向量起源較早,最早出現(xiàn)在物理學(xué)中的速度和力的研究中,公元前350年,亞里士多德就發(fā)現(xiàn)如果有多個(gè)力作用于物體的同一點(diǎn)上,最終的合力并不是多個(gè)力大小的和,而是運(yùn)用平行四邊形法則.向量(vector)這個(gè)名稱來(lái)源于拉丁文“vehere”的過(guò)去分詞,是數(shù)學(xué)家哈密頓先在研究中提出使用的.向量有三條主線,分別是物理學(xué)中的速度和力的平行四邊形、復(fù)數(shù)的幾何表示以及位置幾何.
1996年向量出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的范圍中,向量由于既有大小又有方向的特性,是代數(shù)和幾何的非常好的橋梁,又具有數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,因此向量在高中數(shù)學(xué)的地位頗受重視.高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)中,關(guān)于向量的部分分為平面向量和空間向量,高中教學(xué)要求中學(xué)生能理解向量可以表示平面或空間中點(diǎn)、線、面的度量和位置關(guān)系.我省從2008年開(kāi)始數(shù)學(xué)使用的是北師大版本的教材,在北師大版本的教材中平面向量安排在必修4第二章平面向量,共計(jì)7個(gè)小節(jié),空間向量安排在選修2-1第二章空間向量與立體幾何,共有6個(gè)小節(jié).
在比較平面向量和空間向量的學(xué)習(xí)過(guò)程中,在空間立體幾何和平面幾何中求距離、夾角和證明垂直、平行時(shí),我所教的學(xué)生樂(lè)于首先使用坐標(biāo)法,其次是綜合幾何法,再次是向量法.在比較平面向量和空間向量的學(xué)習(xí)過(guò)程中,有個(gè)奇怪的現(xiàn)象,在高一學(xué)習(xí)平面向量的時(shí)候部分學(xué)生甚至程度較好的學(xué)生都有學(xué)習(xí)困難,而在高二學(xué)習(xí)空間向量時(shí),幾乎所有的學(xué)生都神奇般迅速接受,學(xué)得得心應(yīng)手,似乎把空間向量當(dāng)成萬(wàn)能鑰匙,做立體幾何題,不約而同建立空間直角坐標(biāo)系.那么這個(gè)現(xiàn)象背后的影響因素會(huì)有哪些方面?如何在今后的教學(xué)過(guò)程中找出對(duì)策,促進(jìn)有效教學(xué)?為此做了一些調(diào)查,希望給各位老師提供一點(diǎn)資料.
一、研究方法
1問(wèn)卷法
隨機(jī)選5名高三理科生和5名高三文科生做調(diào)查,問(wèn)卷編制5個(gè)題目:(1)請(qǐng)寫(xiě)出向量的定義;(2)請(qǐng)寫(xiě)出向量中的公式、定理;(3)如果不學(xué)向量你認(rèn)為會(huì)有什么影響?(4)證明:三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半;(5)(2010年重慶)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn).證明:AE⊥平面PBC.
2訪談法
在進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查前后對(duì)同學(xué)個(gè)別訪談.
二、調(diào)查程序
星期二下午自習(xí)課在兩個(gè)班同時(shí)發(fā)放問(wèn)卷,時(shí)間是15分鐘,實(shí)名答卷.
三、情況分析
1問(wèn)卷結(jié)果
文科同學(xué)的情況:第一題5名同學(xué)的回答是一致的;第二題5名同學(xué)都寫(xiě)了數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算公式及平面向量基本定理,有3名同學(xué)寫(xiě)了平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示,還有1名同學(xué)寫(xiě)了向量平行和垂直的充要條件距離公式等;第三題有2名同學(xué)回答不知道,2名同學(xué)回答向量可以求角和模長(zhǎng),1名同學(xué)回答還可以判斷三角形形狀、外心、內(nèi)心、重心、垂心,證明三點(diǎn)共線、垂直、平行;第四題、第五題都使用綜合幾何法證明.
理科同學(xué)的情況:第一題5名同學(xué)都回答得一致;第二題5名同學(xué)都寫(xiě)得比較全,既有平面向量公式、定理,也有空間向量的公式、定理;第三題5名同學(xué)肯定空間向量的作用,有2名同學(xué)回答以前很怕立體幾何,有了坐標(biāo)法以后,立幾的題目只要能建系的就會(huì)做,要是用綜合法做不來(lái)輔助面、輔助線;第四題有1名同學(xué)用向量法,另外4名同學(xué)都用幾何法;第五題有3名同學(xué)用坐標(biāo)法,2名同學(xué)用幾何法.
2問(wèn)卷分析
第一題10名同學(xué)都回答得干脆簡(jiǎn)潔,反映出同學(xué)對(duì)于向量的概念核心特質(zhì)是比較了解的,有兩位理科同學(xué)還舉例位移等物理矢量;第二題反映同學(xué)目前還是比較注重向量在解題上的實(shí)用性;第三題反映出對(duì)于公式和基本定理都還比較熟悉,有1名同學(xué)寫(xiě)得特別詳細(xì),還寫(xiě)了求法向量的方法,看來(lái)同學(xué)對(duì)于知識(shí)點(diǎn)都掌握得還好;第四題基本上都用幾何法,反映出同學(xué)對(duì)于初中證明方法印象深刻,而且都用相似三角形證明;第五題文科學(xué)生由于沒(méi)有學(xué)空間向量就使用綜合法,理科學(xué)生有過(guò)半的同學(xué)用坐標(biāo)法.
3訪談分析
訪談了10名同學(xué)中的4名,文、理各2名同學(xué),大家反映的問(wèn)題有這么幾點(diǎn):①第三題不太知道該如何回答,其余的題目都挺好回答的;②平面向量基本定理不知道該怎么使用,怎樣找基底,不會(huì)用向量法證明平面幾何和立體幾何的題目;③理科學(xué)生非常喜歡用坐標(biāo)法,2名用綜合法證明第五題的同學(xué),是覺(jué)得想試試用幾何法證明,練一下幾何法是因?yàn)橛悬c(diǎn)擔(dān)心萬(wàn)一高考題不好建系怎么辦;④文理科的同學(xué)對(duì)于平面向量都有一定程度的困惑.
四、教學(xué)反思
向量包含著豐富的內(nèi)涵,它集合了運(yùn)算的快捷以及圖形的直觀兩大優(yōu)勢(shì),是數(shù)與形的高度結(jié)合統(tǒng)一.新課標(biāo)指出“三維空間是人類生存的現(xiàn)實(shí)空間,認(rèn)識(shí)空間圖形,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力,是高中階段必修系列課程的基本要求”.高中數(shù)學(xué)中向量重要的使用是解決度量關(guān)系和位置關(guān)系,更要強(qiáng)調(diào)的是向量可推廣到高維空間,而幾何法僅限于三維空間.向量是提升空間想象能力的載體,不但是幫助我們理解高中階段空間圖形和性質(zhì)的好辦法,在大學(xué)階段的幾何課程和其他數(shù)學(xué)課程中還是有著廣泛的運(yùn)用,那么在高中教學(xué)過(guò)程中,結(jié)合圖形與數(shù)的關(guān)系,不斷提升空間想象能力,就應(yīng)該加大思維量的訓(xùn)練.