淺述數學解題中數學語言的翻譯
2012-04-29 00:00:00何紀龍
數學學習與研究 2012年3期
數學語言大致有三種：符號語言、圖形語言、文字語言.它們都是數學思維、數學理論的載體.三種語言在表述數學問題時有時又相互錯雜相互滲透，再加上數學語言本身的高度的概括性與抽象性，使得數學語言披上了一層冷酷的外衣，學生在審題時有一種有力無處使的感覺，最后一籌莫展，束手無策.那么如何改變這種狀況呢？這就要求廣大教師在平時的教學中做好雙基訓練的同時，還應當注重培養(yǎng)學生數學語言的理解與轉化能力，將深奧的數學語言翻譯成與自己的認知實際相符的通俗的熟悉的數學語言，這樣就能使問題得到圓滿的解決，具體的實施途徑可以從以下幾個方面來考慮.
一、代數問題語言圖形化
例1 已知集合A=｛(x，y)︱x2+mx-y+2=0｝，B=｛(x，y)︱x-y+1=0，0≤x≤2｝，如果A∩B≠，求實數m的范圍.
分析 從兩集合的代表元素（x，y）的幾何意義來看，這兩個集合本質上表示的均為曲線上點的點集，A∩B≠，從幾何的角度來看是兩曲線一定有交點.因此可將原數學語言翻譯成：“拋物線與線段有公共點，求實數m的范圍.”
解 由x2+mx-y+2=0，x-y+1=0(0≤x≤2)，
得x2+（m-1）x+1=0.(1)
因為A∩B≠，所以（1）在區(qū)間［0，2］上至少有一個實數解，由Δ=(m-1)2-4≥0，得到m≥3或m≤-1.當m≥3時，由x1+x2=-(m-1)＜0及x1x2=1＞0知方程(1)只有負根，不符合題意；當m≤-1時，由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1知方程(1)有兩個互為倒數的正根，故必須有一根在區(qū)間(0，1］內，從而方程（1）至少有一根在區(qū)間［0，2］內，所以，所求的范圍是(-∞，-1］.
例2 設實數x，y滿足x2+(y-2)2=4，若要使不等式x-y+C≤0恒成立，求C的范圍.
分析 此題乍一看，數學語言有點陌生，但仔細觀察后，可以從二元方程和二元不等式的幾何意義入手，把問題形象化，實數x，y滿足x2+(y-2)2=4表明（x，y）是圓上的點，同時x，y又要使得不等式x-y+C≤0成立，表明（x，y）又是y≥x+C表示的區(qū)域內的點，結合本題的要求：y≥x+C恒成立，所以本題的數學語言可形象地翻譯成:“圓x2+(y-2)2=4上的點都不在直線y=x+C的下面，求C的取值范圍.”
解 作出圖形，直線y=x+C表示一組傾斜角為45°、截距是C的平行線，所以滿足題意的圖形的邊界位置是當直線為圓的下切線時，此時C取最大值2-22，所以C的范圍是﹙-∞，2-22］.
二、正面問題語言反面化
例3 若三個方程x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實數解，求實數a的取值范圍.
分析 本題要想直接去求解，頭緒繁冗復雜難以下手，但如果從反面角度去考慮，將此問題語言翻譯成“求三個方程都無解的實數a的取值集合在R上的補集”，問題便可迎刃而解.
解 假設三個方程均無實數解，則有Δ1=16a2+16a-12=0，Δ2=(a-1)2-4a2<0，Δ3=4a2+8a﹤0，得-32 例4 布袋中有5個紅球，6個白球，4個黑球，從袋中摸3個球，問：摸到的三個球至少有兩球顏色相同的情況有幾種？ 分析 此題若直接解必須要分兩類：有兩球顏色完全相同和有三球顏色完全相同.如果老師引導學生從反面考慮，即將此問題語言翻譯成“三球顏色完全不同的情形的對立面”，問題就變得簡單多了. 解 C315-C15C16C14=335（種）. 三、一般問題語言模型化 例5 把10分成三個正整數之和有：10=1+1+8=1+2+7=3+2+5=…，如果計入不同順序，可用多少種方式寫成三個正整數之和？ 分析 此題實際是求x1+x2+x3=10這個不定方程的正整數解，直覺使人聯想到排列組合中的“隔板原理”這樣一個原型，于是此問題語言便可翻譯成:“在10個1之間的9個空隙間插入2塊隔板，這樣的插空方法有多少種？” 解 C29=36(種). 四、實際問題語言符號化 例6 已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為多少？ 分析 先將普通語言轉換為數學符號語言表達式. 設長方體的長、寬、高分別為x，y，z，則 2(xy+yz+xz)=11，4(x+y+z)=24，求x2+y2+z2. 長方體所求對角線長為： x2+y2+z2＝(x+y+z)2-2(xy+yz+xz)＝5.
