談如何學習線性空間的概念

【摘要】針對學生在學習線性空間的概念時存在的困難，從微觀角度與宏觀角度提出幾點學法建議.

【關鍵詞】線性空間；學法；概念

在高等代數(shù)的學習中，不少學生認為線性空間的概念是進一步學習高等代數(shù)的一道很難逾越的門檻.究其原因，大多數(shù)學生對于比較抽象的高等代數(shù)概念難以理解，還依賴于中學代數(shù)中的數(shù)字運算，還不能從先期學過的多項式、向量、矩陣等的運算中體會文字的運算及運算規(guī)律，亦不能體會結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)的意義；還停留在只注重運算，而不注重運算規(guī)律的層面上，不能從整體上理解一個數(shù)學問題，只能從系統(tǒng)的某些元素進行分析，注重系統(tǒng)的某些細節(jié)，不注重元素間的聯(lián)系及系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu).如果學習不好線性空間的概念，那么學生對今后線性變換、歐氏空間等概念的學習會形成一定的障礙，也直接影響著他們學習高等代數(shù)的興趣、信念，從而使他們不能更好地把握認識論維度、自我維度、教學維度以及學習行為維度.要使學生從微觀角度與宏觀角度更好地學習理解線性空間的概念，下面給出幾點學法建議.

一、根據(jù)教師引導，積極回憶與概念相關的直觀模型

我們在解析幾何中討論的三維空間及空間中的向量、向量的基本性質(zhì)可以按平行四邊形法則相加，也可以與實數(shù)做數(shù)量乘法；矩陣構(gòu)成的集合，兩個同型矩陣可以進行加法運算，某個實數(shù)也可以與矩陣做數(shù)乘矩陣運算.以上這些有助于幫助我們理解抽象的向量的加法與數(shù)乘向量的概念，同時，這些直觀模型的概念與抽象的數(shù)學概念又有較大區(qū)別，學會剔除具體概念中特殊的成分，注重具體概念中共同具有的一些性質(zhì).

二、把新概念的學習納入到已有熟悉的概念系統(tǒng)中去

考察新概念在概念系統(tǒng)中的地位和作用，熟悉它和相類似的概念的關系與區(qū)別，對新概念進行再認識.

如線性空間概念中可以參考前面討論過的n元有序數(shù)組(a1，a2，…，an)作為元素的n維向量空間，對于n元有序數(shù)組也有加法和數(shù)量乘法，即(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)，k(a1，a2，…，an)=(ka1，ka2，…，kan).

同時n維向量的兩種運算滿足如下運算規(guī)律：

(1)α+β=β+α；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)；(3)α+0=+α；(4)α+(-α)=0；(5)k(α+β)=kα+kβ；(6)(k+l)α=kα+lα；(7)k(lα)=(kl)α；(8)1α=α.

可以看出上述運算及運算規(guī)律正是線性空間的概念應用于n維向量空間中，但是顯然這些運算及運算規(guī)律也可應用于其他系統(tǒng)，如實數(shù)、復數(shù)、矩陣、線性方程組等，也就是說，線性空間的概念是存在屬于不同系統(tǒng)的共同的代數(shù)結(jié)構(gòu).

三、對于線性空間的定義，要字斟句酌，把握其準確含義

如在線性空間的概念中，（1）“在集合V的元素之間定義了一種代數(shù)運算，叫作加法”中的“一種代數(shù)運算”表示：一個對應法則，也就是一種映射或變換，而不是一種普通的數(shù)的加法運算.（2）零向量、負向量、單位“1”同樣要引起足夠重視.

例1 全體正實數(shù)的集合R+，對加法和數(shù)量乘法ab=ab，ka(chǎn)=ak，構(gòu)成R上的向量空間，則此空間的零向量為1，a∈R+的負向量為1a.而有的同學誤認為零向量為0，負向量為-a.此時只要看一下所討論的集合R+，0和-a∈R+，也就是沒有意義.

例2 全體正實數(shù)的集合R+，對加法和數(shù)量乘法ab=ab，k a=a-k，構(gòu)成R上的向量空間，則此空間中的單位元“1”=-1.在這個問題上，有同學誤認為它不能夠構(gòu)成R上的線性空間.

出現(xiàn)以上狀況，都是不能準確把握概念的表現(xiàn).

四、要從整體上把握線性空間的概念，不要只見樹木不見森林

在學習線性空間的概念時，我們同學只知道根據(jù)所給題目，將八條運算規(guī)律驗算正確，就認為是大功告成，結(jié)果線性空間是什么，只記住了八條運算規(guī)律，這是典型的只見樹木不見森林的學習方法.學習數(shù)學若僅僅限于微觀學習，是學不到真正的數(shù)學思想與方法的，更談不上應用所學數(shù)學知識去創(chuàng)造性地解決實際問題了.我們要注意養(yǎng)成全面考慮問題的習慣，不僅要看到數(shù)學概念的某個局部，而且能看到整體和局部的關系，避免研究問題時的片面性.

五、體會線性空間概念中的運動思想，會用辯證法的思想把握概念

線性空間的概念和函數(shù)概念一樣體現(xiàn)著變化過程和各變化的量之間的依賴關系，同時又指導著一些具體的變化過程和變量，并不與哪個特別事物相關.線性空間在高等代數(shù)中首先引入抽象的變量向量，有了變量，運動就進入了線性空間的概念，整個概念體現(xiàn)了運動與變化的相互滲透，對于后繼抽象數(shù)學課程打下了一個良好的基礎.

總之，線性空間的概念是抽象與具體、整體與局部、運動與變化完美結(jié)合的系統(tǒng)，初學者一定要深刻體會，參悟概念的美，以便更好地培養(yǎng)學生學習高等代數(shù)及后繼課程的興趣度、自信度、意志力和提高學習效率等.

【參考文獻】

［1］張順燕.從變量數(shù)學到現(xiàn)代數(shù)學［J］.高等數(shù)學研究，2006(5):2-4;(6):7-11.

［2］張奠宙.微積分教學:從冰冷的美麗到火熱的思考［J］.高等數(shù)學研究，2006(2):2-4.

［3］曹之江.漫談如何教數(shù)學(二)［J］.高等數(shù)學研究，2006(2):5.

［4］李尚志.從問題出發(fā)引入線性代數(shù)概念［J］.高等數(shù)學研究，2006(5):6-8.

［5］北京大學代數(shù)幾何教研室.高等代數(shù)(第三版)［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［6］Carlson，M.P.The mathematical behavior of six successful mathematics graduate students influences leading to mathematical success. Educational Studies in Mathematics，1999，40:237-258.