(wèn)題是一種具體的操作方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想.

2解決問(wèn)題的表述程序是對(duì)“需要解決什么、先解決什么”這一分析過(guò)程的倒敘.因此，解答前先做好分析這一步，可保證解題表述過(guò)程的規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn).

3有精確度要求的問(wèn)題，應(yīng)利用計(jì)算器，按近似值計(jì)算要求，保留相應(yīng)的位數(shù).

圖 2

例2 如圖2，在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為θ，沿BE方向前進(jìn)30 m至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2θ，再繼續(xù)前進(jìn)103 m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4θ，求θ的大小和建筑物AE的高.

解法1 由已知條件可知，在△ABC中，

AC=BC=30，AD=CD=103，∠ADC=180°-4θ，

∴103sin2θ=30sin(180°-4θ).

∵sin4θ=2sin2θcos2θ，

∴cos2θ=32，∴2θ=30°，θ=15°，

∴在Rt△ADE中，AE=ADsin60°=15.

答：所求角θ為15°，建筑物高度為15 m.

解法2 設(shè)DE=x，AE=h.

在Rt△ACE中，(103+x)2+h2=302，

在Rt△ADE中，x2+h2=(103)2.

兩式相減，得x=53，∴h=15.

在Rt△ACE中，tan2θ=h103+x=33，

∴2θ=30°，θ=15°.

答：所求角θ為15°，建筑物高度為15 m.

評(píng)析 1把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題后，要善于挖掘題設(shè)信息，由本題條件可知△ABC，△ACD均為等腰三角形.利用這個(gè)結(jié)論把不同三角形的邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化到△ACD中，是運(yùn)用正弦定理解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

2解法2通過(guò)挖掘題設(shè)中存在直角三角形這一信息，運(yùn)用方程的方法解決了問(wèn)題.可見(jiàn)，解三角形問(wèn)題，一般不是“套”或“湊”用正、余弦定理，而應(yīng)充分理解題意，弄清依據(jù)，再?zèng)Q定用什么方法.

例3 某市邊防支隊(duì)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75°的方向以10海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛.巡邏艇立即以14海里/小時(shí)的速度沿著直線方向追去，問(wèn)：巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才能追上該走私船？

圖 3

解 如圖3，設(shè)巡邏艇沿AB方向經(jīng)過(guò)，經(jīng)過(guò)x小時(shí)后，在B處追上走私船，則CB=10x，AB=14x，AC=9，

∠ACB=75°+45°=120°，

∴(14x)2=92+(10x)2-2×9×10xcos120°，

∴32x2-30x-27=0，

解得x=32或x=-916（舍去）.

∴BC=10x=15，AB=14x=21，

∴sin∠BAC=BCsin120°AB=1521#8226;32=5314.

通過(guò)計(jì)算器計(jì)算得∠BAC=38°13′或141°47′（鈍角不合題意，舍去）.

∴38°13′+45°=83°13′.

答：巡邏艇應(yīng)沿北偏東83°13′的方向追趕，經(jīng)過(guò)1.5小時(shí)追趕上該走私船.

評(píng)析 1引入x后，三角形的三邊和已知條件均可用含x的代數(shù)式表示，從而可運(yùn)用余弦定理建立方程.可與在已知“兩角一對(duì)邊”條件下用正弦定理求解進(jìn)行比較.

2一般規(guī)定“上北下南、左西右東”，因此在由應(yīng)用問(wèn)題建立的數(shù)學(xué)模型中，應(yīng)據(jù)此標(biāo)出有關(guān)的角，為分析提供方便.

例4 如圖4所示的曲柄連桿機(jī)構(gòu)，當(dāng)曲柄AC上的C點(diǎn)繞著轉(zhuǎn)動(dòng)中心A做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由連桿BC帶動(dòng)活塞B，在汽缸內(nèi)做往復(fù)的直線運(yùn)動(dòng).已知AC=25 mm，BC=125 mm，當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)過(guò)角度φ=60°時(shí)，活塞B到曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)中心A的距離是多少？（精確到0.1 mm）

圖 4

解法1 根據(jù)正弦定理，得sinB=sin60°5=0173.

∵BC>AC，計(jì)算器算得∠B=9°58′，∠C=110°02′，

∴AB=125sinCsinA≈1356(mm).

解法2 設(shè)AB=x，根據(jù)余弦定理，得

252+x2-50xcos60°=1252.

∴x2-25x-150#8226;100=0，得x=25±25972（負(fù)根舍去）.

∴AB=x≈1356(mm).

評(píng)析 1注意在運(yùn)用正弦定理求角時(shí)應(yīng)根據(jù)三角形的有關(guān)性質(zhì)具體確定角的范圍.

2兩種方法的解答鍛煉了學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)知度和發(fā)散性思維.

總之，對(duì)于解應(yīng)用題來(lái)說(shuō)，首先，要理解題意，明確背景，熟悉已知條件，了解所需要的條件，明確題目的所求內(nèi)容.其次，建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.最后，解答數(shù)學(xué)模型，與問(wèn)題所求量進(jìn)行聯(lián)系，解答數(shù)學(xué)問(wèn)題.解斜三角形可以用這樣一個(gè)程序進(jìn)行：實(shí)際問(wèn)題→畫(huà)圖形→數(shù)學(xué)模型→解三角形→數(shù)學(xué)模型的解→檢驗(yàn)并作答.

【參考文獻(xiàn)】

［1］丘維聲.數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)版）.北京：高等教育出版社.

［2］陳建忠.高職考（數(shù)學(xué)）總復(fù)習(xí).長(zhǎng)春：吉林?jǐn)z影出版社.

［3］張奠宙.中學(xué)教學(xué)全書(shū)（數(shù)學(xué)卷）.上海：上海教育出版社.

［4］名師授課錄#8226;高中數(shù)學(xué).上海：上海教育出版社.