正交化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的三種方法討論

【摘要】二次型是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形在很多領(lǐng)域有著重要的意義，而正交化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形有著非奇異變換所不具備的特別的優(yōu)勢.文章通過一個具體問題全面概述了正交化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的三種方法，即Schimidt正交化方法、正交線性替換法、初等變換法，并且深刻闡述了后兩種方法的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別.其理論依據(jù)充分，方法具體，例子鮮明.

【關(guān)鍵詞】對稱矩陣；標(biāo)準(zhǔn)形；初等變換；正交線性替換

例 通過正交線性變換化二次型f(x1，x2，x3)=4x21+4x22+4x23+4x1x2+4x1x3+4x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形式.其中，二次型的矩陣為A=422242224 .

一、施密特正交化方法

由參考文獻(xiàn)［1］的思想，Schimidt正交化方法解題過程如下：

先求特征值:|λE-A|=λ-4-2-2-2λ-4-2-2-2λ-4-2-2λ-4=(λ-2)2(λ-8)，得λ1=2（二重），λ2=8.對每個特征值λi，解線性方程組(λiE-A)X=0，求出一組基礎(chǔ)解系，正交化，再單位化.對λ1=2，解得Vλ1的一組基α1=(-1，1，0)，α2=(-1，0，1)，再正交化，β1=(-1，1，0)，β2=-12，-12，1.對λ2=8，解得Vλ2的一組基α3=(1，1，1).再對它們單位化，得γ1=-12，12，0，γ2=-16，-16，26，γ3=13，13，13.從而T=-12-161312-161302613即為所求的正交矩陣，且使T′AT=T-1AT=diag(2，2，8).

二、正交線性替換法

用正交線性變換將實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，關(guān)鍵是求出正交矩陣即可，在求正交矩陣時一般采用的方法是“Schimidt正交化方法”，現(xiàn)在我們借助于Cramer矩陣及合同變換來求正交矩陣.

設(shè)α1，α2，…，αn為n維歐式空間V的一組基，則其Cramer矩陣為G=(α1，α1)…(α1，αn)(αn，α1)…(αn，αn)，G顯然為正定矩陣，從而G合同于單位矩陣E，即存在可逆矩陣P，使得P′GP=E，作V的一個新基：(β1，β2，…，βn)=(α1，α2，…，αn)P，則新基β1，β2，…，βn的Cramer矩陣為H=P′GP=E，所以，β1，β2，…，βn為n維歐式空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基.對于上例：α1，α2，α3作為R3的基，其Cramer矩陣為G=210120003，作矩陣(G E)，且進(jìn)行合同變換(G E)=2101001200100030011001200010-162600010013，取可逆陣P′=1200-162600013，則P=12-16002600013，作新基(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)P，得β1=0，-12，12，β2=-16，-16，26，β3=13，13，13，由上面的討論知β1，β2，β3為R3的標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以T=(β1，β2，β3)為正交矩陣，且有T′AT=T-1AT=diag(2，2，8).

三、矩陣的初等變換法

設(shè)F(λ)=|λE-A|，且F(λ)E初等列變換B(λ)P(λ)，其中B(λ)為下三角矩陣，則B(λ)的主對角線上的全部元素乘積所構(gòu)成的λ多項(xiàng)式的根正好為矩陣A的特征根，對于矩陣A的每一特征根λi，若矩陣B(λ)中非零向量的列構(gòu)成列滿秩矩陣，那么矩陣P(λi)中和B(λi)中零向量所對應(yīng)的列向量是屬于特征根λi的全部線性無關(guān)的特征向量；否則繼續(xù)B(λi)A(λi)列初等變換B*(λi)P*(λi)使得B*(λi)中非零向量的列構(gòu)成列滿秩矩陣，那么P*(λi)中和B*(λi)中零向量對應(yīng)的列向量是屬于特征根λi的全部線性無關(guān)的特征向量.

設(shè)所求出的特征向量α11…α1k1…αs1…αsks，顯然它是一組線性無關(guān)的向量，以αij為列向量構(gòu)成矩陣B=(αij)，則B′B是一個n階正定矩陣，必與單位矩陣合同，即存在n階可逆矩陣Q，使得Q′(B′B)Q=E……(1)，即(Q′B′)(BQ)=E……(2).

(1)式說明：對矩陣B′B施行一系列的列初等變換（相應(yīng)的初等矩陣的乘積為Q）及一系列的行初等變換（相應(yīng)的初等矩陣的乘積為Q′），可化為單位矩陣；(2)式說明：BQ的列向量組是一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，BQ可以通過對矩陣B施行與對矩陣B′B所施行的相同的初等變換求出.

于是得到求正交矩陣的初等變換法Q′B′BBQ→EBQ對B′B施行合同變換，對B施行行初等變換.實(shí)際上將B′B化為E，可先用1a11分別乘以a11所在的行和列使a11變成1；再施以列初等變換把a(bǔ)11所在行其他元素化為0，又施以行初等變換把a(bǔ)1所在列的其他元素化為0，按此法，依次把a(bǔ)22…，…ann變?yōu)?，其他元素變?yōu)?，那么矩陣BQ即為所求的矩陣P，且P′AP為對角陣，其中主對角線上元素λ1…λik1…，λl…λsks.如上例：當(dāng)λ1=2時，B(λ1)P(λ1)=1110-1200000-1100011-2T，則α1=(0，-1，1)，α2=(1，1，-2)，即為(λ1E-A)X=0的一組基礎(chǔ)解系.當(dāng)λ2=8時，B(λ2)P(λ2)=1-210-1200-600-11000111T，則α3=(1，1，1)為(λ2E-A)X=0的一組基礎(chǔ)解系.故B=011-1111-21，B′B=2-30-360003，B′BB合同變換1000-12120102626-16001131313T.

從而T=02613-12-161312-1613即為所求，且使T′AT=T-1AT=diag(2，2，8).

各種方法優(yōu)缺點(diǎn)總結(jié)

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形就是一種坐標(biāo)變換的對角化，正交變換后標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)恰好為特征值，正交變換保持向量的長度不變，保持兩個向量的夾角不變，有些像剛體，實(shí)質(zhì)上是做一個旋轉(zhuǎn)，將二次型化到主軸上，而非奇異變換不存在這樣的特點(diǎn).

在作正交變換時，Schimidt正交化過程當(dāng)矩陣階數(shù)較大時計(jì)算麻煩，且不容易記憶，而正交線性替換法與矩陣的初等變換法省去了正交化過程，其中正交線性替換法借助于歐氏空間中的基變換，計(jì)算過程較容易，而初等變換法用到了解線性方程組與矩陣的合同變換的方法.事實(shí)上正交線性替換法里的矩陣G與初等變換法里的B′B是相似矩陣，只要取的基相同，G與B′B是完全相同的.

【參考文獻(xiàn)】

［1］王萼芳.高等代數(shù)(第3版)［M］.高等教育出版社，2003.

［2］劉學(xué)鵬.概論化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的四種方法［J］.高等理科教育，2005（5）：104-107.

［3］朱前永.關(guān)于化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的相似變換方法的討論［J］.吉林化工學(xué)院學(xué)報，2004(3).