【摘要】文章對(duì)橢圓中△PF1F2的形狀、∠F1PF2的范圍、∠F1PF2的余弦值的最小值及△PF1F2的面積的最大值進(jìn)行了討論.
【關(guān)鍵詞】焦點(diǎn)三角形;直角三角形;直角;鈍角;銳角
在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,以?xún)蓚€(gè)焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2及其上任意一點(diǎn)P(長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)除外)為頂點(diǎn)的△PF1F2叫橢圓的焦點(diǎn)三角形.由橢圓的第一定義知△PF1F2的三邊滿(mǎn)足|PF1+PF2|=2a(2a>2c),|F1F2|=2c(c>0).下面就橢圓中焦點(diǎn)三角形的幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)行討論:
一、焦點(diǎn)三角形是直角三角形的個(gè)數(shù)
在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,
(1)當(dāng)b>c時(shí),在所有焦點(diǎn)三角形中有4個(gè)是直角三角形,過(guò)焦點(diǎn)F1或F2,作x軸的垂線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)即為頂點(diǎn)P,焦點(diǎn)F1或F2為直角頂點(diǎn).以原點(diǎn)O為圓心,半徑為c的圓在橢圓的內(nèi)部與橢圓無(wú)交點(diǎn),故∠F1PF2是銳角.
(2)當(dāng)b=c時(shí),在所有焦點(diǎn)三角形中有6個(gè)是直角三角形,其中4個(gè)同(1).另外兩個(gè)的直角頂點(diǎn)P分別是短軸的兩個(gè)端點(diǎn),因?yàn)橐栽c(diǎn)O為圓心,半徑為c的圓在橢圓的內(nèi)部與橢圓相切于短軸的兩個(gè)端點(diǎn),故∠F1PF2是直角.
(3)當(dāng)b 二、焦點(diǎn)△PF1F2中cos∠F1PF2的最小值及△PF1F2的面積的最大值 在△PF1F2中,由余弦定理,得 cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|#8226;|PF2| =(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|#8226;|PF2|-|F1F2|22|PF1|#8226;|PF2| =4a2-2|PF1|#8226;|PF2|-4c22|PF1|#8226;|PF2| =2a2-2c2|PF1|#8226;|PF2|-1. 又 |PF1|+|PF2|=2a,由均值不等式,得 |PF1|#8226;|PF2|≤2a22=a2(當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|=a時(shí),等號(hào)成立). 于是(cos∠F1PF2)min=2a2-2c2a2-1=a2-2c2a2=1-2e2. 因cos∠F1PF2取最小值時(shí),|PF1|=|PF2|=a,即點(diǎn)P是橢圓的短軸的端點(diǎn). 此時(shí),焦點(diǎn)△PF1F2的面積有最大值,即S△PF1F2=bc. 三、焦點(diǎn)△PF1F2中∠F1PF2的取值范圍與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的關(guān)系 已知點(diǎn)P(x,y)(-a 下面給出兩種方法來(lái)討論: 1運(yùn)用以焦距為直徑的圓與橢圓的位置關(guān)系 以橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距|F1F2|=2c(c>0)為直徑作圓O:x2+y2=c2,則 (1)當(dāng)c (2)當(dāng)c=b時(shí),圓O在橢圓的內(nèi)部與橢圓相切于短軸的兩個(gè)端點(diǎn),故當(dāng)x=0時(shí),∠F1PF2是直角;x∈(-a,0)∪(0,a)時(shí),∠F1PF2是銳角. (3)當(dāng)c>b時(shí),圓O與橢圓有四個(gè)交點(diǎn).因?yàn)閳A的方程為x2+y2=c2,于是由方程組x2+y2=c2,x2a2+y2b2=1,消去y,得關(guān)于x的方程: 1a2-1b2x2=1-c2b2,解得x=±ac2-b2c, 即x=±c2-b2e. 于是,當(dāng)x=±ac2-b2e時(shí),∠F1PF2是直角; 當(dāng)x∈-a,-c2-b2e∪c2-b2e,a時(shí),∠F1PF2是銳角; 當(dāng)x∈-c2-b2e,c2-b2e時(shí),∠F1PF2是鈍角. 2運(yùn)用焦半徑公式和余弦定理 在△PF1F2中,由余弦定理,得 cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|#8226;|PF2|. 于是,當(dāng)|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2<0時(shí),∠F1PF2是鈍角;當(dāng)|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=0時(shí),∠F1PF2是直角;當(dāng)|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2>0時(shí),∠F1PF2是銳角. 因?yàn)閨PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex,|F1F2|=2c,所以|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=(a+ex)2+(a-ex)2-4c2=2e2x2+2a2-4c2.于是, (1)當(dāng)c0,得x∈R,-a (2)當(dāng)c=b時(shí),由2e2x2+2a2-4c2=0,得x=0,即x=0時(shí),∠F1PF2是直角.由2e2x2+2a2-4c2>0,得x<0或x>0,即x∈(-a,0)∪(0,a)時(shí),∠F1PF2是銳角; (3)當(dāng)c>b時(shí),2e2x2+2a2-4c2>0,得x<-c2-b2e或x>c2-b2e,即x∈-a,-c2-b2e∪c2-b2e,a時(shí),∠F1PF2是銳角. 由2e2x2+2a2-4c2=0,得x=±ac2-b2e, 即x=±ac2-b2e時(shí),∠F1PF2是直角. 由2e2x2+2a2-4c2<0,得-c2-b2e 即x∈-c2-b2e,c2-b2e時(shí),∠F1PF2是鈍角.