【摘要】本文用z變換法、解差分方程法、矩陣法等三種方法求出了Fibonaci數(shù)列的通項公式,并利用其通項公式證明了Fibonaci數(shù)列的重要性質.
【關鍵詞】Fibonaci數(shù)列;z變換;差分方程
一、引 言
Fibonaci數(shù)列,F(xiàn)n:1,1,2,3,5,8,11,…,其遞推公式為Fn+2=Fn+1+Fn(n≥1),F(xiàn)1=F2=1,但如果能夠給出其通項公式,將有利于我們研究其性質.以下我將給出z變換法、解差分方程法、矩陣法等三種方法來求其通項公式.
二、求解公式
方法1 z變換法.
設F1(k+1)=F2(k),F2(k+1)=F1(k)+F2(k).(1)
其中F1(0)=F2(0)=1.
可用迭代法求得序列F1(k),F(xiàn)2(k):
F1(1)=F2(0)=1,F2(1)=F1(0)+F2(0)=2,
F1(2)=F2(1)=2,F2(2)=F1(1)+F2(1)=3,
F1(3)=F2(2)=3,F2(3)=F1(2)+F2(2)=5,
……
F1(k):1,1,2,3,5,…;F2(k):1,2,3,5,8,…均為Fibonaci數(shù)列.
對(1)進行z變換有:
zF1(z)-zF1(0)=F2(z),zF2(z)-zF2(0)=F1(z)+F2(z),
整理有:z2F2(z)-z2F2(0)=zF1(z)+zF2(z)=zF1(0)+F2(z)+zF2(z),
F2(z)=z+z2z2-z+1
=z+z2z-1+52z-1-52
=3+525#8226;zz-1+52+-3+525#8226;zz-1-52 .
由z變換的反變換有:
F2(k)=3+525#8226;1+52k+-3+525#8226;1-52k
=15#8226;1+52k+2+-15#8226;1-52k+2(k=0,1,2,…),
F1(k)=15#8226;1+52k+1+-15#8226;1-52k+1(k=0,1,2,…)
為Fibonaci數(shù)列的通項公式.
方法2 用差分方程方法求解.
Fn+2=Fn+1+Fn,(n≥1,F(xiàn)1=F2=1),
即Fn+2-Fn+1-Fn=0.
其特征方程為:
λ2-λ-1=0,λ1,2=1±52,
Fn=c1#8226;1+52n+c2#8226;1-52n.
因為F1=F2=1有:
1=c1#8226;1+52+c2#8226;1-52,
1=c1#8226;1+522+c2#8226;1-522,
c1=15,c2=-15.
Fn=15#8226;1+52n-15#8226;1-52n為Fibonaci數(shù)列的通項公式.
方法3 用矩陣推導其通項公式.
un=FnFn-1,n≥2,A=1110,u2=11.
un=Aun-1=A2un-2=…=An-1u2A為對稱陣,存在正交陣P,使A對角化.由代數(shù)知識可知,A的特征值為:λ1,2=1±52.
求出其對應的特征向量并單位化進而構造出矩陣P.
P=1+510+251-510-25210+25210-25,
A=P1+52001-52P-1,
An-2=PDn-2P-1,D=diag1+52,1-52,
PT=P-1,
un=An-2u2=PDn-2P-1u2
=1+510+251-510-25210+25210-25#8226;
1+52n-2001-52n-2#8226;
1+510+25210+251-510-25210-25
11
=15#8226;1+52n-15#8226;1-52n
15#8226;1+52n-1-15#8226;1-52n-1=FnFn-1,
Fn=15#8226;1+52n-15#8226;1-52n.
三、公式的應用
性質1 Fn#8226;Fn-1-F2n=(-1)n.
性質2 Fn+1+Fn-1+5Fn=2#8226;1+52n,
Fn+1+Fn-1-5Fn=2#8226;1-52n.
性質3 Fn+d#8226;Fn-d-F2n=(-1)n-d+1F2d.
性質4 Fn+1#8226;Fn+2-FnFn+3=(-1)n.
只證明性質1:
Fn#8226;Fn-1-F2n
=151+52n+1-1-52n+1#8226; 1+52n-1-1-52n-1- 151+52n-1-52n2
=15[-3(-1)n-1+2(-1)n]=(-1)n.
四、小 結
本文利用z變換法、解差分方程法、矩陣法等三種方法求出了Fibonaci數(shù)列的通項公式,使得研究Fibonaci數(shù)列的性質更加方便簡捷.
本文受到陜西科技大學2011年教學改革項目支持(11JG62).
【參考文獻】
[1]孫慶海,戴志國.Fibonaci數(shù)列的幾個性質.數(shù)學通報,1997(4):38-40.
[2]同濟大學數(shù)學教研室編.線性代數(shù)(第三版).北京:高等教育出版社.