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    Fibonaci數(shù)列通項公式的幾種求法

    2012-04-29 00:00:00白云霄
    數(shù)學學習與研究 2012年3期

    【摘要】本文用z變換法、解差分方程法、矩陣法等三種方法求出了Fibonaci數(shù)列的通項公式,并利用其通項公式證明了Fibonaci數(shù)列的重要性質.

    【關鍵詞】Fibonaci數(shù)列;z變換;差分方程

    一、引 言

    Fibonaci數(shù)列,F(xiàn)n:1,1,2,3,5,8,11,…,其遞推公式為Fn+2=Fn+1+Fn(n≥1),F(xiàn)1=F2=1,但如果能夠給出其通項公式,將有利于我們研究其性質.以下我將給出z變換法、解差分方程法、矩陣法等三種方法來求其通項公式.

    二、求解公式

    方法1 z變換法.

    設F1(k+1)=F2(k),F2(k+1)=F1(k)+F2(k).(1)

    其中F1(0)=F2(0)=1.

    可用迭代法求得序列F1(k),F(xiàn)2(k):

    F1(1)=F2(0)=1,F2(1)=F1(0)+F2(0)=2,

    F1(2)=F2(1)=2,F2(2)=F1(1)+F2(1)=3,

    F1(3)=F2(2)=3,F2(3)=F1(2)+F2(2)=5,

    ……

    F1(k):1,1,2,3,5,…;F2(k):1,2,3,5,8,…均為Fibonaci數(shù)列.

    對(1)進行z變換有:

    zF1(z)-zF1(0)=F2(z),zF2(z)-zF2(0)=F1(z)+F2(z),

    整理有:z2F2(z)-z2F2(0)=zF1(z)+zF2(z)=zF1(0)+F2(z)+zF2(z),

    F2(z)=z+z2z2-z+1

    =z+z2z-1+52z-1-52

    =3+525#8226;zz-1+52+-3+525#8226;zz-1-52 .

    由z變換的反變換有:

    F2(k)=3+525#8226;1+52k+-3+525#8226;1-52k

    =15#8226;1+52k+2+-15#8226;1-52k+2(k=0,1,2,…),

    F1(k)=15#8226;1+52k+1+-15#8226;1-52k+1(k=0,1,2,…)

    為Fibonaci數(shù)列的通項公式.

    方法2 用差分方程方法求解.

    Fn+2=Fn+1+Fn,(n≥1,F(xiàn)1=F2=1),

    即Fn+2-Fn+1-Fn=0.

    其特征方程為:

    λ2-λ-1=0,λ1,2=1±52,

    Fn=c1#8226;1+52n+c2#8226;1-52n.

    因為F1=F2=1有:

    1=c1#8226;1+52+c2#8226;1-52,

    1=c1#8226;1+522+c2#8226;1-522,

    c1=15,c2=-15.

    Fn=15#8226;1+52n-15#8226;1-52n為Fibonaci數(shù)列的通項公式.

    方法3 用矩陣推導其通項公式.

    un=FnFn-1,n≥2,A=1110,u2=11.

    un=Aun-1=A2un-2=…=An-1u2A為對稱陣,存在正交陣P,使A對角化.由代數(shù)知識可知,A的特征值為:λ1,2=1±52.

    求出其對應的特征向量并單位化進而構造出矩陣P.

    P=1+510+251-510-25210+25210-25,

    A=P1+52001-52P-1,

    An-2=PDn-2P-1,D=diag1+52,1-52,

    PT=P-1,

    un=An-2u2=PDn-2P-1u2

    =1+510+251-510-25210+25210-25#8226;

    1+52n-2001-52n-2#8226;

    1+510+25210+251-510-25210-25

    11

    =15#8226;1+52n-15#8226;1-52n

    15#8226;1+52n-1-15#8226;1-52n-1=FnFn-1,

    Fn=15#8226;1+52n-15#8226;1-52n.

    三、公式的應用

    性質1 Fn#8226;Fn-1-F2n=(-1)n.

    性質2 Fn+1+Fn-1+5Fn=2#8226;1+52n,

    Fn+1+Fn-1-5Fn=2#8226;1-52n.

    性質3 Fn+d#8226;Fn-d-F2n=(-1)n-d+1F2d.

    性質4 Fn+1#8226;Fn+2-FnFn+3=(-1)n.

    只證明性質1:

    Fn#8226;Fn-1-F2n

    =151+52n+1-1-52n+1#8226; 1+52n-1-1-52n-1- 151+52n-1-52n2

    =15[-3(-1)n-1+2(-1)n]=(-1)n.

    四、小 結

    本文利用z變換法、解差分方程法、矩陣法等三種方法求出了Fibonaci數(shù)列的通項公式,使得研究Fibonaci數(shù)列的性質更加方便簡捷.

    本文受到陜西科技大學2011年教學改革項目支持(11JG62).

    【參考文獻】

    [1]孫慶海,戴志國.Fibonaci數(shù)列的幾個性質.數(shù)學通報,1997(4):38-40.

    [2]同濟大學數(shù)學教研室編.線性代數(shù)(第三版).北京:高等教育出版社.

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