高中數(shù)學(xué)中的格點問題
2012-04-29 00:00:00趙麗娜
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2012年3期
【摘要】格點問題借助坐標(biāo)，考查計數(shù)問題，在高考命題中以格點為背景很有特色，成為2011年高考命題的一個亮點.
【關(guān)鍵詞】格點；計數(shù)；高考數(shù)學(xué)
隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，高考中出現(xiàn)了很多以計算機為背景的試題，其中格點（整點）問題成為一個熱點.所謂格點（或整點）就是在坐標(biāo)平面上橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點，這類試題注意以計數(shù)為主，借助坐標(biāo)概念，格點問題解答都很有特色.
例1 （2011年北京）設(shè)A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R），記N（t）為ABCD內(nèi)部（不含邊界）的整點的個數(shù)，其中整數(shù)點是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點，則函數(shù)N（t）的值域為（ ）.
A{9，10，11} B{9，10，12}
C{9，11，12}D{10，11，12}
答案 C
例2 （2011年安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(x，y)為整點，下列命題中正確的是（寫出所有正確命題的編號）.
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點；
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點；
③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點；
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)；
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線.
答案 ①③⑤
例3 平面直角坐標(biāo)系中，縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫作整點，那么滿足不等式：(|x|-1)2+(|y|-1)2<2的整點(x，y)的個數(shù)有（ ）.
A16個
B17個
C18個
D25個
解 ∵(x，y)是整點，∴x，y∈Z.
故|x|-1及|y|-1∈Z，且|x|-1≥-1，|-1|-1≥-1.
又由于(|x|-1)2+(|y|-1)2<2，故有
（1）|x|-1=0，|y|-1=0;
（2）|x|-1=0，|y|-1=1;
（3）|x|-1=1，|y|-1=0;
（4）|x|-1=0，|y|-1=-1;
（5）|x|-1=-1，|y|-1=0.
從而，不難得到(x，y)共有：（1，1），（1，-1），（-1，1），（-1，-1），（1，2），（1，-2），（-1，2），（-1，-2），（2，1），（2，-1），（-2，1），（-2，-1），（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），16個整點.故選A.
例4 （2008年清華大學(xué)自主招生試題）（1）求三直線x+y=60，y=12x，y=0所圍成三角形上的整點個數(shù).
(2)求方程組y<2x，y>12x，x+y=60的整數(shù)解的個數(shù).
線段OA有21個整點，線段AB上有21個整點，線段OB上有61個整點.因此所求三角形上有21+21+61-3=100（個）整點.
注釋 對于問題（1），△OAB及其內(nèi)部區(qū)域有(61+1)×212=31×21=651（個）整點.
（2）考慮下右圖，△OCD及其內(nèi)部區(qū)域有(61+1)×212=31×21（個）整點.
因此所求整數(shù)解的個數(shù)為612+612-2×31×21+1=61×31-42×31+1=590.
例5 xy平面上，頂點的坐標(biāo)（x，y）滿足1≤x≤4，1≤y≤4，且x，y是整數(shù)的三角形有多少個？
解 由題設(shè)知，在xy平面上有16個整點，共有C316=560（個）三點組，要從中減去那些三點共線的.
平面上有4條垂直線和4條水平線，每條上有4個點，這8條線上含有8C34=32（個）三點共線的三點組（如圖（1））.
類似的，在斜率為±1的線上三點共線的三點組有2C34+4C33=8+4=12（個）（如圖（2））.
此外，沒有其他的三點共線的三點組，所以，組成的三角形的個數(shù)是560-32-12=516（個）.
例6 （2011年江蘇）設(shè)整數(shù)n≥4，P(a，b)是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a>b.
（1）記An為滿足a-b=3的點P的個數(shù)，求An；
（2）記Bn為滿足13(a-b)是整數(shù)的點P的個數(shù)，求Bn.
解析 （1）因為滿足a-b=3，a，b∈{1，2，3，…，n}，a>b的每一組解構(gòu)成一個點P，所以An=n-3.
（2）設(shè)13(a-b)=k∈N*，則a-b=3k，0<3k≤n-1，
∴0
